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广东省惠州市五校2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·惠州期中）已知，则可能取值为（　　）
A． B． C．或 D．或
2．（2025高二下·惠州期中）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
3．（2025高二下·惠州期中）函数的单调递减区间是，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·惠州期中）今天是星期四，经过天后是星期（　　）
A．三 B．四 C．五 D．六
5．（2025高二下·惠州期中）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·惠州期中）若函数无极值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·惠州期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·惠州期中）若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·惠州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量X服从两点分布且，则
B．若随机变量满足，，则
C．若随机变量，则
D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
10．（2025高二下·惠州期中）有款小游戏．规则如下：一小球从数轴上的原点O出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位．若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出n次骰子后，下列结论正确的是（　　）
A．第二次扔骰子后，小球位于原点O的概率为
B．第一次扔完骰子小球位于－1且第五次位于1的概率
C．设三次后小球的坐标为随机变量X，则
D．设n次后小球的坐标为随机变量Y，则
11．（2025高二下·惠州期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（　　）.
A．当时，
B．函数在上有且仅有三个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D．，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·惠州期中）函数，若，则　 　.
13．（2025高二下·惠州期中）某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有　 　种（用数字作答）
14．（2025高二下·惠州期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是　 　；的数学期望是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（2025高二下·惠州期中）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一：投资股市：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
方案二：购买基金：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
（1）当时，求的值；
（2）若要将万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
16．（2025高二下·惠州期中）已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
17．（2025高二下·惠州期中）已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程．
18．（2025高二下·惠州期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．（2025高二下·惠州期中）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”.
（1）若为“M函数”，求m的取值范围.
（2）已知函数有两个极值点.
①求a的取值范围；
②证明：为“M函数”.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以或，
解得或.
故答案为：D.
【分析】利用组合数的性质和已知条件，可得关于实数的方程，解方程得出x可能的取值.
2．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法，
第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法，
所以，共有种分配方法.
故答案为：B.
【分析】利用分步乘法计数原理和分组分配的方法，再利用排列数公式、组合数公式，从而得出不同的分配种数.
3．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为函数有单调递减区间，所以，
令，则，
又因为，所以，
则的单调递减区间是，
可得.
故答案为：A.
【分析】先求出的导函数，再利用函数有单调递减区间，则，再根据与，从而求出的单调递减区间，再根据已知条件得出实数a的值.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为一个星期的周期是7，
所以
则除以7余数是1，
所以，今天是星期四，经过天后是星期五.
故答案为：．
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项公式，从而得到除以7余数是1，再利用周期性计算得出经过天后的星期数．
5．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴正态曲线的对称轴为，则，
所以，一组电池在20年内能正常使用的概率为，
∴这两组电池在20年内都能正常使用的概率为.
故答案为：D.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而确定函数对称轴为，再利用相互独立事件乘法求概率公式，从而得出这两组电池在20年内都能正常使用的概率.
6．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为的导数为，
又因为函数无极值，
在R上恒成立，
则恒成立，
，
解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意结合导数求极值的方法，将问题转化为恒成立，再利用判别式法，从而得出实数a的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意，可得，
，
所以
.
故答案为：D.
【分析】由题意结合组合数公式、古典概率公式、条件概率公式以及全概率公式，从而得出事件B的概率.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵函数在上有两个不同的平均值点，
令，∴方程在有两个不同的根，
则在有两个不同的根，
令，，
∴直线与函数的图象在上有两个交点，
则，
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
且，，
所以，
又因为，所以符合题意的只有选项B.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出原题意等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，作出函数的图象，结合函数图象可得实数的取值范围，从而得出可能的取值.
9．【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、若随机变量X服从两点分布且，则，
故，故A错误；
B、因为随机变量满足，，
所以，所以，故B正确；
C、因为随机变量，所以，故C错误；
D、因为随机变量，恒成立，所以恒成立，
所以，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式逐项计算判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；概率的应用；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为.
对于选项A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，
则其概率为，故选项A正确；
对于选项B：因为第一次扔完骰子小球位于，
所以第一次向左移动，且第五次位于1，
则后续中小球向右3次，向左1次，
所以，其概率为，故B错误；
对于选项C：因为的可能取值为、、、，
所以
则其期望，
所以，故选项C正确；
对于选项D：由题意，得出的可能取值为、、、、，
其中，，，
则其期望为：，
故选项D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用已知条件和古典概率公式和二项分布求概率公式，则判断出选项A；利用已知条件和二项分布求概率公式，则判断出选项B；利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再利用二项分布求概率公式得出随机变量的分布列，再根据随机变量分布列求数学期望公式和方差公式，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项．
11．【答案】B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、当时，，则，因为函数是定义域在上的奇函数，所以，则，故A错误；
B、函数的图象，如图所示：
观察在时的图象，令，得，
可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，故B正确；
C、由图可知，若关于的方程有解，则，故C错误；
D、由图可知，的值域为，所以对，恒成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据奇偶性求解析式即可判断A；作出函数的图象，数形结合解判断BCD.
