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3.1.1 变量与函数
湘教·八年级下册
情境导入
我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的.
在自然现象和日常生活中，你经常会遇到一个量随另一个量的变化而变化的现象.
探索新知
（1）下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温 T 随时间 t 的变化而变化吗？
看图思考：
①这一天中，4时的气温是_____℃，14时的气温是_____ ℃.
②_______随着_______的变化而变化.（气温、时间）
10
20
气温
时间
（2）研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值：
观察思考：
①气温每升高5℃，声速加快______m/s.
②声音在空气中传播的________随着________的变化而变化.
速度y
气温x
3
x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20
y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36
（3）某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y(km)与飞行时间 x(h)之间的关系式为y=120x.该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？
观察思考：
①______________随___________的变化而变化.
②当无人机的飞行时间x取定一个值时，其飞行路程y有______（唯一或不唯一）的值与它对应.
飞行路程y
飞行时间x
唯一
（4）上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
问题（1）中时间t、气温T，问题（2）中气温x、声速y，
问题（3）中飞行时间x、飞行的路程y等都是会发生变化的量，问题（3）中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量.
总结归纳
在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.
注意：
1.判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中，这个量是否可以取不同的数值；
2. π是一个无理数，属于常量.
由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系.
如图，△ABC底边BC（设BC=a）上的高是h.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗？若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？
A
B
C
C
C
C
高h是常量，底边长a和面积S都是变量，并且面积随底边长的变化而变化.
请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量.
根据以上3个问题思考：
（1）以上每个变化过程中都有几个变量？
（2）变量间是怎样在变化的？
1. 每个变化的过程中都存在着两个变量；
2.当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化；
3.当一个变量确定一个值时，另一个变量都有唯一的一个值与它对应.
总结归纳
一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值， y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x).其中，x叫作自变量， y叫作因变量.
对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).
1.“思考”问题（1）中，气温T是时间t的函数，
其中_________是自变量，_________是因变量．
t
T
在考虑两个变量间的函数关系时，还应注意自变量的取值范围. 如问题（1）中的函数，自变量t的取值范围是 0 ≤ t ≤ 24.
2.“思考”问题（2）中，声速y是气温x的函数，
其中_________是自变量，_________是因变量．
x
y
3.“思考”问题（3）中，飞行路程y是飞行时间x的函数，
其中_________是自变量，_________是因变量．
x
y
下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数.
（1）y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
（2）y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
（3）y：一个正数的平方根；x：这个正数.
（4）y：一个正数的算术平方根；x：这个正数.
是
不是
不是
是
1. 下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？
（1）一辆“复兴号”列车以350km/h 的速度匀速行驶，行驶的路程s(km) 与行驶时间t(h).
解：行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化.
【选自教材P85 练习 第1题】
其中行驶的路程s和行驶时间t是变量，行驶速度350km/h是常量.
1. 下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？
（2）某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与相应的蓄水量V.
解：蓄水量V随水位高度h的变化而变化.
【选自教材P85 练习 第1题】
其中蓄水量V与水位高度h是变量，储水池的长a和储水池的宽b是常量.
2.已知圆柱的高h=4cm，底面半径是r cm，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V=πr2h是r的函数.在这个变化过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？r的取值范围是多少？
圆柱的体积V=πr2h=4πr2，自变量r的取值范围是r＞0.
解：圆柱的底面半径r是自变量，圆柱的体积V是因变量.
【选自教材P85 练习 第2题】
随堂练习
1.汽车以70千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时，从而s=70t，则下列判断中错误的是（ ）
A.s是常量 B.s是变量 C.70是常量 D.t是变量
2.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x间的函数关系式是（ ）
A.y=12-4x B.y=4x-12 C.y=12-x D.以上都不对
A
A
3.函数 中自变量x的取值范围是__________.
4.一块形状为等腰三角形的铁皮，周长为10，底边长为y，腰长为x.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）求自变量x的取值范围.
x≥3
y=10-2x
∵10-2x>0，2x>10-2x，∴2.55. 如图，A港口某天受潮汐的影响，24小时内港口水深h(m) 随时间t(时)的变化而变化.
（1）水深h是时间t的函数吗？
水深h是时间t的函数.
5. 如图，A港口某天受潮汐的影响，24小时内港口水深h(m) 随时间t(时)的变化而变化.
（2）当t分别取4，10，17时，h是多少？
当t=4时，h=5m；当t=10时，h=7m；当t=17时，h=5m.
课堂小结
1.函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的一个值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件：
（1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化；
（2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应.
课堂小结
3.这种唯一对应性是指y是唯一的. x可以有多个值，但是对应的y值只能有一个.
4.函数的本质就是变量间的对应关系.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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