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广东省东莞市2024-2025 学年高二下学期七校联考数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）
1．（2025高二下·东莞期中）已知函数在处可导，且，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：由导数的定义，知.
故答案为：D.
【分析】利用导数的定义和函数求极限的关系式，从而得出的值.
2．（2025高二下·东莞期中）函数的单调减区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，定义域为，
所以，
令，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调递减区间.
3．（2025高二下·东莞期中）的展开式的常数项为（　　）
A．210 B．252 C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于二项式，根据二项式展开式通项公式，得： ，
对进行化简，
则 ，
令，解得，
将代入到中，
可得： .
故答案为：C．
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项公式，再利用常数项的定义，从而来出展开式的常数项．
4．（2025高二下·东莞期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减
C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数的图象易知：
0 0 非负
递增 极大值 递减 极小值 递增
故答案为：C.
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，确定函数的极值即可.
5．（2025高二下·东莞期中）函数在上的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
令，解得；令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法判断函数在上的单调性，从而得出函数在上的最小值.
6．（2025高二下·东莞期中）设随机变量，若，则（　　）
A．60 B．56 C．12 D．8
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由二项分布的性质，得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的性质和二项分布求数学期望公式，从而得出p的值，再利用方差的求解公式和方差的性质，从而得出的值.
7．（2025高二下·东莞期中）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意设出相应事件，再根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出和的值，再利用条件概率公式得出在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率.
8．（2025高二下·东莞期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【解答】解：因为，
所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
根据题意，可得该关于的方程有3解，
则方程有3解，
所以与有3个交点，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极小值为，的极大值为，
且当时，；当时，，
要使与有3个交点，
则需．
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程可得切线方程，再利用已知条件将问题化为方程有3个解，从而转化为与有3个交点，再利用构造法，设，再利用导数正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再根据函数极限得出实数t的取值范围.
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9．（2025高二下·东莞期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、如果甲，乙必须相邻，将 甲，乙 捆绑，则不同的排法有种，故A正确；
B、若最左端排甲，则有种排法；
若最左端排乙，有种排法，则不同的排法共有42种，故B正确；
C、甲乙不相邻，则甲、乙插空，则不同的排法种数有种，故C错误；
D、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解即可判断A；分最左端排甲，和最左端排乙两类求解即可判断B；根据甲乙不相邻，利用插空法求解即可判断C；根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解即可判断D.
10．（2025高二下·东莞期中）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（　　）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数；组合数公式
【解析】【解答】解：由，
则其展开式的通项为.
对于A，根据题意，可得，
由组合数的性质，可知，故A正确；
对于B，由，
则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误；
对于C，由，解得，
则展开式中的系数为，故C错误；
对于D，令，则展开式中各项系数之和，
解得，
可得展开式的通项为，
则每项系数均为该项的二项式系数，
易知展开式中第6项为二项式的中间项，
则其系数最大，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意结合二项式定理得出展开式的通项，再根据组合数的性质得出n的值，则判断出选项A；利用二项式系数之和求解方法，则判断出选项B；利用展开式的通项和赋值法，从而得出展开式中的系数，则判断出选项C；利用赋值法得出展开式中各项系数的和，再利用已知条件得出m的值，再利用二项式系数的单调性得出系数最大的项，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二下·东莞期中）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（　　）
A．若是有放回的抽取，则
B．若是无放回的抽取，则
C．若是有放回的抽取，的数学期望
D．若是无放回的抽取，的数学期望
【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：若是有放回的抽取，则，
则，
，故选项A、选项C正确；
若是无放回的抽取，则可能取，，，，
则，，
，，
所以，故选项B错误、选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件知有放回的抽取时，，利用二项分布求出和随机变量的数学期望的值，则判断出选项A和选项C；当无放回的抽取时，随机变量X服从超几可分布，再利用超几可分布求出和随机变量X的数学期望值，则判断出选项B和选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量，若，则　 　.
【答案】0.2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，再利用已知条件得出的值.
13．（2025高二下·东莞期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，则恒成立，
又因为，所以，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得在区间上恒成立，则在区间上恒成立，再求出在上的最大值结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
14．（2025高二下·东莞期中）函数，若函数有2个零点，则a的取值范围　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R，
由，得，
令函数，求导得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
则，
当时，；当时，，
由函数有两个零点，
得直线与函数的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图：
观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用函数零点的定义分离参数，构造函数结合导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，则由数形结合求出的取值范围.