12．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，求导得，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先求导函数，再根据代入求解，从而得出实数a的值.
13．【答案】65
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：在一号食堂就餐的同学有1个，
在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛3，0｝，｛1，2｝，
所以，就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有2个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1｝，｛2，0｝，
所以，就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有3个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1，0｝，
所以，就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有4个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛0｝，
所以，就餐情况共有有种，
综上所述，他们在三个食堂就餐的情况总共有：种.
故答案为：65.
【分析】对一号食堂就餐的同学人数进行分类讨论即有1个，2个，3个和4个同学，再分别讨论二号、三号食堂就餐的同学人数，利用平均分组和两个计数原理，从而得出他们在三个食堂就餐情况种数.
14．【答案】；
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，
由全概率公式，可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
得出的分布列为：
，，，
则
，
所以，
则，
给合，可知.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件和全概率公式求出的值；利用已知条件结合互斥事件求概率公式得出的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式和数列递推公式变形构造等比数列，再根据等比数列的通项公式得出的数学期望.
15．【答案】（1）解：“购买基金”后，投资结果有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，
且三种投资结果相互独立，
则，且，
所以，
解得.
（2）解：假设选择“投资股票”方案进行投资，
且记为投资股票的获利金额单位：万元，
则随机变量的分布列为：
所以；
假设选择“购买基金”方案进行投资，
且记为购买基金的获利金额单位：万元，
随机变量的分布列为：
则；
，
选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）根据概率的基本性质和已知条件，从而得出q的值.
（2）利用已知条件和古典概率公式，从而写出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的期望，再比较期望的大小，从而得出选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
（1）“购买基金”后，投资结果有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
则，且，
所以，解得；
（2）假设选择“投资股票”方案进行投资，且记为投资股票的获利金额单位：万元，
随机变量的分布列为：
则；
假设选择“购买基金”方案进行投资，且记为购买基金的获利金额单位：万元，
随机变量的分布列为：
则；
，
选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
16．【答案】（1）解：依题意，可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，则，
所以，
或（舍去）.
（2）解：因为展开式的通项公式为：（，），
令，解得，
所以，
则常数项为第5项60.
（3）解：因为系数的绝对值为，
所以，
则
所以，则，
所以，则，
因此，系数绝对值最大的项是.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而列出关于的方程，进而求解方程得出n的值.
（2）利用展开式的通项公式得出指数的表达式，再利用常数项的定义，从而得出展开式的常数项.
（3）由已知条件结合数列的最值，从而列出的不等式组，解不等式组得出实数的取值范围，再利用已知条件得出r的值，从而得出展开式中系数绝对值最大的项.
（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，即，则，或（舍去）；
（2）展开式的通项为（，），
令，解得，所以，所以常数项为第5项60.
（3）系数的绝对值为
，则
所以，即，，所以，
因此，系数绝对值最大的项是.
17．【答案】（1）解：当，时，，定义域为，
则．
令，则，，
当或时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）解：依题意，知的定义域为，
对求导，得，
由已知条件，得
解得，
所以．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
满足在处取得极值，
则，
因为切点为，，
所以曲线在点处的切线方程为，
整理可得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a，b的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）根据导数求极值点的方法和已知条件，从而得出a，b的值，进而得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据导数的正负判断函数的单调性，则由代入法得出切点的坐标，最后根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程．
（1）当，时，．定义域为．
则．
令，则，，所以，当或时，；
当时，．
因此，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）依题意知的定义域为，对求导，得．
由已知得解得，
所以．
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，满足在处取得极值，
故．
切点为，，
所以曲线在点处的切线方程为，整理可得.
18．【答案】（1）解：由题意，的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，
则
所以，的分布列为：
0 1 2
则的数学期望．
（2）解：（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，
“每位员工第轮培训达到优秀”（），，
根据互斥事件加法求概率公式和事件相互独立的定义，
得：
．
则每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，
则，
所以，
则（万元），
则估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量服从超几何分布，再利用超几何分布求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出事件C的概率则得出每位员工经过培训合格的概率.
