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第18章 勾股定理及其逆定理
数学活动：利用勾股定理进行尺规作图
沪科版·八年级下册
探究新知
你见过右面的图形吗？从图中你能看出什么？
长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来，其一般步骤如下：
取 OA1 = 1 = ，作 Rt△OA1A2，使 A2A1⊥OA1，A2A1 = OA1 = 1，则 OA2 = .
长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来，其一般步骤如下：
过点 A2 ，在 Rt△OA1A2 外作 A3A2⊥OA2，且取 A3A2 = 1，连接 OA3，则 OA3 = .
······
如上继续下去，就可以作出长度为任一正整数的算术平方根的线段.
你能在数轴上画出表示 的点吗？
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
3
﹣2.5
想一想，试一试：
1. 你能在数轴上能表示出哪些数？
2. 你能画出 的线段长度吗？这个长度在数轴上怎么画出？借助直尺和圆规试一试吧！
3. 长 的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？画一画吧！
任何一个实数
你能在数轴上表示出 的点吗？
我们知道，长为 的线段是两条直角边的长都为 1 的直角三角形的斜边.
1
1
O
1
2
3
4
1
你能在数轴上画出表示 的点吗？
O
1
2
3
4
在数轴上找出表示 3 的点 A，则 OA = 3.
过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB = 2.
以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点.
A
B
C
l
也可以使 OA = 2，AB = 3，同样可以求出 C 点.
作长为 （n 是大于 1 的整数）的线段，关键是找到正整数 a，b，使 a2 + b2 = n.
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
利用勾股定理表示无理数的方法：
（2）以原点为圆心，以无理数的斜边长为半径画弧，找到与数轴的交点，即可在数轴上找到表示该无理数的点.
1
–1
0
1
2
3
你能用类似的方法在数轴上找到更多无理数的点吗？如： ……
随堂练习
1. 如图，数轴上点 A 表示的数为 1，AB ⊥ OA，且 AB = OA. 以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴的负半轴于点 C，则点 C 所表示的数为（ ）
D
A. B. C. D.
2. 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是（ ）
B
A. B. C. D.
3. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高. 分别以线段 AB，AC，BD，CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2， S3，S4. 请写出关于 S1，S2，S3，S4 的等式.
解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
由勾股定理，AD2 = AB2 – BD2 = AC2 – CD2.
因为 S1 = AB2，S2 = AC2，S3 = BD2，S4 = CD2，
所以 S1 – S3 = S2 – S4 .
4. 在数轴上做出表示 的点.
解：点 A 即为表示 的点.
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？

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