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平行四边形性质的综合运用
平行四边形
平行四边形的性质:
A
B
D
C
①平行四边形的对边______.
②平行四边形的对角______.
③平行四边形的邻角______.
O
④平行四边形的对角线__________.
相等
相等
互补
互相平分
这节课我们就用这些性质解决平行四边形有关周长和面积的问题.
知识点 1
平行四边形的周长问题
例 7 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，其周长为 16，且△ AOB 的周长比 △BOC 的周长小 2 . 求边 AB 和 BC 的长.
A
B
D
C
O
AB + BC = 8
AB + OA + OB
BC + OB + OC
AB + 2 = BC
试着分析题干，你能得到哪些信息？
解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分).
∵△AOB 的周长 + 2 = △BOC 的周长，
∴AB + OA + OB + 2 = BC + OB + OC，
即 AB + 2 = BC.
又∵ □ ABCD 的周长等于 16，
∴2(AB + BC) = 16，即 4AB + 4 = 16.
∴AB = 3，BC = 5.
A
B
D
C
O
1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，
AB ＝5．若 △AOB 的周长比 △BOC 的周长小 1，
则 BC 的长为______.
AB + 1 = BC
6
2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O，
且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3，
OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长．
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD，OA ＝ OC，BC ＝ AD ＝ 3，
∴∠OAE ＝ ∠OCF．
在△AOE 和△COF 中，
∵∠OAE ＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF (ASA)．
∴AE＝CF，OE＝OF，
∴四边形 BCFE 的周长为
EF + CF + BC + BE ＝ EF + BC + AE + BE
2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O，
且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3，
OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长．
∴EF＝2OF＝2×1.3＝2.6，
＝ EF + BC + AB ＝2.6 + 3 + 4＝9.6．
知识点 2
平行四边形的面积问题
例 8 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC = 21 cm，BE ⊥ AC，垂足为点 E，且 BE = 5 cm，AD = 7 cm.
求 AD 与 BC 之间的距离.
A
B
C
D
E
x
H
等面积法：同一个图形（或等底等高的图形）的面积相等，通过建立面积等式来求解未知量或证明几何关系.
S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE
解 设 AD 与 BC 之间的距离为 x，
则 □ABCD 的面积等于 AD · x.
∵S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE，
∴AD · x = AC · BE，即 7x = 21×5.
∴ x = 15(cm).
即 AD 与 BC 之间的距离为 15 cm.
A
B
C
D
E
x
H
1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，
过点 O 的直线 EF 分别交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，
S△AOE ＝3，S△BOF ＝7，则 □ABCD 的面积是 (　　)
A. 48
B. 40
C. 32
D. 24
3
7
3
S□ ABCD = 4S△OBC
B
2. 如图，在 □ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB，垂足为
点 E，过点 B 作 BF ⊥ AC，垂足为点 F．若 AB ＝6，
AC ＝ 8，DE ＝ 4，求 BF 的长．
解: 在□ABCD 中，S△ABC ＝ S□ABCD ．
又∵ DE ⊥ AB，BF ⊥ AC，
∴ AC · BF ＝ AB · DE．
∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，
∴ ×8BF＝ ×6×4．
∴BF＝3．
平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
A
B
C
D
O
思考 1
解：相等. 理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD.
∵ △ADO 与△ODC 等底同高，
∴ S△ADO = S△ODC.
同理可得S△ADO = S△ODC = S△BCO = S△AOB .
①平行四边形的对角线把平行
四边形分为四个面积相等的
三角形，且都等于平行四边
形面积的四分之一.
②相对的两个三角形全等.
归 纳
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
E
F
如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
思考 2
A
B
C
D
O
E
F
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
把一个平行四边形分成 3 个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是 9 cm2 和 12 cm2，求平行四边形的面积．
S1
S2
S3
S1 + S3 = S2 = S□ ABCD
解：( 9 + 12 )×2 = 21×2
= 42（cm2）
答：平行四边形的面积是 42 cm2．
【选自教材第86页 练习 第1题】
1. □ ABCD 的两条对角线AC与BD相交于点O， AB=8 cm，
BC = 6 cm，△AOB 的周长是 18 cm，求 △AOD 的周长.
解: 如图.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB ＝OD，AD ＝ BC ＝ 6 cm.
∵ △AOB 的周长是 18 cm，AB ＝ 8 cm，
∴ OA + OB ＝ 18－8 ＝ 10 (cm).
∴ OA + OD ＝ OA + OB ＝10 (cm).
∴ △AOD 的周长为 OA + OD + AD ＝10 + 6 ＝ 16 (cm).
2. 如图，如果 △AOB 与 △AOD 的周长之差为 8，而 AB∶AD
= 3∶2，那么 □ ABCD 的周长为多少？
【选自教材第86页 练习 第2题】
解: ∵ AB ∶ AD ＝ 3 ∶ 2，
∴ 设 AB ＝3x，则 AD ＝2x .
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OB ＝ OD.
又∵ △AOB 与△AOD 的周长之差为 8，
∴ AB－AD ＝8，即 3x－2x ＝8，∴ x ＝ 8.
∴ AB ＝ 3x ＝ 24，AD ＝2x ＝16，
∴ □ABCD 的周长为 2(AB + AD)＝ 2×(24 + 16)＝ 80.
D
A
C
B
O
3. 在 □ ABCD 中，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，BC = 5，
AC = 6，BD = 8. 求△AOB 的周长.
【选自教材第86页 练习 第3题】
解: 如图. 在 □ABCD 中，AC ＝ 6，BD ＝ 8，
∴ OA ＝ OC ＝ AC ＝ 3，OB ＝ OD ＝ BD ＝ 4.
在△BOC 中，∵ BC ＝ 5，OB ＝4，OC ＝ 3，
∴ OB2 + OC2 ＝ BC2 ，
∴ △OBC 是直角三角形，且 ∠BOC ＝ 90°.
∴ ∠AOB ＝180°－∠BOC ＝ 90°.
在Rt△AOB 中，AB ＝ ＝ ＝ 5，
∴ △AOB 的周长为 OA + OB + AB ＝ 3 + 4 + 5 ＝ 12.
通过这节课的学习，你会解决与平行四边形有关的周长和面积问题吗？
平行四边形中周长与面积的相关计算
平行四边形的周长等于两邻边
和的 2 倍
巧用“等面积法”解决与平行四边形有关的面积问题

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