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，再利用已知条件得出，再根据二项分布求数学期望公式，从而估计出两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润．
（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．【答案】（1）解：由，
求导可得，
令，解得，
由函数为“函数”，
则，
可得，
解得.
（2）①解：由，
则，
求导可得，
令，
由题意，可得函数存在两个不同的变号零点，
则，
令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，
由，
令，
求导可得，
令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，
则，
由，
则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，
解得.
②证明：由①可得，
易知方程存在两个不相等的实数根，
设为，
由①不妨设，
令，
求导可得，
由，当且仅当时取等号，
则，
所以函数在上单调递增，
由，
则当时，，可得，
由，且函数在上单调递减，
则，可得，
当时，，
则函数在上单调递减，
由，则，
所以，
要证，
只需证，
由，
则令，
求导可得，
令，则，
所以函数在上单调递增，
则当时，，
所以，
则函数在上单调递增，
所以，当时，，
则不等式在上恒成立，
可得，
综上所述，，
所以函数为“函数”.
【知识点】函数的概念及其构成要素；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由导数求极值点的方法和“M函数”的定义，从而得出实数m的取值范围.
（2）①由导数求极值点的方法，将问题等价转化为函数零点分布求参数的问题，再利用构造法结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合零点存在性定理建立不等式，从而得出实数a的取值范围.
②利用已知条件确定为极值点偏移问题，再构造差函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而可得不等式，再利用放缩法和分析法以及恒成立问题求解方法，从而证出函数为“M函数”.
（1）由，求导可得，令，解得，
由函数为“函数”，则，
可得，解得.
（2）①由，则，求导可得，令，
由题意可得函数存在两个不同的变号零点，则，
令，解得，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以，
由，令，
求导可得，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，则，
由，则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，解得.
②由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根，
设为，由①不妨设，
令，
求导可得，由，当且仅当时取等号，则，
所以函数在上单调递增，由，则当时，可得，
由，且函数在上单调递减，则，可得；
由当时，，则函数在上单调递减，
由，则，所以，
要证，只需证，
由，则令，
求导可得，令，则，
所以函数在上单调递增，则当时，，即，
所以函数在上单调递增，则当时，，
所以不等式在上恒成立，可得，
综上所述，，所以函数为“函数”.
1 / 1广东省惠州市五校2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·惠州期中）已知，则可能取值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以或，
解得或.
故答案为：D.
【分析】利用组合数的性质和已知条件，可得关于实数的方程，解方程得出x可能的取值.
2．（2025高二下·惠州期中）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法，
第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法，
所以，共有种分配方法.
故答案为：B.
【分析】利用分步乘法计数原理和分组分配的方法，再利用排列数公式、组合数公式，从而得出不同的分配种数.
3．（2025高二下·惠州期中）函数的单调递减区间是，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为函数有单调递减区间，所以，
令，则，
又因为，所以，
则的单调递减区间是，
可得.
故答案为：A.
【分析】先求出的导函数，再利用函数有单调递减区间，则，再根据与，从而求出的单调递减区间，再根据已知条件得出实数a的值.
4．（2025高二下·惠州期中）今天是星期四，经过天后是星期（　　）
A．三 B．四 C．五 D．六
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为一个星期的周期是7，
所以
则除以7余数是1，
所以，今天是星期四，经过天后是星期五.
故答案为：．
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项公式，从而得到除以7余数是1，再利用周期性计算得出经过天后的星期数．
5．（2025高二下·惠州期中）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴正态曲线的对称轴为，则，
所以，一组电池在20年内能正常使用的概率为，
∴这两组电池在20年内都能正常使用的概率为.
故答案为：D.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而确定函数对称轴为，再利用相互独立事件乘法求概率公式，从而得出这两组电池在20年内都能正常使用的概率.
6．（2025高二下·惠州期中）若函数无极值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为的导数为，
又因为函数无极值，
在R上恒成立，
则恒成立，
，
解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意结合导数求极值的方法，将问题转化为恒成立，再利用判别式法，从而得出实数a的取值范围.
7．（2025高二下·惠州期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意，可得，
，
所以
.
故答案为：D.
【分析】由题意结合组合数公式、古典概率公式、条件概率公式以及全概率公式，从而得出事件B的概率.
