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广东省东莞市五校联考2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·东莞期中）如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：因③图形比较分散，则；因为①②④相较③接近于一条直线附近，所以，
又因为②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，所以.
综上，最大.
故选：A
【分析】由散点图图形趋势（如果散点图中的点大致分布在一条直线的附近，这表明两个变量之间存在线性关系；如果点分布得较为分散，或者存在明显的非线性模式，这可能表明两个变量之间的关系不是线性的，或者关系较弱 ）可判断大小关系.
2．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量服从正态分布，则（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】由正态分布求方差公式和，从而得出的值.
3．（2025高二下·东莞期中）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为回归直线过样本点中心即，
将其代入，可得，解得，
当时，，
所以残差为.
故答案为：A.
【分析】将样本点中心代入回归方程求出的值，再代入得出的值，最后作差得出相应于点的残差.
4．（2025高二下·东莞期中）一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当 且 时称为“凹数”；若 ，且a，b，c互不相同，则“凹数”的个数为（　　）.
A．20 B．36 C．24 D．30
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，分2步进行分析：
（1）在 五个数中任取3个数，来组成“凹数”，有 种取法，
（2）将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位，个位，有 种情况，
则“凹数”的个数为 个.
故答案为：A
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①、在0，2，3，4，5五个数中任取3个数，来组成“凹数”，②、将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位、个位，由分步计数原理计算可得答案．
5．（2025高二下·东莞期中）在展开式中存在常数项，则正整数可以是
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为：，
依题意，，解得，
因此是的倍数.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理求出二项式的展开式的通项公式，再利用常数项的定义和幂指数的特征，从而得出正整数可能的取值.
6．（2025高二下·东莞期中）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意
事件 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有 个事件
由条件概率的定义：
故答案为：B
【分析】由条件概率的定义 ，分别计算 即得解.
7．（2025高二下·东莞期中）设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，，
所以，甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，，
根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为：
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，
其概率为，
则前4次中甲恰好投篮3次的概率为.
故答案为：C.
【分析】 对前4次中甲恰好投篮3次的情况分析，然后再由互斥事件的概率加法公式求和.
8．（2025高二下·东莞期中）已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增，
作出和的图象如图：
令，可得，（舍去），
所以，曲线上斜率为3的切线的切点为，
则该切线方程为，且与直线平行，
所以，两平行线间的距离即为到直线的距离，
则的最小值即为．
故答案为：A．
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用已知条件求出切点坐标，将求点到直线的距离的最小值等价于求斜率为3的切线的切点到直线的距离，最后利用平行直线间的距离公式计算得出的最小值．
9．（2025高二下·东莞期中）在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论：
①当销量为1000件时，总收益最大；
②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为；
③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：根据题意，可知，
则（为常数），
①（为常数），
根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确；
②若销量为800件时，总收益为，
所以（为常数），
解得，
则当销量增加400件，即当件，
总收益为，②正确；
③当销量从500件增加到501件时，，
总收益改变量的近似值为500，③正确.
故答案为：D.
【分析】先根据导函数得到（为常数），再利用分类讨论的方法和二次函数求最值的方法以及二次函数的单调性，从而逐项判断找出正确结论的个数.
10．（2025高二下·东莞期中）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．与6的大小无法确定
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从二项分布，
所以，
则要使最大，需满足，
解得，
又因为，所以，当为整数时，
再结合题意，得，所以；
则不为整数时N为小于，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】先利用二项分布求概率公式和函数求最值的方法，从而得出N与p的不等关系，再利用已知条件得出，结合数学期望公式得出，从而找出说法正确的选项.
二、多选题
11．（2025高二下·东莞期中）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，（其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C．直线恰好过点C D．
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A、B，由图可知与正相关，则故A正确、B错误；
对于C，由，，
则回归直线过，故C正确；
对于D，由题意，去掉离群点B后，拟合效果更好，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由回归直线方程中的正负判断出x与y的线性相关关系，则判断出选项A和选项B；利用回归直线恒过中心点的性质结合平均数公式，则判断出选项C；利用决定系数的定义和比较法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题
12．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量，，，　 　.
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，，知，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值.
13．（2025高二下·东莞期中）若， 则的值为　 　
【答案】1
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由，
令，则，
令，则，
则
.
故答案为：1.
【分析】 通过对x赋值1和-1，求出各项系数和与正负号交替出现的系数和，两式相乘求得 的值 .
