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第18章 勾股定理及其逆定理
小结 · 评价
沪科版·八年级下册
知识体系
勾股定理
勾股定理的逆定理
互逆关系
回顾与思考
考点1
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2.
几何语言：
B
C
b
c
a
A
证明方法：将4个全等的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形.
举一反三训练
在 Rt△ABC 中，已知两直角边分别是 5 和 12，则第三边长度为______.
13
若直角三角形的两边的长分别为 和 2，则该直角三角形第三边长为________.
c2 = a2 + b2 = 52 + 122 = 169 = 132
已知两边，求第三边
举一反三训练
直接求出下图中 x、y 和 z 的值.
已知一边及一个特殊角
2
x
90°
45°
y
1
90°
30°
4
z
90°
60°
2
2
2
举一反三训练
如图，在 Rt△ABC 中，已知 AB 长度为 6，BC – AC = 2，求 AC 的长度.
已知一边及另外两边的数量关系
B
A
C
解：设 AC 的长度为 x，则 BC 的长度为 (x + 2).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得
62 + x2 = (x + 2)2
解得 x = 8.
即 AC 的长度为 8.
6
x+2
x
考点2
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
在 △ABC 中， a2 + b2 = c2，
∴ ∠C = 90°.
几何语言：
B
C
b
c
a
A
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如: 3，4，5；5，12，13.
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
找：找三角形的最长边.
1
3
判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
2
算：计算最长边的平方与另两边的平方和.
方法
试判断下列边长组成的三角形是否为直角三角形：
（1）a = 2，b = 3，c = 4；
（2）a = 6，b = 8，c = 10；
（3）a = 5，b = 13，c = 17.
举一反三训练
22 + 32 ≠ 42，不是直角三角形.
62 + 82 = 102，是直角三角形.
52 + 132 ≠ 172，不是直角三角形.
举一反三训练
如图，每个小正方形的边长都为 1.
（1）求四边形 ABCD 的面积和周长.
（2）∠BCD 是直角吗？请说明理由.
A
B
C
D
解:（1）由勾股定理，得
A
B
C
D
∴四边形 ABCD 的周长为
如图，沿格线过 A，B，C 三点作正方形 AEFG，过点 D 作 DH⊥AG 于点 H.
H
E
F
G
∴
A
B
C
D
（2）∠BCD 是直角. 理由如下：
如图，连接 BD.
由勾股定理，得 BD2 = 32 + 42 = 25.
由（1）知 CD2 = 5，BC2 = 20，
在△BCD 中，CD2 + BC2 = 5 + 20 = 25 = BD2，
∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD 是直角.
举一反三训练
如图，在三角形支架中，AD⊥BC，垂足为 D，AB = 2 m， AC = 1.5 m，DC = 0.9 m.
（1）求 BD 的长；
（2）判断支架外框 △ABC 的形状，并说明理由.
解:（1）在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
AD2 = AC2 – DC2 = 1.52 – 0.92 = 1.44.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得
（2）△ABC 是直角三角形. 理由如下：
∵BD = 1.6 m，DC = 0.9 m，∴BC = 2.5 m.
∵AB2 + AC2 = 22 + 1.52 = 6.25 = 2.52 = BC2 ，
∴△ABC 是直角三角形.
举一反三训练
古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数，a = 2m，b = m2－1，c = m2 + 1，那么 a，b，c 为勾股数. 你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论写出一些勾股数.
解：正确. 证明：易知 a，b，c 都是正整数，
∵a2 = (2m)2 = 4m2，b2 = (m2 – 1)2 = m4 – 2m2 + 1，
c2 = (m2 + 1)2 = m4 + 2m2 + 1，
a2 + b2 = 4m2 + m4 – 2m2 + 1 = m4 + 2m2 + 1 = c2 .
∴a，b，c 为勾股数. 如：20，99，101等.
自评与互评
勾股定理的证法很多，请查阅相关资料，选择你最欣赏的一种证法，与同学交流.
通过本章的学习，我们知道勾股定理的逆命题是真命题，即为勾股定理的逆定理. 你还能找到哪些具有这样特点的定理？请与同学交流.
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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