8．（2025高二下·惠州期中）若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵函数在上有两个不同的平均值点，
令，∴方程在有两个不同的根，
则在有两个不同的根，
令，，
∴直线与函数的图象在上有两个交点，
则，
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
且，，
所以，
又因为，所以符合题意的只有选项B.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出原题意等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，作出函数的图象，结合函数图象可得实数的取值范围，从而得出可能的取值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·惠州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量X服从两点分布且，则
B．若随机变量满足，，则
C．若随机变量，则
D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12
【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、若随机变量X服从两点分布且，则，
故，故A错误；
B、因为随机变量满足，，
所以，所以，故B正确；
C、因为随机变量，所以，故C错误；
D、因为随机变量，恒成立，所以恒成立，
所以，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式逐项计算判断即可.
10．（2025高二下·惠州期中）有款小游戏．规则如下：一小球从数轴上的原点O出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位．若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出n次骰子后，下列结论正确的是（　　）
A．第二次扔骰子后，小球位于原点O的概率为
B．第一次扔完骰子小球位于－1且第五次位于1的概率
C．设三次后小球的坐标为随机变量X，则
D．设n次后小球的坐标为随机变量Y，则
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；概率的应用；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为.
对于选项A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，
则其概率为，故选项A正确；
对于选项B：因为第一次扔完骰子小球位于，
所以第一次向左移动，且第五次位于1，
则后续中小球向右3次，向左1次，
所以，其概率为，故B错误；
对于选项C：因为的可能取值为、、、，
所以
则其期望，
所以，故选项C正确；
对于选项D：由题意，得出的可能取值为、、、、，
其中，，，
则其期望为：，
故选项D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用已知条件和古典概率公式和二项分布求概率公式，则判断出选项A；利用已知条件和二项分布求概率公式，则判断出选项B；利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再利用二项分布求概率公式得出随机变量的分布列，再根据随机变量分布列求数学期望公式和方差公式，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项．
11．（2025高二下·惠州期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（　　）.
A．当时，
B．函数在上有且仅有三个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D．，
【答案】B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、当时，，则，因为函数是定义域在上的奇函数，所以，则，故A错误；
B、函数的图象，如图所示：
观察在时的图象，令，得，
可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，故B正确；
C、由图可知，若关于的方程有解，则，故C错误；
D、由图可知，的值域为，所以对，恒成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据奇偶性求解析式即可判断A；作出函数的图象，数形结合解判断BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·惠州期中）函数，若，则　 　.
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，求导得，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先求导函数，再根据代入求解，从而得出实数a的值.
13．（2025高二下·惠州期中）某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有　 　种（用数字作答）
【答案】65
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：在一号食堂就餐的同学有1个，
在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛3，0｝，｛1，2｝，
所以，就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有2个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1｝，｛2，0｝，
所以，就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有3个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1，0｝，
所以，就餐情况共有种；
在一号食堂就餐的同学有4个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛0｝，
所以，就餐情况共有有种，
综上所述，他们在三个食堂就餐的情况总共有：种.
故答案为：65.
【分析】对一号食堂就餐的同学人数进行分类讨论即有1个，2个，3个和4个同学，再分别讨论二号、三号食堂就餐的同学人数，利用平均分组和两个计数原理，从而得出他们在三个食堂就餐情况种数.
14．（2025高二下·惠州期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是　 　；的数学期望是　 　.
【答案】；
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，
由全概率公式，可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
得出的分布列为：
，，，
则
，
所以，
则，
给合，可知.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件和全概率公式求出的值；利用已知条件结合互斥事件求概率公式得出的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式和数列递推公式变形构造等比数列，再根据等比数列的通项公式得出的数学期望.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（2025高二下·惠州期中）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一：投资股市：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
方案二：购买基金：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
（1）当时，求的值；
（2）若要将万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
【答案】（1）解：“购买基金”后，投资结果有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，
且三种投资结果相互独立，
则，且，
所以，
解得.
（2）解：假设选择“投资股票”方案进行投资，
且记为投资股票的获利金额单位：万元，
则随机变量的分布列为：
所以；
假设选择“购买基金”方案进行投资，
且记为购买基金的获利金额单位：万元，
随机变量的分布列为：
则；
，
选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）根据概率的基本性质和已知条件，从而得出q的值.
（2）利用已知条件和古典概率公式，从而写出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的期望，再比较期望的大小，从而得出选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
（1）“购买基金”后，投资结果有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
则，且，
所以，解得；
（2）假设选择“投资股票”方案进行投资，且记为投资股票的获利金额单位：万元，
随机变量的分布列为：
则；
假设选择“购买基金”方案进行投资，且记为购买基金的获利金额单位：万元，
随机变量的分布列为：
则；
，
选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
16．（2025高二下·惠州期中）已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】（1）解：依题意，可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，则，
所以，
或（舍去）.