14．（2025高二下·东莞期中）、为上在轴两侧的点，过、的切线与轴围成面积的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对函数求导，得，
设点、，
不妨设，
所以，曲线在点处的切线方程为，
可得，
同理可知，曲线在点处的切线方程为，
联立，可得，
则点，
在直线方程中，
令，可得，则点，同理可得点，
所以，，
，
令，
令，
则，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
则，
当且仅当时，的面积取得最小值.
故答案为：.
【分析】设点、，不妨设，利用导数的方法求出曲线在点、处的切线方程，再联立两直线方程求出点的坐标，利用赋值法得出点C的坐标和点D的坐标，再利用两点距离公式得出，根据三角形的面积公式得出的表达式，结合基本不等式求最值的方法结合导数求最值的方法，从而得出面积的最小值.
四、解答题
15．（2025高二下·东莞期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，函数，
令，解得或；令，解得，
所以函数单调递增区间为，递减区间为，
综上可得，当时，函数单调递增区间为，递减区间为.
（2）解：由(1)知
函数在递增，在递减，在递增，
且当时，，当时，，
要使得函数有三个零点，则满足
解得，
综上可得，实数的取值范围.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）首先对函数进行求导，进而利用导函数的正负值判断函数的单调性；
（2）根据（1）中结果将函数的单调性与最值求出，接着由于有三个零点得到不等式子，解出不等式组即可得到结果.
16．（2025高二下·东莞期中）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
（1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
（2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
【答案】（1）解：有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3，
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，
则，
所以，
，
，
，
则X分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以.
（2）解：当不放回抽样时，则，
则，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）当有放回抽样时，则，利用二项分布求概率公式，从而求出对应概率，进而得到随机变量X的分布列，再由二项分布的方差公式可得随机变量X的方差.
（2）当不放回抽样时，则，利用超几何分布求出对应的概率，从而可得Y的分布列，再利用超几何分布求数学期望公式，从而得出随机变量Y的数学期望.
（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3．
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，
所以，，
，，
则X分布列为：
X 0 1 2 3
P
则
（2）不放回抽样时，则
，，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
则
17．（2025高二下·东莞期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
因为，
所以在处的切线方程为．

（2）解：因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，
列表如下：
- 0 +
递减 极小值 递增
所以，
由题意，可得，
则，
令，则，
因为，当时等号成立，
所以函数在单调递增，
由，
得，
所以实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点的坐标，再由点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）先求出导函数，再分和讨论，从而求出函数的极小值，再由整理得出构造新函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求解得出实数a的取值范围.
（1）当时，，则，所以，
因为，所以在处的切线方程为．
（2）因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
- 0 +
递减 极小值 递增
所以，
由题意可得，即，
令，则．
因为，当等号成立，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是．
18．（2025高二下·东莞期中）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄 次数
每周0～2次 70 55 36 59
每周3～4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式：．
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题意，得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
则，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）解：由数表知，利用分层抽样的方法，
在抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
则的分布列：
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）解：记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
设星期天选择跑步为事件，
则，
又因为，
所以
，
则小明星期天选择跑步的概率为.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列出的列联表，利用独立性检验的方法得出卡方值，再结合附表比较认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）根据题意得到随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出相应的概率，进而列出随机变量的分布列，再结合数学期望的公式，从而得出随机变量的数学期望.
（3）根据题意和条件概率公式以及全概率公式，从而得出小明星期天选择跑步的概率.
（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
　 青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
则，
所以小明星期天选择跑步的概率为.
19．（2025高二下·东莞期中）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵.
（1）证明：当且仅当时，；
（2）若，且，比较与1的大小；
（3）重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求.
【答案】（1）证明：若，则，
所以，
当时，因为，
所以，
则，
综上可知：当且仅当时，.
（2）解：由，得；由，得，
因为，
所以，
解得，
则，，
所以
因为，
所以.
（3）解：由题意知，表示前次都正面朝上，
第次反面朝上，表示前19次都正面朝上，
则，
，
，…，
，
，
所以，.
则.
设，
则，
两式相减，得
所以，
则.
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的求和；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）当时，，当时，由可得，从而证出当且仅当时，.
（2）根据已知条件结合古典概率公式和概率的基本性质，从而计算出的值，再利用对数的运算法则得出，再利用比较出与1的大小.
（3）根据题意表示出，再利用错位相减法得出.
（1）若，则，所以.
当时，因为，所以，所以.
综上可知：当且仅当时，.
（2）由得，由，得.
因为，所以，解得，于是，..
因为，所以.
（3）由题意知，表示前次都正面朝上，第次反面朝上，表示前19次都正面朝上，
则，，，…，
，.
所以，.
所以.
设，则，
两式相减得，
所以，
故.
