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(共24张PPT)
3.5 一次函数与
二元一次方程的关系
湘教·八年级下册
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（1）（4，1）与（1，7）是二元一次方程2x+y－9=0的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个.
（4，1）与（1，7）都是二元一次方程2x+y－9=0的解，并且这个方程有无数个解，如（-1，11），（0，9），等等.
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（2）给定一个二元一次方程2x+y－9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？
对于二元一次方程2x+y－9=0，整理可得y=-2x+9.若把x看作自变量，y看作因变量，则得到一次函数y=-2x+9.反过来，一次函数y=-2x+9也可以写成二元一次方程2x+y－9=0的形式.
探索新知
（1）一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x+y－9=0的解吗？
（2）以二元一次方程2x+y－9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗？
（1）如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为（c，-2c+9），其中c为任意实数. 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y－9=0的解.
（2）二元一次方程2x+y－9=0的所有解都可以表示为（c，-2c+9），其中c为任意实数. 而任意点（c，-2c+9）都在一次函数y=-2x+9的图象（一条直线）上，如图所示. 于是以二元一次方程2x+y－9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象.
总结归纳
一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程kx－y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线.
对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0，b≠0），其任意一个解都满足一次函数y= -x- 因而，在平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y= -x- 的图象上. 反之，一次函数y= -x- 的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解.
总结归纳
由此可知：在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0，b≠0）表示一条直线，这条直线是一次函数y= -x- 的图象.
例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线.
B（3，4）
A（0，2）
解 由-2x+3y-6=0可得一次函数y=x+2，
从而当x=0时，y=2，
当x=3时，y=4.
在平面直角坐标系中，描出A（0，2），
B（3，4）两点，过这两点作直线，如图
所示，则这条直线是一次函数y= x+2的图象，从而它是二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线.
给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数y=kx+b的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线. 由于一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx－у+b=0表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx－у+b=0表示的直线.
解 设直线PQ是一次函数y=kx+b
（k，b为常数，k≠0）的图象.
因为点P（0，-2）和点Q（-4，5）
都在该函数的图象上，所以
解得
因此，直线PQ是一次函数y= -x-2的图象，
从而它是二元一次方程x+y+2=0表示的直线.
例2 如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过
P(0，-2)，Q（-4，5）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
Q（-4，5）
P（0，-2）
b=-2，
k·（-4）+b=5.
b= -2.
k=-
关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？
一次函数y=kx+b的图象上任一点的坐标是（c，kx+b）.由于函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标c满足kc+b=0，于是c=﹣，从而一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣，0）.
因此，关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标为（﹣，0 ）.
总结归纳
一般地，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标.
练习
1.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程5x+3y－9=0表示的直线.
解：如图所示.
【选自教材P111页 练习 第1题】
2.在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P（0，-5），Q（4，-2）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
【选自教材P111页 练习 第2题】
解：设这个二元一次方程表示的这条直线的解析式为
y=kx+b，因为点P（0，-5）和点Q（4，-2）在直线上，所以 ，解得 ，所以这条直线的解析式为y= x-5，变形得3x-4y-20=0，即3x-4y-20=0这个二元一次方程表示这条直线.
-5=b
-2=4k+b
b= -5
k=
解：二元一次方程6x－y+9=0表示的直线与x轴的交点的纵坐标为0，即y=0；所以令y=0，则6x+9=0，解得x= - ，所以二元一次方程6x－y+9=0表示的直线与x轴的交点坐标为（﹣，0）.
3.求二元一次方程6x－y+9=0表示的直线与x轴的交点坐标.
【选自教材P111页 练习 第3题】
随堂练习
1.若直线y=kx+b的图象经过点（1，3），则方程kx+b=3的解是（ ）
A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4
A
2.下列图象中，以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象是（ ）
C
3.直线y=3x+6与x轴交点的横坐标的值是方程2x+m=0的解，则m的值是________.
4.已知函数y=kx+b的图象如图所示：
（1）求k、b的值；
（2）在图中画出函数y=-2x+5的图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数y=kx+b的函数值等于函数y=-2x+5的函数值.
4
（1）解：设一次函数的表达式为y=kx+b，
由于点(-2, 0)，(0, 2)都在一次函数图象上，将这两点坐标代入表达式，得
-2k + b = 0，
b = 2.
解得k=1，b=2.
（2）解：画出函数y=x+2与y=-2x+5的图象，当x=1时，两函数值相等.
y=x+2
y=-2x+5
课堂小结
1.一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程kx－y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线.
2.一般地，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标.
3.从“数”与“形”的角度出发来解决问题.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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