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3.2 一次函数
湘教·八年级下册
复习回顾
根据前面所学想一想：
1.什么叫函数？
一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
2.函数有哪些表示方法？
图象法
列表法
公式法
探索新知
（1）一列“复兴号”高铁自上海站出发，运行40km到达A地后，便以350km/h的速度匀速行驶.如果从离开A地后开始计时，请用表达式表示该列车离开A地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.
时间x（h）是自变量，距离y（km）是x的函数， 它们之间的数量关系为：
距离=速度×时间
即 y=350x.
（2）右图是弹簧秤称重示意图.某弹簧秤能称不超过10kg的物体，弹簧的原长为10cm，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm. 挂上重物后弹簧的长度为y（cm），所挂物体的质量为x（kg）. 请用表达式表示该弹簧秤的弹簧长度y与所挂物体质量x（不超过称量范围）之间的函数关系.
所挂物体的质量x（kg）是自变量，弹簧的长度y（cm）是x的函数， 它们之间的数量关系为：
弹簧长度=原长+弹簧伸长量
即 y=10+0.5x .
y=350x
y=10+0.5x
思考中的两个函数有什么共同的特征？
它们的共同特征是：它们的右边都是关于自变量x的一次式，像这样的函数称为一次函数.它的一般形式是：
y = kx + b（k，b为常数，k≠0）
特别地，当b=0时，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
下列函数中，哪些是一次函数？
y=8x
y=3x+7
y=6x2-3x
x+y=1
y=2π
y=ax
想一想：上述问题（2）中，每挂上1kg物体，弹簧伸长0.5cm.
因变量是如何随着自变量而变化的呢？
自变量x 0 1 2 3 4 … 9 10
因变量y 10 10.5 11 11.5 12 … 14.5 15
+1
+0.5
+1
+0.5
+1
+0.5
+1
+0.5
+1
+0.5
仿造问题（2），将问题（1）中的自变量与因变量的变化过程表示出来.
自变量x 0 1 2 3 4 … 9 10
因变量y 0 350 700 1050 1400 … 3150 3500
+1
+350
+1
+350
+1
+350
+1
+350
+1
+350
可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或减少)相同的数量.
总结归纳
一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的自变量的取值范围是全体实数. 但在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围.
例如，在问题（1）中，自变量的取值范围是x≥0（假设不限制匀速行驶时间）；
在问题（2）中，自变量x的取值范围是0≤x≤10.
例 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1km，气温下降约6℃.某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面xkm处的气温为y℃.
（1）求y随x变化而变化的函数表达式.
解 （1）由于高出地面 x km 处的气温随离地面的高度而变化，因此y是x 的函数，它们之间的数量关系为
甲地高出地面x km处的气温=地面气温－下降的气温
即 y=20－6x .
例 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1km，气温下降约6℃.某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面xkm处的气温为y℃.
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度.
（2）当y=-34 时，即20－6x =-34，解得x=9.
答：此时飞机离地面的高度为9 km.
1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
y=7－x，y=x2，y=-4x，y=，y=2x－3.
一次函数：y=7－x，y=-4x，y=2x－3 .
正比例函数：y=-4x .
【选自教材P94 练习 第1题】
2.某住宅小区的住房物业服务费按住房面积收缴，每月1.6元/m ；有车位的业主还要交车位物业服务费，每个车位每月30元.某业主在该小区有一个车位，其住房面积为 x m ，每月应缴住房和车位物业服务费的总和为y元，求y与x之间的函数关系式，并求当y=254时，x的值.
解：住房面积x是自变量，住房和车位物业服务费的总和y是x的函数，它们之间的数量关系为y=30+1.6x （x＞0）.
当y=254时，即30+1.6x=254，解得x=140.
【选自教材P94 练习 第1题】
随堂练习
1. 下列函数中，一次函数有（ ）
（1）y= ; (2)y=8x2+x(1-8x); (3)y=1-5x; (4)y=1+2π
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.若函数y=(m-2)xn-1+n是一次函数，则m，n应满足的条件是（ ）
A.m≠2且n=0 B.m=2且n=2 C.m≠2且n=2 D.m=2且n=0
C
C
3.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80m，据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.4m，则树高y与年数x之间的函数关系式是___________，它是______函数，同学们在3年之后毕业，则这些树高_______m.
y=0.4x+1.8
一次
3
4.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);
(2)长为8cm的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);
10= ah，不是一次函数.
L=2b+16，L是b的一次函数.
4.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s(千米)和时间t(小时).
y=120-5x，y是x的一次函数.
s=40t，s是t的一次函数也是正比例函数.
课堂小结
1.一次函数的概念：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.
2.当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以正比例函数是特殊的一次函数.

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