四、解答题（共5小题，共77分，要求有解析过程）
15．（2025高二下·东莞期中）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）解：由函数，
可得，
因为函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值，
可得，则，
解得，
所以函数的解析式为．
（2）解：由函数，
可得，
令，得或，
则的关系，如下表：
0 0
↗ 2 ↘ ↗
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导得出函数，根据题意结合导数的几何意义及极值的定义，从而列出方程组，进而解方程组得出的值，则得出函数的解析式.
（2）先求导得出，令，从而得出的关系式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（1）解：由函数，可得，
因为函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值，
可得，即，解得解得，
所以函数的解析式为．
（2）解：由函数，可得，
令，得或，
则的关系，如下表：
0 0
↗ 2 ↘ ↗
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，．
16．（2025高二下·东莞期中）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元，每次猜谜的结果相互独立．
（1）若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望；
（2）现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？
【答案】（1）解： 记张某猜对，谜语这两个事件分别为，，
则，，
张某猜对谜语的道数为随机变量，则的取值可以为：，，，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
；
（2）解： 如果先猜谜语，那么他将有的概率得元，
有概率得元，
有概率得元，
此时，他的奖金期望是．
如果先猜谜语，那么他的奖金期望是．
因为，所以他应选择先猜谜语．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查随机变量的分布列，随机变量的期望，
（1）先找出变量的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出变量的对应概率，据此可列出分布列，利用随机变量期望计算公式可求出期望；
（2）根据题意利用期望计算公式先求出先猜A谜语得到的奖金期望，再求出先猜B谜语得到的奖金期望，比较两个期望的大小，即可作出决策.
17．（2025高二下·东莞期中）已知函数，．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若且时，求证．
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
时，，时，，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：当时，，不等式，
令函数，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使，即，
此时，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对f(x)求导，通过导数符号变化确定极值点与极值。
（2）对g(x)求导，根据参数a的取值分类讨论导数符号，从而确定单调区间。
（3）当a=1时，构造辅助函数h(x)=f(x) g(x)，利用导数求其最小值，证明最小值非负。
（1）函数的定义域为，求导得，
时，，时，，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，不等式，
令函数，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使，即，
此时，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以当时，.
18．（2025高二下·东莞期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
（2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案
【答案】（1）解：记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，
则=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，
事件=“测试结果语音识别成功”，
根据题意，得.
（i）由全概率公式，得：
.
（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，
就是在事件发生的条件下发生的概率，
则.
（2）解：方案一的测试次数的数学期望为4，
用表示“方案二测试的次数”，
由题意，得的可能取值为3，5.
则，
，
所以，方案二测试次数的数学期望为，
又因为，
所以，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）利用已知条件，设出基本事件，再利用条件概率公式和全概率公式，从而计算可得测试结果为语音识别成功的概率.
（ii）由已知条件和条件概率公式和条件概率的乘法公式，从而计算得出当天处于安静环境的概率.
（2）利用已知条件和数学期望公式，从而得出两方案对应的期望值，再比较取期望值较小值，从而得出以测试次数的期望值大小为决策依据应选择的方案.
（1）记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”.
根据题意得
（i）由全概率公式得
（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率，
即
（2）方案一的测试次数的数学期望为4.
用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5.
则
所以方案二测试次数的数学期望为.
又因为，
所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
19．（2025高二下·东莞期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．
（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：；
（2）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：．
【答案】（1）证明：因为甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%，共件，
所以，合格件数为，
又因为乙工厂试生产的一批零件的合格品率为90%，共件，
所以合格件数为，
混合后，总零件数为，合格品率为88%，
则混合后合格零件数为，
所以，
化简可得，
则.
（2）解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”；
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，，
所以，
则，
解得：，
所以，
则的可能取值为，
由题意知：，
所以，，
，，
则的分布列为：
所以.
（3）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，
该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
又因为大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以：，
则，
因为，
所以，
由，
得，
则，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布；概率的应用；用频率估计概率；条件概率
【解析】【分析】（1）由混合前后合格件数的总数相等，从而列出关于m，n的方程，进而证出.
（2）由题意得出随机变量服从二项分布，再利用二项分布求出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，从而得出，再利用对立事件求概率公式变形证出不等式成立.
（1）甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%，共件，则合格件数为，
乙工厂试生产的一批零件的合格品率为90%，共件，则合格件数为，
混合后，总零件数为，合格品率为88%，则混合后合格零件数为，
则，化简可得，即.
（2）设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”
则，，
，
即，
解得：，所以，
的可能取值为，且由题意知：，
所以，，
，，
所以的分布列为：
.
（3）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以：，
即，因为，
所以，
由，
所以，
即得：，
所以，
即，
由因为，
所以，
因为，所以，
所以.
