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第18章 勾股定理及其逆定理
复习题
沪科版·八年级下册
1. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = ，BC = .求△ABC 的周长.
A组
【教材P66复习题A组 T1】
解：由勾股定理，得
∴△ABC 的周长为
A组
【教材P67复习题A组 T2】
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，BC = ，AC = . 求 AB 的长及△ABC 的面积.
解：由勾股定理，得
【教材P67复习题A组 T3】
A组
3. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 求证：当 a，b，c 为勾股数时，ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数.
解：由勾股定理，得 a2 + b2 = c2.
∴(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2.
∴当 a，b，c 为勾股数时，ka，kb，kc 也是勾股数.
【教材P67复习题A组 T4】
A组
4. 如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A (0，2)，B (4，0)，C (6，4)，求△ABC 的周长与面积.
x
y
O 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
A
C
B
解：由勾股定理，得
∴△ABC 周长 = AB + BC + AC
【教材P67复习题A组 T5】
A组
5. 立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶垂下，绳碰到地面后还余 3 m，把绳的着地端沿地面移动到离杆 9 m 远的一点，恰好把绳子拉直，这根旗杆有多高？
解：设旗杆高 x m，则绳长 (x + 3) m，由勾股定理，得
x2 + 92 = (x + 3)2
解得 x = 12.
∴旗杆高 12 m.
【教材P67复习题A组 T6】
A组
6. 如图，在行距和列距都是 1 的方格网中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段 AD//BC 且使 AD = BC，连接 CD；
（2）AC 的长为_______，CD 的长为_______，AD 的长为_______；
（3）△ACD 为_______三角形.
A
C
B
D
5
直角
7. 利用两个全等直角三角形构造一个如图所示的图形，你能用这个图形证明勾股定理吗？
【教材P67复习题A组 T7】
A组
b
c
a
b
c
a
解：图中的梯形的面积为
组成梯形的3个三角形面积之和为
由两个式子相等，可得 a2 + b2 = c2.
【教材P68复习题B组 T1】
B组
1. 在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，若 AB = 10，AC = 17，AD = 8，求△ABC 的面积.
解：由勾股定理，得
∴
【教材P68复习题B组 T2】
B组
2. 如图，将 AB = 10 cm，AD = 8 cm 的长方形纸片 ABCD，以 AP 为折痕折叠时，顶点 B 与边 CD 上的点 Q 重合，试分别求出 DQ，PQ 的长.
Q
C
D
A
B
P
解：由题意得 AQ = AB = 10 cm，由勾股定理，得
∴ CQ = DC – DQ = 4 cm，
设 PQ = PB = x cm，则 CP = (8 – x) cm，由勾股定理，得
(8 – x)2 + 42 = x2.
解得 x = 5.
即 PQ = 5 cm.
【教材P68复习题B组 T3】
B组
3. 通过尺规作图，在数轴上找出表示 的点.
解：先作出表示 的点，再从 1 处向左截取一段长度为 ，与数轴的交点即为
O
1
2
1
【教材P68复习题B组 T4】
B组
4. 利用勾股定理讨论以下问题，S1，S2 分别表示直角三角形中直角边上图形的面积，S3 表示斜边上图形的面积.
（1）以直角三角形的三边为边分别向形外作等边三角形，则 S1 + S2 与 S3 是什么关系？
（2）以直角三角形的三边为直径分别向形外作半圆，则 S1 + S2 与 S3 是什么关系？
（3）根据（1）（2），你有什么发现？
S1 + S2 = S3
S1 + S2 = S3
以直角三角形的三边为边向形外作同边数的正多边形或以三边为直径作半圆，所得图形的面积之间始终有这样的关系存在：S1 + S2 = S3.
【教材P68复习题B组 T5】
B组
5. 如果 m，n 是任意给定的正整数 (m > n) ，求证：m2 + n2，2mn，m2 – n2 是勾股数.
证明：∵ m > n，∴(m – n)2 > 0，即 m2 + n2 > 2mn.
