资源简介

(共22张PPT)
平行四边形的判定定理1，2
平行四边形
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
一块平行四边形的玻璃被打碎了，你能根据碎片画出这块玻璃原来的样子吗？
我根据定义来画.
除了定义外，是否还存在其他的判定方法呢？
A
B
D
C
O
平行四边形的性质
① 两组对边分别______.
② 两组对角分别_______.
③ 两条对角线_________.
相等
相等
互相平分
由平行四边形的性质，逆向思考，你认为可能有哪些判定方法？
条件 结论
平行四边形的两组对边分别相等
逆命题
一个四边形是平行四边形
这个四边形的两组对边分别相等
一个四边形的两组对边分别相等
这个四边形是平行四边形
你认为它是一个真命题吗？
试一试
作一个两组对边分别相等的四边形.
1. 任取两点 B、D;
2. 分别以点 B 和点 D 为圆心、任意长为半径，分别在线段 BD 的两侧作弧；
3. 再分别以点 D 和点 B为圆心、适当长为半径作弧，与前面所作的弧分别交于点 A 和点 C;
4.顺次连结各点.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
D
B
A
C
比一比
把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形.
可以发现，尽管每个人取的边长不一样，但只要对边分别相等，所作的就都是平行四边形.
归 纳
平行四边形的判定定理 1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵ AB ＝ CD，AD ＝ BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
D
C
你会证明这个结论吗？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，BC = DA.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
D
A
C
B
1
2
3
4
证明 如图，连结 BD .
∵AB = CD， AD = CB， BD = DB，
∴△ABD ≌ △CDB .
∴∠1 =∠3，∠2 =∠4.
∴AD // CB，AB // CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
如果只知道四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
思 考
猜想1 一组对边平行的四边形是平行四边形.
猜想2 一组对边相等的四边形是平行四边形.
猜想3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
试一试
作一个有一组对边平行且相等的四边形.
1. 任意作两条平行线 m、n;
2. 在直线 m、n 上分别截取 AB、CD，
使 AB = CD；
3. 分别连结点 B、C 和点 A、D.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
n
m
A
B
C
D
观察你所作的图形，它是平行四边形吗？
D
A
B
C
证明 如图，连结对角线 AC.
∵AB∥CD，∴∠1 = ∠2.
又∵AB = CD，AC = CA，
∴△ABC ≌△CDA .（SAS）
∴BC = DA.
∴四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
1
2
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
你还能用其他方法证明吗？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
D
A
B
C
4
3
2
1
证明 如图，连结对角线 BD.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，BD = DB，
∴△ABD ≌△CDB .（SAS）
∴∠3 = ∠4，∴ AD ∥ BC.
又 AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
归 纳
平行四边形的判定定理 2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵AB∥CD且AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
A
B
D
C
记作“AB CD ”
∥
读作“AB 平行且等于 CD”
例 1 如图，在 □ ABCD 中，点 E、F 分别在对边 BC 和 DA 上，且 AF = CE .
求证：四边形 AECF 是平行四边形.
B
C
D
A
E
F
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB (平行四边形的对边平行)，
即 AF∥CE.
又∵AF = CE，
∴四边形 AECF 为平行四边形 (一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形).
等腰梯形
A
B
C
D
问题 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
1. 为了保证铁路(如图)的两条直铺的铁轨互相平行，只要
使夹在铁轨之间的互相平行的枕木长度相等就可以了.
其中的数学道理__________________________________.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 为对角线 BD 上
的两点，BE ＝ DF，CE ＝ AF．连结 AE、CF．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明: ∵BE＝DF，
∴BE + EF＝DF + EF，即 BF＝ DE．
在△ABF 和△CDE 中,
∵AB ＝ CD，AF ＝ CE，BF ＝ DE，
∴△ABF ≌ △CDE (SSS)．
∴∠ABF＝∠CDE，∴AB∥CD．
又∵AB＝CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
【选自教材第92页 练习 第1题】
1. 在如图的格点图中，每一格点与它周围各个格点的距离
相等. 以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？
A
B
C
D
F
E
解:如图，能画出 3 个平行四边形:
□ ABEC、□ BCED、□ BCFE.
【选自教材第92页 练习 第2题】
2. 如图，在 □ ABCD 中，E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点.
求证：EF = BC .
A
B
D
C
E
F
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB ＝ CD.
∵ E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点，
∴ BE ＝ AB，CF ＝ CD，∴ BE ＝ CF.
又∵ BE∥CF，∴ 四边形 BCFE 是平行四边形，
∴ EF ＝ BC .
3. 如图，在 □ ABCD 中，已知 M、N 分别是边 AB 和 DC 的
中点，那么四边形 BNDM 也是平行四边形吗？试用多种
方法证明你的猜想.
【选自教材第92页 练习 第3题】
解:四边形 BNDM 也是平行四边形.证明如下:
方法一: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB ＝ CD.
∵ M、N 分别是边 AB 和 DC 的中点，
∴ BM ＝ AB，DN ＝ CD.
∴ BM ＝ DN.
又∵ BM∥DN，∴ 四边形 BNDM 是平行四边形.
A
B
D
C
M
N
A
B
D
C
M
N
方法二: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ＝ CB，∠A ＝∠C，AB ＝ CD.
∵ M、N 分别是边 AB 和 DC 的中点，
∴ AM ＝ BM ＝ AB，CN ＝DN ＝ CD，
∴ BM ＝ AM ＝ CN ＝ DN，
∴ △ADM ≌ △CBN，∴ DM ＝ BN.
又∵ BM ＝ DN，
∴ 四边形 BNDM 是平行四边形.
通过这节课的学习，你掌握了平行四边形的哪些判定方法？
平行四边形的判定
判定定理 1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理 2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

展开更多......

收起↑