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广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·顺德期中）若复数满足，则的虚部为（　　）
A． B．1 C． D．i
2．（2025高一下·顺德期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为 的扇形，则圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．5
3．（2025高一下·顺德期中）的值为（　　）
A． B． C． D．1
4．（2025高一下·顺德期中），，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·顺德期中）平面向量，若，则（　　）
A． B．1 C． D．2
6．（2025高一下·顺德期中）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
7．（2025高一下·顺德期中）洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周 东汉 魏 西晋 北魏 隋 唐 后梁 后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（　　）（参考数据：取）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·顺德期中）已知平面向量，且，向量满足则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高一下·顺德期中）已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（　　）
A．在复平面内对应的点位于第四象限
B．
C．的实部为
D．的虚部为
10．（2025高一下·顺德期中）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A．角一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
11．（2025高一下·顺德期中）已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（　　）
A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积的最大值为
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·顺德期中）已知|，点在内，且，设，则等于 ．
13．（2025高一下·顺德期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角　 　．
14．（2025高一下·顺德期中）如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为　 　；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·顺德期中）已知
（1）若，求实数m、n的值；
（2）若，求的最小值.
16．（2025高一下·顺德期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.
（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）
17．（2025高一下·顺德期中）在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足.
（1）求角的大小；
（2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积.（注：只需写出一个选定方案即可）
18．（2025高一下·顺德期中）如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.
19．（2025高一下·顺德期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以的虚部为1.
故答案为：B.
【分析】先由复数的除法运算法则求出复数，再结合复数的虚部的概念，从而可得复数z的虚部.
2．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为 的扇形，所以
圆锥的母线长为6，设其底面半径为 ，则 ，所以 ，
所以圆锥的高为 ，
故答案为：C
【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出底面圆的半径，结合勾股定理，求出高即可.
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：根据题意知，，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由结合逆用两角和的余弦公式，从而得出所求式的值．
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为
，
，
，
又因为余弦函数在上单调递减，
所以，
则a，b，c的大小关系是.
故答案为：D.
【分析】利用三角恒等变换和诱导公式，从而化简，再利用余弦函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，
因为，所以，解得，
故答案为：A.
【分析】先求出，再利用向量平行满足的坐标关系即可求解.
6．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数一条对称轴为，，
，的对称轴可以表示为，
令，则，
又因为在上单调，
则，使得，
解得，由，得，
当时，取得最大值为.
故答案为：C．
【分析】先利用换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称轴，则，再由函数在上为单调函数，从而列不等式可得间的不等关系，再由，从而得出k的取值范围，再利用赋值法可得的最大值.
7．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，由题意，可得，
由题意知：，
在中，由余弦定理，可得，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】设，由题可得，，在中，由余弦定理和已知条件，从而得出九龙鼎的高度AB的长.
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面内两点间距离公式的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：依题意，设，，，
由，得，则，
所以，，，，
设，由，
得，则，
所以，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又因为，则点在直线上，
所以表示直线上的点与圆上点的距离，
过作轴于，于，，
又因为，则射线平分，
因此，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用向量运算的坐标表示和向量的模的坐标表示，结合已知条件和圆的定义，从而得出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用向量的模的几何意义，则由几何法求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，复数对应点坐标为在第四象限，故A正确；
因为，故B正确；
因为复数的实部为，故C正确；
因为复数的虚部是，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】由复数的几何意义判断出选项A；利用复数求模公式，则判断出选项B；利用共轭复数的定义和复数的乘除法运算法则得出复数，再根据复数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项．
10．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，则，
所以，，
则为钝角，故选项A错误；
因为，
所以，故选项B正确；
因为，
由正弦定理，得，
则，，
因为，为钝角，为锐角，
所以，两边除以，得，故选项C正确；
因为，
又因为，
整理得，
因为为钝角，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，从而判断出角C的取值范围，则判断出选项A；利用已知条件和余弦定理判断出选项B；利用正弦定理、两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式，则判断出选项C；利用两角和的正切公式和基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：，
AC中点为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，
，
，故选项A正确；
对于B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为，
，故选项B错误；
对于C：设方形对角线AC与BD交于O，
由题意，如图：
则翻折后，当的最小值为时，为边长为的等边三角形，此时，
所以，点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，
则点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；
对于D：结合选项C可知，边AD旋转所形成的曲面的面积以A为顶点，
底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，
则所求曲面的面积为，故选项D正确.