1 / 1广东省东莞市五校联考2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·东莞期中）如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量服从正态分布，则（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
3．（2025高二下·东莞期中）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（　　）
A． B．1 C． D．3
4．（2025高二下·东莞期中）一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当 且 时称为“凹数”；若 ，且a，b，c互不相同，则“凹数”的个数为（　　）.
A．20 B．36 C．24 D．30
5．（2025高二下·东莞期中）在展开式中存在常数项，则正整数可以是
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
6．（2025高二下·东莞期中）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则 （　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·东莞期中）设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·东莞期中）已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高二下·东莞期中）在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论：
①当销量为1000件时，总收益最大；
②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为；
③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2025高二下·东莞期中）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．与6的大小无法确定
二、多选题
11．（2025高二下·东莞期中）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，（其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C．直线恰好过点C D．
三、填空题
12．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量，，，　 　.
13．（2025高二下·东莞期中）若， 则的值为　 　
14．（2025高二下·东莞期中）、为上在轴两侧的点，过、的切线与轴围成面积的最小值为　 　.
四、解答题
15．（2025高二下·东莞期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
16．（2025高二下·东莞期中）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
（1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
（2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
17．（2025高二下·东莞期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
18．（2025高二下·东莞期中）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄 次数
每周0～2次 70 55 36 59
每周3～4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式：．
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（2025高二下·东莞期中）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵.
（1）证明：当且仅当时，；
（2）若，且，比较与1的大小；
（3）重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：因③图形比较分散，则；因为①②④相较③接近于一条直线附近，所以，
又因为②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，所以.
综上，最大.
故选：A
【分析】由散点图图形趋势（如果散点图中的点大致分布在一条直线的附近，这表明两个变量之间存在线性关系；如果点分布得较为分散，或者存在明显的非线性模式，这可能表明两个变量之间的关系不是线性的，或者关系较弱 ）可判断大小关系.
2．【答案】D
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】由正态分布求方差公式和，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为回归直线过样本点中心即，
将其代入，可得，解得，
当时，，
所以残差为.
故答案为：A.
【分析】将样本点中心代入回归方程求出的值，再代入得出的值，最后作差得出相应于点的残差.
4．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，分2步进行分析：
（1）在 五个数中任取3个数，来组成“凹数”，有 种取法，
（2）将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位，个位，有 种情况，
则“凹数”的个数为 个.
故答案为：A
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①、在0，2，3，4，5五个数中任取3个数，来组成“凹数”，②、将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位、个位，由分步计数原理计算可得答案．
5．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为展开式的通项公式为：，
依题意，，解得，
因此是的倍数.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理求出二项式的展开式的通项公式，再利用常数项的定义和幂指数的特征，从而得出正整数可能的取值.
6．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意
事件 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有 个事件
由条件概率的定义：
故答案为：B
【分析】由条件概率的定义 ，分别计算 即得解.
7．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，，
所以，甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，，
根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为：
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，
其概率为，
则前4次中甲恰好投篮3次的概率为.
故答案为：C.
【分析】 对前4次中甲恰好投篮3次的情况分析，然后再由互斥事件的概率加法公式求和.
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增，
作出和的图象如图：
令，可得，（舍去），
所以，曲线上斜率为3的切线的切点为，
则该切线方程为，且与直线平行，
所以，两平行线间的距离即为到直线的距离，
则的最小值即为．
故答案为：A．
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用已知条件求出切点坐标，将求点到直线的距离的最小值等价于求斜率为3的切线的切点到直线的距离，最后利用平行直线间的距离公式计算得出的最小值．
9．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：根据题意，可知，
则（为常数），
①（为常数），
根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确；
②若销量为800件时，总收益为，
所以（为常数），
解得，
则当销量增加400件，即当件，
总收益为，②正确；
③当销量从500件增加到501件时，，
总收益改变量的近似值为500，③正确.
故答案为：D.
【分析】先根据导函数得到（为常数），再利用分类讨论的方法和二次函数求最值的方法以及二次函数的单调性，从而逐项判断找出正确结论的个数.
10．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量X服从二项分布，
所以，
则要使最大，需满足，
解得，
又因为，所以，当为整数时，
再结合题意，得，所以；
则不为整数时N为小于，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】先利用二项分布求概率公式和函数求最值的方法，从而得出N与p的不等关系，再利用已知条件得出，结合数学期望公式得出，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A、B，由图可知与正相关，则故A正确、B错误；
对于C，由，，
则回归直线过，故C正确；
对于D，由题意，去掉离群点B后，拟合效果更好，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由回归直线方程中的正负判断出x与y的线性相关关系，则判断出选项A和选项B；利用回归直线恒过中心点的性质结合平均数公式，则判断出选项C；利用决定系数的定义和比较法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，，知，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值.