∵(2mn)2 + (m2 – n2)2 = 4m2n2 + m4 – 2m2n2 + n4
= m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2.
∴ m2 + n2，2mn，m2 – n2 是勾股数.
又∵ m2 + n2 > m2 – n2 ，所以 m2 + n2 为最大的数.
【教材P68复习题B组 T6】
B组
6. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA = 6，PB = 8，PC = 10. 若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到△P'AB. 连接 PP'，求 PP' 的长和∠APB 的度数.
【教材P68复习题B组 T6】
B组
解：∵△P'AB是由△PAC绕点A逆时针旋转得到的，
∵在等边三角形ABC中，∠BAC=60°，
∴∠P'AB+∠PAB=∠PAC+∠PAB=∠BAC=60°，
∴P'A=PA=6，P'B=PC=8，∠P'AB=∠PAC.
即∠P'AP=60°.
又∵在△P'AP中，P'A=PA，∴△P'AP是等边三角形.
∴PP'=AP=6，∠P'PA=60°.
∴PP'2+BP2=62+82=102=P'B2.
∴△P'BP是直角三角形，∠BPP'=90°.
∴∠APB=∠BPP'+∠APP'=90°+60°=150°.
【教材P68复习题B组 T7】
B组
7. 在行距、列距都是 1 的 n×n 方格网中，连接任意两个格点，把得到的长度相同的线段看作一类.
（1）当 n = 1，2，3，4 时，在下表中分别写出不同长度线段的种类和种类数：
n 的值 1 2 3 4
方格网图
不同长度线段的种类
不同长度线段的种类数 S 2 5
4×4
3×3
2×2
1×1
9
14
【教材P68复习题B组 T7】
B组
（2）根据表格内容，猜想 S 与 n 的关系；
n 的值 1 2 3 4
方格网图
不同长度线段的种类
不同长度线段的种类数 S 2 5
4×4
3×3
2×2
1×1
9
14
5×5
S =
（n≥1）
【教材P68复习题B组 T7】
B组
（3）如图，当 n = 5 时，验证你猜想的结论是否成立.
5×5
解：当 n = 5 时，猜想：S = = 20.
验证：
∴当 n = 5 时，S = 19，猜想结论不成立.
【教材P69复习题B组 T8】
B组
8. 如图，长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，设点 D 落在点 D' 处，BC 交 AD' 于点 E，AB = 6 cm，BC = 8 cm，求△AEC（阴影部分）的面积.
E
C
D
A
B
D'
解：由题意得 CD' = CD = AB = 6 cm，
在△ABE 与△CD'E 中，
∠AEB =∠CED'，
∠B =∠D'，
AB = CD'，
∴△ABE≌△CD'E.
∴ BE = D'E，AE = CE.
【教材P69复习题B组 T8】
B组
8. 如图，长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，设点 D 落在点 D' 处，BC 交 AD' 于点 E，AB = 6 cm，BC = 8 cm，求△AEC（阴影部分）的面积.
设 BE = x cm，则 AE = CE = (8 – x) cm，由勾股定理，得
x2 + 62 = (8 – x)2
解得
∴
∴
E
C
D
A
B
D'
【教材P69复习题B组 T9】
B组
9. 如图，有一块 Rt△ABC 的绿地，∠C = 90°，AC = 8 m，BC = 6 m. 现在要将这块绿地扩充成等腰三角形 ABD，扩充部分△ADC 是直角三角形，且一直角边长为 8 m. 求△ABD 的周长.
B
C
A
解析：由勾股定理，得
AB2 = 62 + 82 = 100，∴ AB = 10 m.
由题意，一共有四种扩充方法.
【教材P69复习题B组 T9】
B组
B
C
A
D
8
6
10
AD = AB = 10
BD = AB = 10
BD = AB = 10
AD = BD
B
C
A
D
8
8
6
10
B
C
A
D
8
6
10
B
C
A
D
8
6
10
10
6
周长：32 m
10
周长：36 m
4
周长： m
周长： m
【教材P70复习题B组 T10】
B组
10. 如图，在 8×8 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1.