1 / 1广东省东莞市2024-2025 学年高二下学期七校联考数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）
1．（2025高二下·东莞期中）已知函数在处可导，且，则（　　）
A． B． C． D．2
2．（2025高二下·东莞期中）函数的单调减区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·东莞期中）的展开式的常数项为（　　）
A．210 B．252 C． D．
4．（2025高二下·东莞期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减
C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点
5．（2025高二下·东莞期中）函数在上的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
6．（2025高二下·东莞期中）设随机变量，若，则（　　）
A．60 B．56 C．12 D．8
7．（2025高二下·东莞期中）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·东莞期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9．（2025高二下·东莞期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
10．（2025高二下·东莞期中）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（　　）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
11．（2025高二下·东莞期中）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（　　）
A．若是有放回的抽取，则
B．若是无放回的抽取，则
C．若是有放回的抽取，的数学期望
D．若是无放回的抽取，的数学期望
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量，若，则　 　.
13．（2025高二下·东莞期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为　 　.
14．（2025高二下·东莞期中）函数，若函数有2个零点，则a的取值范围　 　.
四、解答题（共5小题，共77分，要求有解析过程）
15．（2025高二下·东莞期中）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间．
16．（2025高二下·东莞期中）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元，每次猜谜的结果相互独立．
（1）若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望；
（2）现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？
17．（2025高二下·东莞期中）已知函数，．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若且时，求证．
18．（2025高二下·东莞期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
（2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案
19．（2025高二下·东莞期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．
（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：；
（2）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：由导数的定义，知.
故答案为：D.
【分析】利用导数的定义和函数求极限的关系式，从而得出的值.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，定义域为，
所以，
令，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调递减区间.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于二项式，根据二项式展开式通项公式，得： ，
对进行化简，
则 ，
令，解得，
将代入到中，
可得： .
故答案为：C．
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项公式，再利用常数项的定义，从而来出展开式的常数项．
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数的图象易知：
0 0 非负
递增 极大值 递减 极小值 递增
故答案为：C.
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，确定函数的极值即可.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
令，解得；令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法判断函数在上的单调性，从而得出函数在上的最小值.
6．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由二项分布的性质，得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的性质和二项分布求数学期望公式，从而得出p的值，再利用方差的求解公式和方差的性质，从而得出的值.
7．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意设出相应事件，再根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出和的值，再利用条件概率公式得出在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【解答】解：因为，
所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
根据题意，可得该关于的方程有3解，
则方程有3解，
所以与有3个交点，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极小值为，的极大值为，
且当时，；当时，，
要使与有3个交点，
则需．
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程可得切线方程，再利用已知条件将问题化为方程有3个解，从而转化为与有3个交点，再利用构造法，设，再利用导数正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再根据函数极限得出实数t的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、如果甲，乙必须相邻，将 甲，乙 捆绑，则不同的排法有种，故A正确；
B、若最左端排甲，则有种排法；
若最左端排乙，有种排法，则不同的排法共有42种，故B正确；
C、甲乙不相邻，则甲、乙插空，则不同的排法种数有种，故C错误；
D、甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解即可判断A；分最左端排甲，和最左端排乙两类求解即可判断B；根据甲乙不相邻，利用插空法求解即可判断C；根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数；组合数公式
【解析】【解答】解：由，
则其展开式的通项为.
对于A，根据题意，可得，
由组合数的性质，可知，故A正确；
对于B，由，
则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误；
对于C，由，解得，
则展开式中的系数为，故C错误；
对于D，令，则展开式中各项系数之和，
解得，
可得展开式的通项为，
则每项系数均为该项的二项式系数，
易知展开式中第6项为二项式的中间项，
则其系数最大，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意结合二项式定理得出展开式的通项，再根据组合数的性质得出n的值，则判断出选项A；利用二项式系数之和求解方法，则判断出选项B；利用展开式的通项和赋值法，从而得出展开式中的系数，则判断出选项C；利用赋值法得出展开式中各项系数的和，再利用已知条件得出m的值，再利用二项式系数的单调性得出系数最大的项，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：若是有放回的抽取，则，
则，
，故选项A、选项C正确；
若是无放回的抽取，则可能取，，，，
则，，
，，
所以，故选项B错误、选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件知有放回的抽取时，，利用二项分布求出和随机变量的数学期望的值，则判断出选项A和选项C；当无放回的抽取时，随机变量X服从超几可分布，再利用超几可分布求出和随机变量X的数学期望值，则判断出选项B和选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】0.2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，再利用已知条件得出的值.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，则恒成立，
又因为，所以，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得在区间上恒成立，则在区间上恒成立，再求出在上的最大值结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R，
由，得，
令函数，求导得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
则，
当时，；当时，，
由函数有两个零点，
得直线与函数的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图：
观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用函数零点的定义分离参数，构造函数结合导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，则由数形结合求出的取值范围.
