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3.4 用待定系数法确定一次函数表达式
湘教·八年级下册
复习回顾
画出函数y=2x，y= +3的图象.
y=2x
许多实际问题的解决都需要求出一次函数的表达式. 怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？
探索新知
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1）， Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
因为一次函数的一般形式是y=kx+b，则要求出该一次函数的表达式，关键是确定k，b的值.
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两点
(x1, y1)，(x2, y2)
一次函数的图象
直线l
选取
画出
选取
解出
因为P（0，-1）和Q（1，1）都在该函数图象上， 所以它们的坐标满足y=kx+b.
将这两点的坐标代入该式，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
k·0 + b =-1，
k + b = 1.
解这个方程组，得
k = 2，
b =-1.
所以这个一次函数的表达式为y=2x-1.
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法.
你能归纳出待定系数法求函数表达式的基本步骤吗？
总结归纳
（1）设这个函数表达式为y=kx+b；
（2）把已知点的坐标x，y的对应值代入解析式列出方程组；
（3）解这个二元一次方程组，求出k、b的值；
（4）把所求出k、b的值代入y=kx+b中，可具体写出一次函数的表达式.
即：一设二列三解四还原.
要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法.
例1 世界上大多数国家（包括我国）都采用摄民温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标. 已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系.
摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/℉ 32 50 68 86 104 122
解 由上表可知，摄氏温度每增加10℃，华氏温度都增加18℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示.
因此可以设所求函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
由已知条件，得
b =32，
10k + b = 50.
解得
因此，华氏温度与摄氏温度的函数表达式为
摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等的可能吗？为什么？
例2 某种收割机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供收割机工作几小时？
（1）求y关于x的函数表达式；
解 （1）设一次函数的表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
由于点P(2, 30)，Q(6, 10)都在一次函数图象上，将这两点的坐标代入表达式，得
2k + b = 30，
6k + b = 10.
解得
所以函数表达式为y=-5x+40.
k = -5，
b = 40.
（2）一箱油可供收割机工作几小时？
（2）当剩余油量为0，即y=0时，
-5x+40=0，解得x=8.
所以一箱油可供收割机工作8h.
1.已知一次函数的图象经过A(-1, 3)，B(2, -5)两点，求这个函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，
由于点A(-1, 3)，B(2, -5)都在一次函数图象上，将这两点坐
标代入表达式，得
-k + b = 3，
2k + b = -5.
解得
因此所求一次函数的表达式为
【选自教材P106 练习 第1题】
2.根据本节例1的结果，将84℉换算成摄氏温度．
解：华氏温度与摄氏温度的函数表达式为y=x+32.
解得x≈28.89（℃）
因此，把温度84℉换算成摄氏温度约为28.89℃.
【选自教材P106 练习 第2题】
令y=84（℉）
3.点A′是点A(6，2)关于y轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点A′，求该函数的表达式．
解：设该正比例函数的表达式为y=kx(k≠0).
所以点A′的坐标为(-6，2).
将点A′(-6，2)代入y=kx，得2=-6k，解得k=-.
【选自教材P106 练习 第3题】
因为点A′是点A(6，2)关于y轴的对称点，
所以该函数的表达式为y =-x.
随堂练习
1. 如图，直线AB对应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
A
2.已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=3，当x=0时，y=1，则当x=2时，y的值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
D
3.一辆汽车在行驶过程中，路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_______________.
y=100x-40
4.某客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定重量，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李重量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.
求：（1）y与x之间的函数关系式；
（2）问旅客最多可免费携带行李多少千克？
（1）解：设一次函数的表达式为y=kx+b (k，b为常数，k≠0)，
由于点(60, 6)，B(80, 10)都在一次函数图象上，将这两点坐标带入表达式，得
60k + b = 6，
80k + b = 10.
解得
因此，所求一次函数的解析式为
（2）令y=0，则x=30，即旅客最多可免费携带行李30kg.
课堂小结
1.求一次函数表达式的步骤：
（1）设一次函数一般式
（2）根据已知条件列出关于k，b的方程
（3）解方程，求k，b
（4）把k，b代回表达式中，写出表达式
--------设
--------列
--------解
--------写
2.求出表达式后已知其中一个量求另一个量
3.根据函数图象回答或求出相关问题
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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