（1）请建立一个适当的平面直角坐标系，使点 B， C 的坐标分别为 (4 ，2) 和 (3 ，4) ，求点 A 的坐标；
（2）作出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1，求点 B1 的坐标；
（3）在 x 轴上找一点 P，使△PAB 的周长最小，求点 P 的坐标.
A
C
B
A
C
B
【教材P70复习题B组 T10】
B组
x
y
O
1
1
2
3
4
–2
–1
2
3
4
5
–3
–2
–1
–4
–3
解：（1）如图所示，点 A 坐标为(1，1).
A1
C1
B1
（2）如图所示，点 B1 坐标为(–4，2).
（3）若使△PAB 的周长最小，则 PA + PB 的值最小.
如图所示，作点 B 关于 x 轴对称的点 B′，连接 AB′交 x 轴于点 P，点 P (2，0) 即所求的点.
B'
P
【教材P70复习题C组 T1】
C组
1. 已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c.
（1）计算并填写下表：
边长/cm 三边之间的关系 a b c a2 b2 c2 a2 + b2 a2 + b2 与 c2 (用 =，>或<)
① 4 5 7 16 25 49 41 a2 + b2 < c2
② 6 8 10
③ 6 9 12
④ 5 6 7
⑤ 5 12 13
⑥ 4 8 10
⑦ 7 8 9
36
64
100
100
a2 + b2 = c2
36
81
144
117
a2 + b2 < c2
25
36
49
61
a2 + b2 > c2
25
144
169
169
a2 + b2 = c2
16
64
100
90
a2 + b2 < c2
49
64
81
113
a2 + b2 > c2
【教材P70复习题C组 T1】
C组
1. 已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c.
（2）作出上面各个三角形，观察图形，看看三角形中最长边所对的角是锐角、直角还是钝角，对照上表最后一列关系，你能发现什么规律？
由 a2 + b2 > c2，可判断∠C < 90°；由 a2 + b2 = c2 ，可判断∠C = 90°；由 a2 + b2 < c2，可判断∠C > 90°.
【教材P71复习题C组 T2】
C组
2. 如图，图中曲线是地形图中的等高线（同一条曲线上各点的海拔是一样的），如果线段 AB 的图上距离是 2.5 cm，那么两个地点 A，B 间的相对高度（指某个地点高出另一个地点的垂直距离）和实际直线距离各为多少米？（图中表示等高线数据的单位为 m）
（比例尺 1:5000）
【教材P71复习题C组 T2】
C组
（比例尺 1:5000）
解：由图可知，点 A 所处海拔为 900 m，点 B 所处海拔为 100 m，所以 A，B 间的相对高度为
900 – 100 = 800 (m).
∵线段 AB 的图上距离是 2.5 cm，由比例尺可得，A，B 间的实际水平距离为
2.5×5000 = 12500 (cm) = 125 (m).
由勾股定理得，A，B 间的实际直线距离为
【教材P71复习题C组 T3】
C组
3. 在平面直角坐标系中，下列两点关于直线 y = x 有怎样的位置关系？你能说明道理吗？
（1）A (5，2)，A' (2，5)；
（2）A (2，–4)，A' (–4，2)；
（3）A (a，b)，A' (b，a).
解：（1）（2）（3）中两点均关于 y = x 成轴对称.
设 P(x0，y0) 是直线 y=x 上任一点，则x0=y0.
∴ AP = A'P.
∴点P在线段 AA′的垂直平分线上.即点A与点A′关于直线y=x对称.
【教材P71复习题C组 T4】
C组
4. 在坐标平面内有一点 A (2，– )，O 为原点，在 x 轴上找一点 B，使以 O，A，B 为顶点的三角形为等腰三角形，写出点 B 的坐标.
解：点 B 的坐标 或
或 (4 , 0) 或

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