15．【答案】（1）解：由函数，
可得，
因为函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值，
可得，则，
解得，
所以函数的解析式为．
（2）解：由函数，
可得，
令，得或，
则的关系，如下表：
0 0
↗ 2 ↘ ↗
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导得出函数，根据题意结合导数的几何意义及极值的定义，从而列出方程组，进而解方程组得出的值，则得出函数的解析式.
（2）先求导得出，令，从而得出的关系式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（1）解：由函数，可得，
因为函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值，
可得，即，解得解得，
所以函数的解析式为．
（2）解：由函数，可得，
令，得或，
则的关系，如下表：
0 0
↗ 2 ↘ ↗
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，．
16．【答案】（1）解： 记张某猜对，谜语这两个事件分别为，，
则，，
张某猜对谜语的道数为随机变量，则的取值可以为：，，，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
；
（2）解： 如果先猜谜语，那么他将有的概率得元，
有概率得元，
有概率得元，
此时，他的奖金期望是．
如果先猜谜语，那么他的奖金期望是．
因为，所以他应选择先猜谜语．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查随机变量的分布列，随机变量的期望，
（1）先找出变量的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出变量的对应概率，据此可列出分布列，利用随机变量期望计算公式可求出期望；
（2）根据题意利用期望计算公式先求出先猜A谜语得到的奖金期望，再求出先猜B谜语得到的奖金期望，比较两个期望的大小，即可作出决策.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
时，，时，，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：当时，，不等式，
令函数，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使，即，
此时，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对f(x)求导，通过导数符号变化确定极值点与极值。
（2）对g(x)求导，根据参数a的取值分类讨论导数符号，从而确定单调区间。
（3）当a=1时，构造辅助函数h(x)=f(x) g(x)，利用导数求其最小值，证明最小值非负。
（1）函数的定义域为，求导得，
时，，时，，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，不等式，
令函数，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使，即，
此时，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以当时，.
18．【答案】（1）解：记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，
则=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，
事件=“测试结果语音识别成功”，
根据题意，得.
（i）由全概率公式，得：
.
（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，
就是在事件发生的条件下发生的概率，
则.
（2）解：方案一的测试次数的数学期望为4，
用表示“方案二测试的次数”，
由题意，得的可能取值为3，5.
则，
，
所以，方案二测试次数的数学期望为，
又因为，
所以，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）（i）利用已知条件，设出基本事件，再利用条件概率公式和全概率公式，从而计算可得测试结果为语音识别成功的概率.
（ii）由已知条件和条件概率公式和条件概率的乘法公式，从而计算得出当天处于安静环境的概率.
（2）利用已知条件和数学期望公式，从而得出两方案对应的期望值，再比较取期望值较小值，从而得出以测试次数的期望值大小为决策依据应选择的方案.
（1）记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”.
根据题意得
（i）由全概率公式得
（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率，
即
（2）方案一的测试次数的数学期望为4.
用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5.
则
所以方案二测试次数的数学期望为.
又因为，
所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
19．【答案】（1）证明：因为甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%，共件，
所以，合格件数为，
又因为乙工厂试生产的一批零件的合格品率为90%，共件，
所以合格件数为，
混合后，总零件数为，合格品率为88%，
则混合后合格零件数为，
所以，
化简可得，
则.
（2）解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”；
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，，
所以，
则，
解得：，
所以，
则的可能取值为，
由题意知：，
所以，，
，，
则的分布列为：
所以.
（3）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，
该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
又因为大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以：，
则，
因为，
所以，
由，
得，
则，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布；概率的应用；用频率估计概率；条件概率
【解析】【分析】（1）由混合前后合格件数的总数相等，从而列出关于m，n的方程，进而证出.
（2）由题意得出随机变量服从二项分布，再利用二项分布求出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，从而得出，再利用对立事件求概率公式变形证出不等式成立.
（1）甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%，共件，则合格件数为，
乙工厂试生产的一批零件的合格品率为90%，共件，则合格件数为，
混合后，总零件数为，合格品率为88%，则混合后合格零件数为，
则，化简可得，即.
（2）设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”
则，，
，
即，
解得：，所以，
的可能取值为，且由题意知：，
所以，，
，，
所以的分布列为：
.
（3）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以：，
即，因为，
所以，
由，
所以，
即得：，
所以，
即，
由因为，
所以，
因为，所以，
所以.
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