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第18章 勾股定理及其逆定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形证明勾股定理.
能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算.
3
通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.
复习导入
A
B
C
说一说直角三角形有哪些性质？
① 有一个直角，∠C = 90°
② 两个锐角互余，∠A + ∠B = 90°
a
b
c
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
推进新课
勾
股
弦
3
4
5
并指出“两矩共长二十有五”.
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，
S1 = 9
S2 = 16
S3 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和______斜边长的平方
等于
如图，在行距、列距都是 1 个单位长度的方格网中，Rt△ABC 的顶点都是格点，∠ACB = 90°. 分别以△ABC 的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 S1，S2 与 S3 表示这三个正方形的面积.
探究
S2
S3
S1
b
c
a
（1）
（2）
S2
S3
S1
b
c
a
探究
S2
S3
S1
b
c
a
1.
S1 ____个单位面积
S2 ____个单位面积
S3 ____个单位面积
面积关系
9
9
18
S1 + S2 = S3
探究
S1 ____个单位面积
S2 ____个单位面积
S3 ____个单位面积
面积关系
9
16
25
2.
S2
S3
S1
b
c
a
S1 + S2 = S3
探究
3. 图中三个正方形面积之间有怎样的关系？
S2
S3
S1
b
c
a
（1）
（2）
S2
S3
S1
b
c
a
用它们的边长 a，b，c 表示：_______________.
9 + 16 = 25
9 + 9 = 18
S1 + S2 = S3
a2 + b2 = c2
探究
4. 画若干个直角三角形，分别度量它们的三边长，猜想三边长度有怎样的关系. 与同伴进行交流.
几何画板：直角三角形的三边关系
B
C
b
c
a
A
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b，则 a2 + b2 = c2 .
B
C
b
c
a
A
猜 想
利用拼图来证明猜想：
1. 准备 4 个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c）.
2. 你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边 c 为边长的正方形吗？拼一拼，算算看！
b
c
a
拼法1
拼法2
b
c
a
b
c
a
c
c
b
a
b
a
b
c
a
b
c
a
c
c
b
a
b
a
证 明
B1
E
b
c
a
A1
b
c
a
c
c
b
a
b
a
C1
D1
F
H
G
取 4 个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为 a + b 的正方形 EFGH.
由题意，得
A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1 = c.
因为∠B1A1E +∠A1B1E = 90°，
∠A1B1E =∠D1A1H，
所以∠B1A1E +∠D1A1H = 90°，
∠D1A1B1 = 90°.
同理：
∠A1B1C1 =∠B1C1D1 =∠C1D1A1 = 90°.
则四边形 A1B1C1D1 是边长为 c 的正方形.
证 明
B1
E
b
c
a
A1
b
c
a
c
c
b
a
b
a
C1
D1
F
H
G
分别记正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1 的面积为 和 .
则
即
化简，得 a2 + b2 = c2.
拼法2证明
a
b
c
b
a2 + b2
c2
a
a
b
c
=
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2.
几何语言：
定理：
B
C
b
c
a
A
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理.
2002年，第 24 届国际数学家大会在北京召开，此次大会的会徽是以“弦图”为原型设计的，这是对我国在数学领域取得辉煌成就的充分肯定.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
练一练
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别表示 ∠A，∠B，∠C 的对边.
（1）已知 a = 7，c = 25，求 b；
【教材P54练习 T1】
解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2.
∴ b2 = c2 – a2 = 252 – 72 = 625 – 49 = 576.
∴ b = 24.
练一练
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别表示 ∠A，∠B，∠C 的对边.
（2）已知 c = 25，a∶b = 4∶3，求 a，b.
【教材P54练习 T1】
解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2.
设 a = 4x，b = 3x，则(4x)2 + (3x)2 = 25x2 = 252.
∴ x = 5.
∴ a = 4×5 = 20，b = 3×5 = 15.
例 1
如图，在 Rt△ABC 中，两直角边 AC = 5，BC = 12. 求：
（1）AB 的长；
（2）斜边上的高 CD 的长.
B
C
A
D
解 （1）在 Rt△ABC 中，
AB2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 169.
则 AB = 13.
（2）∵
，
∴
练一练
1. 直角三角形两边长分别是 3，4，求第三边长.
【教材P54练习 T2】
解：分两种情况讨论.
①当已知两边均为直角边时，第三边长为：
②当已知两边一条为直角边，另一条为斜边时，第三边长为：
所以第三边长为 5 或
练一练
2. 如图，在行距和列距都是 1 的方格网中，△ABC 的顶点都是格点，求△ABC 的周长和面积.
【教材P54练习 T3】
A
B
C
解：由勾股定理，得
∴△ABC 的周长为
S△ABC =
随堂练习
1. 求图中字母所代表的正方形的面积.
（1）
225
400
A
SA = 225 + 400 = 625
（2）
225
B
81
SB = 225 - 81 = 144
2. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
解：由勾股定理：（1）
（2）
（3）
3. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
S1
S2
S1 = SA + SB
S2 = SC + SD
SE = S1 + S2
解：由题意得，最大正方形 E 的面积为
122 + 162 + 92 + 122 = 625.
4. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AC + AD = 32，BD = 5，CD = 16，求 AB 的长.
B
C
A
D
解：∵ AD⊥BC，
∴∠ADC =∠ADB = 90°.
由 AC + AD = 32，设 AD = x，则 AC = 32 – x.
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2 + CD2 = AC2，
即 x2 + 162 = (32 – x)2，解得 x = 12，所以 AD = 12.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 + BD2 = AB2，
即 122 + 52 = 169 = AB2，所以 AB = 13.
课堂小结
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2.
几何语言：
定理：
B
C
b
c
a
A
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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