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(共27张PPT)
第18章 勾股定理及其逆定理
18.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
进一步理解和掌握勾股定理.
能够利用勾股定理解决简单的实际问题.
3
通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型， 体会转化思想、模型思想，形成应用意识.
情境导入
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
波平如镜一湖面， 3 尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺.
推进新课
例 2
现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图. 已知该消防车高 3 m，将云梯伸长到 10 m，在成功救出位于 9 m 高处的受困人后，还要救援位于 12 m 高处的受困人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？（精确到 0.1 m）
解 如图，设 A 是云梯的下端点，AB 是伸长到 10 m 后的云梯，B 是第一次救人的地点，D 是第二次救人的地点，过点 A 的水平线与楼房 ED 的交点为 O.
则 OB = 9 – 3 = 6 (m)，
OD = 12 – 3 = 9 (m).
根据勾股定理，得
AO2 = AB2 – OB2 = 102 – 62 = 64，
则 AO = 8 m.
设 AC = x m，则 OC = (8 – x) m.
根据勾股定理，得
OC2 + OD2 = CD2，
即 (8 – x)2 + 92 = 102.
解方程，得 x1 ≈ 12.4，x2 ≈ 3.7.
根据题目的实际意义，取近似数时应往大了取.
∵AC < AO < AB，
∴ x1 不合题意，∴x ≈ 3.7.
答：这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约 3.7 m.
练一练
1. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到 0.1 m)
【教材P55练习 T1】
练一练
1. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到 0.1 m)
【教材P55练习 T1】
解：由题可知，楼梯的宽度为
所以地毯的长度至少需要：
练一练
2. （1）如图，长 3 m 的梯子斜靠着墙，梯子底端离墙根 0.6 m，梯子顶端离地面多少米？（精确到 0.1m）
【教材P55练习 T2】
解：由题可知，梯子顶端离地面的高度为
3 m
0.6 m
练一练
2. （2）题（1）中，若梯子的顶端自墙面下滑了 0.9 m，那么梯子的底端沿地面向外滑动的距离是否也为
0.9 m？说明理由.
【教材P55练习 T2】
解：不是. 理由如下：
由题可知，梯子滑动后，底端离墙根的距离为
3 m
0.6 m
所以梯子底端向外滑动的距离约为 2.2 – 0.6 = 1.6 (m).
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
建构
利用
解决
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
现在你能求出湖水深几尺了吗？
波平如镜一湖面， 3 尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺.
红莲原本高出平静湖面 3 尺，被风吹倒后与湖面一样高，且偏离原处 6 尺远.
3 尺
6 尺
尺
A
C
D
B
解：设湖水深 x 尺，根据勾股定理，得
CD2 + BC2 = BD2，即 x2 + 62 = (3 + x)2.
解方程，得 x = 4.5.
即湖水深 4.5 尺.
练一练
我国古代数学著作《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是：如图，有一个水面是边长为 10 尺的正方形水池，正中央有一根芦苇，它露出水面部分高 1 尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长.（注：尺为当时的长度单位）
【教材P55练习 T3】
练一练
【教材P55练习 T3】
解：由于芦苇位于水池中央，所以 AC 为 5 尺. 设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺.
B
O
C
A
两点之间的距离公式
如果数轴上的点 A1，A2 分别表示实数 x1，x2，两点 A1，A2 间的距离记作 |A1A2|，那么 |A1A2| = |x2 – x1|.
对于平面上的两点 A1，A2 间的距离是否有类似的结论呢？
x1
x2
A1
A2
A1
A2
【教材P62-63】
两点之间的距离公式
如图，已知坐标平面上两点 A (3，0)，B (0，4)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？
问题1
O
1
2
3
x
1
2
3
y
4
B
A
在 Rt△OAB 中，由勾股定理，得
∴ AB = 5.
AB2 = AO2 + BO2 = 32 + 42 = 25
即 |AB| = 5.
由图可知：AO = 3，BO = 4.
【教材P62-63】
两点之间的距离公式
如图，已知坐标平面上两点 A (1，2)，B (5，5)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？
问题2
B
A
在 Rt△ABC1 中，由勾股定理，得
∴ AB = 5.
AB2 = AC12 + BC12 = 32 + 42 = 25，
即 |AB| = 5.
∴AC1 (BC2) = 5 – 2 = 3， BC1 (AC2) = 5 – 1 = 4.
O
1
2
3
x
1
2
3
y
4
5
4
5
C1
C2
如图，过点 A 向直线 y = 5 和直线 x = 5 作垂线，垂足为 C1，C2.
【教材P62-63】
两点之间的距离公式
一般地，如图，对于坐标平面上任意两点 A(x1，y1) 和 B(x2，y2)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？
问题3
B(x2，y2)
A(x1，y1)
O
x
y
A'
B'
A''
B''
C
|CB| = A'B' =
|CA| = A''B'' =
|AB|2 = |CB|2 + |CA|2
=
∵
∴
|AB| =
∴
|x2 – x1|
|y2 – y1|
(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
【教材P62-63】
两点之间的距离公式
平面直角坐标系中两点之间的距离公式：
一般地，对于坐标平面上任意两点 A(x1，y1) 和 B(x2，y2)，A，B 两点之间的距离：
【教材P62-63】
练一练
分别求下列两点之间的距离：
（1）A (–1，2)，B (–5，–6)；
（2）A (1，–5)，B (7，3).
【教材 P63】
解：（1）
（2）
随堂练习
1. 如图，A，B 是池塘边上的两点，C 是与 BA 方向成直角的方向上一点，测得 BC = 60 m，AC = 20 m. 求 A，B 两点间的距离（结果取整数）.
解:
2. 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过.
课堂小结
勾股定理
应用
寻找直角，直接求边长
利用勾股定理构造方程
两点之间的距离公式
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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