13．【答案】1
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由，
令，则，
令，则，
则
.
故答案为：1.
【分析】 通过对x赋值1和-1，求出各项系数和与正负号交替出现的系数和，两式相乘求得 的值 .
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对函数求导，得，
设点、，
不妨设，
所以，曲线在点处的切线方程为，
可得，
同理可知，曲线在点处的切线方程为，
联立，可得，
则点，
在直线方程中，
令，可得，则点，同理可得点，
所以，，
，
令，
令，
则，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
则，
当且仅当时，的面积取得最小值.
故答案为：.
【分析】设点、，不妨设，利用导数的方法求出曲线在点、处的切线方程，再联立两直线方程求出点的坐标，利用赋值法得出点C的坐标和点D的坐标，再利用两点距离公式得出，根据三角形的面积公式得出的表达式，结合基本不等式求最值的方法结合导数求最值的方法，从而得出面积的最小值.
15．【答案】（1）解：由题意，函数，
令，解得或；令，解得，
所以函数单调递增区间为，递减区间为，
综上可得，当时，函数单调递增区间为，递减区间为.
（2）解：由(1)知
函数在递增，在递减，在递增，
且当时，，当时，，
要使得函数有三个零点，则满足
解得，
综上可得，实数的取值范围.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）首先对函数进行求导，进而利用导函数的正负值判断函数的单调性；
（2）根据（1）中结果将函数的单调性与最值求出，接着由于有三个零点得到不等式子，解出不等式组即可得到结果.
16．【答案】（1）解：有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3，
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，
则，
所以，
，
，
，
则X分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以.
（2）解：当不放回抽样时，则，
则，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
所以.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）当有放回抽样时，则，利用二项分布求概率公式，从而求出对应概率，进而得到随机变量X的分布列，再由二项分布的方差公式可得随机变量X的方差.
（2）当不放回抽样时，则，利用超几何分布求出对应的概率，从而可得Y的分布列，再利用超几何分布求数学期望公式，从而得出随机变量Y的数学期望.
（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3．
每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，
所以，，
，，
则X分布列为：
X 0 1 2 3
P
则
（2）不放回抽样时，则
，，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
则
17．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
因为，
所以在处的切线方程为．

（2）解：因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，
列表如下：
- 0 +
递减 极小值 递增
所以，
由题意，可得，
则，
令，则，
因为，当时等号成立，
所以函数在单调递增，
由，
得，
所以实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点的坐标，再由点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
（2）先求出导函数，再分和讨论，从而求出函数的极小值，再由整理得出构造新函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求解得出实数a的取值范围.
（1）当时，，则，所以，
因为，所以在处的切线方程为．
（2）因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
- 0 +
递减 极小值 递增
所以，
由题意可得，即，
令，则．
因为，当等号成立，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是．
18．【答案】（1）解：零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题意，得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
则，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）解：由数表知，利用分层抽样的方法，
在抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
则的分布列：
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）解：记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
设星期天选择跑步为事件，
则，
又因为，
所以
，
则小明星期天选择跑步的概率为.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列出的列联表，利用独立性检验的方法得出卡方值，再结合附表比较认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）根据题意得到随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出相应的概率，进而列出随机变量的分布列，再结合数学期望的公式，从而得出随机变量的数学期望.
（3）根据题意和条件概率公式以及全概率公式，从而得出小明星期天选择跑步的概率.
（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
　 青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
则，
所以小明星期天选择跑步的概率为.
19．【答案】（1）证明：若，则，
所以，
当时，因为，
所以，
则，
综上可知：当且仅当时，.
（2）解：由，得；由，得，
因为，
所以，
解得，
则，，
所以
因为，
所以.
（3）解：由题意知，表示前次都正面朝上，
第次反面朝上，表示前19次都正面朝上，
则，
，
，…，
，
，
所以，.
则.
设，
则，
两式相减，得
所以，
则.
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的求和；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）当时，，当时，由可得，从而证出当且仅当时，.
（2）根据已知条件结合古典概率公式和概率的基本性质，从而计算出的值，再利用对数的运算法则得出，再利用比较出与1的大小.
（3）根据题意表示出，再利用错位相减法得出.
（1）若，则，所以.
当时，因为，所以，所以.
综上可知：当且仅当时，.
（2）由得，由，得.
因为，所以，解得，于是，..
因为，所以.
（3）由题意知，表示前次都正面朝上，第次反面朝上，表示前19次都正面朝上，
则，，，…，
，.
所以，.
所以.
设，则，
两式相减得，
所以，
故.
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