（2）解：因为展开式的通项公式为：（，），
令，解得，
所以，
则常数项为第5项60.
（3）解：因为系数的绝对值为，
所以，
则
所以，则，
所以，则，
因此，系数绝对值最大的项是.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而列出关于的方程，进而求解方程得出n的值.
（2）利用展开式的通项公式得出指数的表达式，再利用常数项的定义，从而得出展开式的常数项.
（3）由已知条件结合数列的最值，从而列出的不等式组，解不等式组得出实数的取值范围，再利用已知条件得出r的值，从而得出展开式中系数绝对值最大的项.
（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，即，则，或（舍去）；
（2）展开式的通项为（，），
令，解得，所以，所以常数项为第5项60.
（3）系数的绝对值为
，则
所以，即，，所以，
因此，系数绝对值最大的项是.
17．（2025高二下·惠州期中）已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程．
【答案】（1）解：当，时，，定义域为，
则．
令，则，，
当或时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）解：依题意，知的定义域为，
对求导，得，
由已知条件，得
解得，
所以．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
满足在处取得极值，
则，
因为切点为，，
所以曲线在点处的切线方程为，
整理可得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a，b的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）根据导数求极值点的方法和已知条件，从而得出a，b的值，进而得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据导数的正负判断函数的单调性，则由代入法得出切点的坐标，最后根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程．
（1）当，时，．定义域为．
则．
令，则，，所以，当或时，；
当时，．
因此，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）依题意知的定义域为，对求导，得．
由已知得解得，
所以．
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，满足在处取得极值，
故．
切点为，，
所以曲线在点处的切线方程为，整理可得.
18．（2025高二下·惠州期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
【答案】（1）解：由题意，的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，
则
所以，的分布列为：
0 1 2
则的数学期望．
（2）解：（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，
“每位员工第轮培训达到优秀”（），，
根据互斥事件加法求概率公式和事件相互独立的定义，
得：
．
则每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，
则，
所以，
则（万元），
则估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量服从超几何分布，再利用超几何分布求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出事件C的概率则得出每位员工经过培训合格的概率.
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，再利用已知条件得出，再根据二项分布求数学期望公式，从而估计出两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润．
（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．（2025高二下·惠州期中）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”.
（1）若为“M函数”，求m的取值范围.
（2）已知函数有两个极值点.
①求a的取值范围；
②证明：为“M函数”.
【答案】（1）解：由，
求导可得，
令，解得，
由函数为“函数”，
则，
可得，
解得.
（2）①解：由，
则，
求导可得，
令，
由题意，可得函数存在两个不同的变号零点，
则，
令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，
由，
令，
求导可得，
令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，
则，
由，
则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，
解得.
②证明：由①可得，
易知方程存在两个不相等的实数根，
设为，
由①不妨设，
令，
求导可得，
由，当且仅当时取等号，
则，
所以函数在上单调递增，
由，
则当时，，可得，
由，且函数在上单调递减，
则，可得，
当时，，
则函数在上单调递减，
由，则，
所以，
要证，
只需证，
由，
则令，
求导可得，
令，则，
所以函数在上单调递增，
则当时，，
所以，
则函数在上单调递增，
所以，当时，，
则不等式在上恒成立，
可得，
综上所述，，
所以函数为“函数”.
【知识点】函数的概念及其构成要素；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由导数求极值点的方法和“M函数”的定义，从而得出实数m的取值范围.
（2）①由导数求极值点的方法，将问题等价转化为函数零点分布求参数的问题，再利用构造法结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合零点存在性定理建立不等式，从而得出实数a的取值范围.
②利用已知条件确定为极值点偏移问题，再构造差函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而可得不等式，再利用放缩法和分析法以及恒成立问题求解方法，从而证出函数为“M函数”.
（1）由，求导可得，令，解得，
由函数为“函数”，则，
可得，解得.
（2）①由，则，求导可得，令，
由题意可得函数存在两个不同的变号零点，则，
令，解得，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以，
由，令，
求导可得，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，则，
由，则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，解得.
②由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根，
设为，由①不妨设，
令，
求导可得，由，当且仅当时取等号，则，
所以函数在上单调递增，由，则当时，可得，
由，且函数在上单调递减，则，可得；
由当时，，则函数在上单调递减，
由，则，所以，
要证，只需证，
由，则令，
求导可得，令，则，
所以函数在上单调递增，则当时，，即，
所以函数在上单调递增，则当时，，
所以不等式在上恒成立，可得，
综上所述，，所以函数为“函数”.
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