故答案为： ACD.
【分析】利用已知条件和正方形的结构特征，再利用四面体与外接球的位置关系、球的表面积公式，则判断出选项A；利用四面体的体积公式和几何法求最值的方法，则判断出选项B；利用翻折的方法和圆弧的定义，则判断出点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，再利用圆弧的弧长公式，则得出点D的运动轨迹的长度，则判断出选项C；利用选项C得出边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，再利用圆锥的侧面积公式，则得出边AD旋转所形成的曲面的面积，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】3.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：方法一：因为， ①
又因为， ②
所以， ③
将②③代入①得：，
所以，则点在内，
所以.
方法二：以直线OA，OB分别为轴建立直角坐标系，
则 ，
设，
因为，
所以，
则，解得.
故答案为：3.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：利用数量积求向量夹角公式和数量积的运算律，从而得出的值.、
方法二：先建系，则得出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示和平面向量基本定理，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
，
，
由正弦定理，得，
则
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得.
故答案为：.
【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理化边为角的方法，从而借助辅助角公式和三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
14．【答案】2；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；三点共线
【解析】【解答】解：在中，，，
设，
则，
由三点共线，得，
解得，
因此，
因为，，，
所以
，
解得；
因为，，，
所以，
又因为三点共线，
所以，
则
，
当且仅当时，即当时取等号，
则当时，取得最小值.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和三点共线判断方法，从而得出的值，再利用数量积的运算律，从而得出的值；利用向量共线定理和平面向量基本定理，从而用表示出，再利用向量共线定理和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值．
15．【答案】（1）解：由，
得，
又因为，，
所以，
则，
所以.
（2）解：设，则，
又因为，
由，
得，
则，
又因为，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件和向量线性运算的坐标表示，再结合向量相等列方程求解得出实数m，n的值.
（2）设，利用向量共线的坐标表示建立x，y的关系式，再利用向量的模的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）由，得，
而，，则，即，
所以.
（2）设，则，而，
由，得，即，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
16．【答案】（1）解：因为棱长为的正四面体的体积，
补全正四面体如图所示：
依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）解：因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出正四面体体积公式，再利用棱长的比值即可求体积比；
（2）求出石凳的表面积，即可估计出费用.
（1）因为棱长为的正四面体的体积，
如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
17．【答案】解：（1）因为，
所以，
则，
所以，
则
所以，
因为，
所以
则.
（2）若选②③，三个已知条件是，
没有一个是具体的边长，无法确定；
若选①②，三个已知条件是，
由正弦定理，得，
则，
所以；
若选①③，三个已知条件是，
由余弦定理，得，
则，
解得，
所以.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，再利用三角形中角A的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角的大小.
（2）先利用已知条件判断选②③不合题意，再结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，从而计算出选①②或①③时三角形的面积.
18．【答案】解：（1）以点A为原点建系，
得，，，
∴.
（2）由（1）知，设，
∴，，
∴
当时，最大值.
（3）设，则，
∴，
当且仅当时，，等号成立，
则最小值是.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件构建平面直角坐标系，再根据中点的性质得出对应点的坐标和向量坐标，再利用数量积的坐标表示得出的值.
（2）设，由结合向量共线的坐标表示，从而得出点关于的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值.
（3）设，则，再利用数量积的定义可得，再根据三角恒等变换和余弦型函数求最值的方法，从而得出的最小值.
19．【答案】（1）解：因为向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以.
（2）解：由为
的相伴特征向量知：，
所以，
设，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又因为，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，
这时（*）式成立，
∴在图象上存在点，使得.
（3）解：因为向量的相伴函数为
当时，，
则，恒成立.
所以①当，
则当时，，
所以，
则，
因为，
所以的最小值为，
则；
②当，时，不等式化为成立
③当，时，，
所以，
则，
因为，
所以的最大值为，
则，
综上所述，k的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）依题意结合向量的相伴函数定义，可得函数解析式，再利用辅助角公式得到，再根据x的取值范围和同角三角函数的基本关系，从而求出的值，再由两角差的正弦公式，从而可得的值.
（2）依题意结合向量的相伴函数定义可得的值，再利用诱导公式求出的解析式，设，从而得出向量的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及余弦型函数求值域的方法，则在图象上存在点，使得.
（3）依题意，当时，恒成立，再对分三种情况讨论，再根据参变分离结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法，从而得出实数k的取值范围.
