资源简介

(共18张PPT)
第18章 勾股定理及其逆定理
18.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
理解勾股定理与其逆定理的区别和联系.
灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
情境导入
在军事和航海上经常要确定方向和位置，常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！
探究新知
例 2
已知：在△ABC中，三边长分别为 a = n2 – 1，b = 2n，c = n2 + 1（n > 1）.
求证：△ABC 为直角三角形.
证明 ∵ a2 + b2 = (n2 – 1)2 + (2n)2
= n4 – 2n2 + 1 + 4n2
= n4 + 2n2 + 1
= (n2 + 1)2
= c2
∴△ABC 为直角三角形.
应用勾股定理的逆定理
练一练
1. 一个三角形三边长的比是 ，判断这个三角形的形状.
【教材P60练习 T1】
解：设这个三角形的三边长分别为
∴这个三角形是直角三角形.
∵
练一练
2. 在△ABC 中，三边长 a，b，c 满足 (a + c)(a – c) = b2，判断△ABC 的形状，并说明理由.
【教材P60练习 T2】
解：△ABC 是直角三角形，理由如下：
∵ (a + c)(a – c) = b2，即 a2 – c2 = b2，
∴ c2 + b2 = a2，
∴这个三角形是直角三角形.
°
例 3
如图，营地 A 与哨所 B 相距 10 km，东侧有条南北走向的河流 PQ. 哨兵先从营地 A 骑马沿南偏东 34°的方向走 6 km 到达河边 C 处让马饮水，再走 8 km 到达哨所 B 处执勤，最后返回营地 A. 你知道哨兵在 C 处是沿哪个方向到达哨所 B 吗？
A
C
Q
P
D
北
东
34°
B
【思考】1. 已知哪些条件？
2. 需要解决的问题是什么？
10 km
6 km
8 km
34°
也就是求∠BCQ 的度数.
°
A
C
Q
P
D
北
东
34°
B
10 km
6 km
8 km
34°
解 由题意，得 AB = 10 km，AC = 6 km，BC = 8 km.
∵ 62 + 82 = 102，
∴ AC2 + BC2 = AB2.
∴∠ACB = 90°.
又∵ AD//PQ，
∴∠ACP =∠DAC = 34°.
∴∠BCQ = 180°– 90°– 34°= 56°.
答：哨兵在 C 处是沿南偏西 56°的方向到达哨所 B 处.
1. 如图，正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的，点 E，F 均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接 AE，AF，求 ∠EAF 的度数.
练一练
A
B
D
C
E
F
解：如图，连接 EF，
A
B
D
C
E
F
则
∵
∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF = 90°.
又∵ AE = EF，∴∠EAF =∠EFA = 45°.
练一练
2. 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.
“远航”号、“海天”号轮船同时
离开港口，各自沿一固定方向航行，
“远航”号每小时航行 16 n mile，
“海天”号每小时航行 12 n mile.
它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
解：根据题意，得
PQ = 16 × 1.5 = 24 n mile，
PR = 12×1.5 = 18 n mile，
QR = 30 n mile.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
随堂练习
1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
解：由图知：AB = 12 km，BC = 5 km，AC = 13 km.
∵AB2 + BC2 = 122 + 52 = 169，
AC2 = 132 = 169，
∴AB2 + BC2 = AC2，
∴△ABC 为直角三角形，且 ∠B = 90°.
又∵A 地在 B 地的正东方向，
∴ C 地在 B 地的正北方向.
2. 高师傅有 5 根长度分别为 a = 6，b = 8，c = 10，d = 24，e = 26 （单位：dm）的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架. 请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
解：a2 = 36，b2 = 64，c2 = 100，d2 = 576，e2 = 676，
∵a2 + b2 = c2，c2 + d2 = e2，
∴有可能的钢条组合有 2 种，长度分别为 6，8，10 和 10，24，26（单位：dm）.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
解：∵ AC⊥BC，∴∠ACB = 90°.
在Rt△ABC 中，
AC2 = AB2 – BC2 = 52 – 32 = 16，∴AC = 4.
在△ACD 中，
∴△ACD 是直角三角形，即 AC⊥AD.
∵
4. 如图，已知 AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AB = 3，BC = 4，∠B = 90°，由勾股定理，得
AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25，∴ AC = 5 .
又∵CD = 12，AD = 13，∴ AC2 + CD2 = AD2.
∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD
课堂小结
勾股定理的逆定理的应用
判断一个三角形是不是直角三角形
判断前进方向
计算不规则四边形面积
课后作业
完成练习册本课时的习题.

展开更多......

收起↑