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第18章 勾股定理及其逆定理
18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.
探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.
3
会认识并判断勾股数.
新课导入
前面我们学习了勾股定理，同学们能说一说它的条件和结论吗？
如果一个三角形是直角三角形，
那么这个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
条件
结论
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这么三角形是直角三角形.
条件和结论交换，还成立吗？
条件
结论
探究新知
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
在一根绳子上连续打上等距离的 13 个结，然后，用钉子将第 1 个与第 13 个结钉在一起，拉紧绳子，再在第 4 个和第 8 个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.
你知道为什么吗？
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思考
用圆规、直尺作△ABC，使 AB = 5，AC = 4，BC = 3.
思考
量一量∠C，它是 90°吗？
A
B
C
这个三角形三边有什么关系吗？
32 + 42 = 52
直角三角形
满足两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形吗？
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
42 + 7.52 = 8.52
△ABC 的三边长满足 AC2 + BC2 = AB2，则∠C 为多少度？
思考
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
在 △ABC 中， a2 + b2 = c2，
∴ ∠C = 90°.
几何语言：
B
C
b
c
a
A
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理
练一练
给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来说明方桌面的角是直角？
【教材P59练习 T2】
量出方桌面两条邻边（长和宽）和相对顶点间的距离（对角线的长度），计算其两邻边长的平方和与对角线长度的平方，若相等，则桌面的角是直角，否则不是.
例 1
根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a = 7，b = 24，c = 25；
（2）a = 7，b = 8，c = 11.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方即可.
解 （1） ∵ 72 + 242 = 252，
∴ a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形，最长边 c 所对的角是直角.
（1）a = 7，b = 24，c = 25；
（2）a = 7，b = 8，c = 11.
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如: 3，4，5；5，12，13.
勾股数
（2） ∵ 最长边是 c = 11，c2 = 121，
a2 + b2 = 72 + 82 = 113，
∴ a2 + b2 ≠ c2.
∴△ABC 不是直角三角形.
练一练
1. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.
【教材P59练习 T1】
（1）a = 2，b = 3，c = 4.
（2）a = 9，b = 7，c = 12.
（3）a = 25，b = 20，c = 15.
（ ）
（ ）
（ ）
22 + 32 = 13 ≠ 42
不是
72 + 92 = 130 ≠ 122
不是
152 + 202 = 625 = 252
是
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
找：找三角形的最长边.
1
3
判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
2
算：计算最长边的平方与另两边的平方和.
方法
练一练
2. 大家知道 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41 等都是勾股数. 你发现以上几组勾股数有什么规律？请再写出两组勾股数.
【教材P59练习 T3】
解：最小数是大于1的奇数，中间数比最大的数小1.
类似地可以写出：11，60，61；13，84，85 等.
进一步归纳可以发现，这些勾股数可以写成
的形式.
随堂练习
1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 4，b = 5，c = 6；
（2）a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4；
解:（1）∵最长边是 c = 6，c2 = 36，
a2 + b2 = 42 + 52 = 41，
∴ a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
（2）∵2.42 + 0.72 = 6.25 = 2.52 ，
∴c2 + b2 = a2，∴这个三角形是直角三角形.
（4）
（3）
（3）∵最长边
∴ a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
∴ a2 + b2 = c2，∴这个三角形是直角三角形.
（4）∵
2. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别画三个半圆， 三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3. 若 S1 + S2 = S3，判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由.
解：△ABC 是直角三角形. 理由如下：
∵ S1 + S2 = S3，
∴ AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形.
3. 四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD = 10，求四边形 ABCD 的面积．
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 + AD2 = BD2，BD2 + BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A =∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC
答: 四边形 ABCD 的面积是 144．
课堂小结
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形的判定
证明
内容
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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