（1）解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
（2）解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
（3）解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是.
1 / 1广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·顺德期中）若复数满足，则的虚部为（　　）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以的虚部为1.
故答案为：B.
【分析】先由复数的除法运算法则求出复数，再结合复数的虚部的概念，从而可得复数z的虚部.
2．（2025高一下·顺德期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为 的扇形，则圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为 的扇形，所以
圆锥的母线长为6，设其底面半径为 ，则 ，所以 ，
所以圆锥的高为 ，
故答案为：C
【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出底面圆的半径，结合勾股定理，求出高即可.
3．（2025高一下·顺德期中）的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：根据题意知，，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由结合逆用两角和的余弦公式，从而得出所求式的值．
4．（2025高一下·顺德期中），，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为
，
，
，
又因为余弦函数在上单调递减，
所以，
则a，b，c的大小关系是.
故答案为：D.
【分析】利用三角恒等变换和诱导公式，从而化简，再利用余弦函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．（2025高一下·顺德期中）平面向量，若，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，
因为，所以，解得，
故答案为：A.
【分析】先求出，再利用向量平行满足的坐标关系即可求解.
6．（2025高一下·顺德期中）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数一条对称轴为，，
，的对称轴可以表示为，
令，则，
又因为在上单调，
则，使得，
解得，由，得，
当时，取得最大值为.
故答案为：C．
【分析】先利用换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称轴，则，再由函数在上为单调函数，从而列不等式可得间的不等关系，再由，从而得出k的取值范围，再利用赋值法可得的最大值.
7．（2025高一下·顺德期中）洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周 东汉 魏 西晋 北魏 隋 唐 后梁 后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（　　）（参考数据：取）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，由题意，可得，
由题意知：，
在中，由余弦定理，可得，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】设，由题可得，，在中，由余弦定理和已知条件，从而得出九龙鼎的高度AB的长.
8．（2025高一下·顺德期中）已知平面向量，且，向量满足则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面内两点间距离公式的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：依题意，设，，，
由，得，则，
所以，，，，
设，由，
得，则，
所以，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
又因为，则点在直线上，
所以表示直线上的点与圆上点的距离，
过作轴于，于，，
又因为，则射线平分，
因此，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用向量运算的坐标表示和向量的模的坐标表示，结合已知条件和圆的定义，从而得出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用向量的模的几何意义，则由几何法求最值的方法，从而得出的最小值.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高一下·顺德期中）已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（　　）
A．在复平面内对应的点位于第四象限
B．
C．的实部为
D．的虚部为
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，复数对应点坐标为在第四象限，故A正确；
因为，故B正确；
因为复数的实部为，故C正确；
因为复数的虚部是，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】由复数的几何意义判断出选项A；利用复数求模公式，则判断出选项B；利用共轭复数的定义和复数的乘除法运算法则得出复数，再根据复数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项．
10．（2025高一下·顺德期中）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A．角一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，则，
所以，，
则为钝角，故选项A错误；
因为，
所以，故选项B正确；
因为，
由正弦定理，得，
则，，
因为，为钝角，为锐角，
所以，两边除以，得，故选项C正确；
因为，
又因为，
整理得，
因为为钝角，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，从而判断出角C的取值范围，则判断出选项A；利用已知条件和余弦定理判断出选项B；利用正弦定理、两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式，则判断出选项C；利用两角和的正切公式和基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2025高一下·顺德期中）已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（　　）
A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积的最大值为
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：，
AC中点为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，
，
，故选项A正确；
对于B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为，
，故选项B错误；
对于C：设方形对角线AC与BD交于O，
由题意，如图：
则翻折后，当的最小值为时，为边长为的等边三角形，此时，
所以，点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，
则点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；
对于D：结合选项C可知，边AD旋转所形成的曲面的面积以A为顶点，
底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，
则所求曲面的面积为，故选项D正确.
故答案为： ACD.
【分析】利用已知条件和正方形的结构特征，再利用四面体与外接球的位置关系、球的表面积公式，则判断出选项A；利用四面体的体积公式和几何法求最值的方法，则判断出选项B；利用翻折的方法和圆弧的定义，则判断出点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，再利用圆弧的弧长公式，则得出点D的运动轨迹的长度，则判断出选项C；利用选项C得出边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，再利用圆锥的侧面积公式，则得出边AD旋转所形成的曲面的面积，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·顺德期中）已知|，点在内，且，设，则等于 ．
【答案】3.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：方法一：因为， ①
又因为， ②
所以， ③
将②③代入①得：，
所以，则点在内，
所以.
方法二：以直线OA，OB分别为轴建立直角坐标系，
则 ，
设，
因为，
所以，
则，解得.
故答案为：3.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：利用数量积求向量夹角公式和数量积的运算律，从而得出的值.、
方法二：先建系，则得出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示和平面向量基本定理，从而得出的值.
13．（2025高一下·顺德期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
，
，
由正弦定理，得，
则
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得.
故答案为：.
【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理化边为角的方法，从而借助辅助角公式和三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
14．（2025高一下·顺德期中）如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为　 　；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为　 　.
【答案】2；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；三点共线
【解析】【解答】解：在中，，，
设，
则，
由三点共线，得，
解得，
因此，
因为，，，
所以
，
解得；
因为，，，
所以，
又因为三点共线，
所以，
则
，
当且仅当时，即当时取等号，
则当时，取得最小值.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和三点共线判断方法，从而得出的值，再利用数量积的运算律，从而得出的值；利用向量共线定理和平面向量基本定理，从而用表示出，再利用向量共线定理和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·顺德期中）已知
（1）若，求实数m、n的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）解：由，
得，
又因为，，
所以，
则，
所以.
（2）解：设，则，
又因为，
由，
得，
则，
又因为，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件和向量线性运算的坐标表示，再结合向量相等列方程求解得出实数m，n的值.
（2）设，利用向量共线的坐标表示建立x，y的关系式，再利用向量的模的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）由，得，
而，，则，即，
所以.
（2）设，则，而，
由，得，即，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
16．（2025高一下·顺德期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.
（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）
【答案】（1）解：因为棱长为的正四面体的体积，
补全正四面体如图所示：
依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）解：因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出正四面体体积公式，再利用棱长的比值即可求体积比；
（2）求出石凳的表面积，即可估计出费用.
（1）因为棱长为的正四面体的体积，
如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
17．（2025高一下·顺德期中）在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足.
（1）求角的大小；
（2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积.（注：只需写出一个选定方案即可）
【答案】解：（1）因为，
所以，
则，
所以，
则
所以，
因为，
所以
则.
（2）若选②③，三个已知条件是，
没有一个是具体的边长，无法确定；
若选①②，三个已知条件是，
由正弦定理，得，
则，
所以；
若选①③，三个已知条件是，
由余弦定理，得，
则，
解得，
所以.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，再利用三角形中角A的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角的大小.
（2）先利用已知条件判断选②③不合题意，再结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，从而计算出选①②或①③时三角形的面积.
18．（2025高一下·顺德期中）如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.
【答案】解：（1）以点A为原点建系，
得，，，
∴.
（2）由（1）知，设，
∴，，
∴
当时，最大值.
（3）设，则，
∴，
当且仅当时，，等号成立，
则最小值是.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件构建平面直角坐标系，再根据中点的性质得出对应点的坐标和向量坐标，再利用数量积的坐标表示得出的值.
（2）设，由结合向量共线的坐标表示，从而得出点关于的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值.
（3）设，则，再利用数量积的定义可得，再根据三角恒等变换和余弦型函数求最值的方法，从而得出的最小值.
19．（2025高一下·顺德期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：因为向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以.
（2）解：由为
的相伴特征向量知：，
所以，
设，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又因为，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，
这时（*）式成立，
∴在图象上存在点，使得.
（3）解：因为向量的相伴函数为
当时，，
则，恒成立.
所以①当，
则当时，，
所以，
则，
因为，
所以的最小值为，
则；
②当，时，不等式化为成立
③当，时，，
所以，
则，
因为，
所以的最大值为，
则，
综上所述，k的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）依题意结合向量的相伴函数定义，可得函数解析式，再利用辅助角公式得到，再根据x的取值范围和同角三角函数的基本关系，从而求出的值，再由两角差的正弦公式，从而可得的值.
（2）依题意结合向量的相伴函数定义可得的值，再利用诱导公式求出的解析式，设，从而得出向量的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及余弦型函数求值域的方法，则在图象上存在点，使得.
（3）依题意，当时，恒成立，再对分三种情况讨论，再根据参变分离结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法，从而得出实数k的取值范围.
（1）解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
（2）解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
（3）解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是.
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