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平行四边形的判定定理3
平行四边形
平行四边形的判定方法 定义
边
对角线
角
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
根据对角线和角的性质，你又能得出怎样的判定方法？
如图，将两根细木条 AC、BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？
A
B
D
C
动手试一试！
条件 结论
平行四边形的两条对角线互相平分
逆命题
一个四边形是平行四边形
这个四边形的两条对角线互相平分
一个四边形的两条对角线互相平分
这个四边形是平行四边形
你认为它是一个真命题吗？
1. 任意作两条相交直线 m、n，记交点为 O;
2. 以点 O 为中心，分别在直线 m、n 上截取
OB 与 OD、OA 与 OC，使 OB = OD，
OA = OC，顺次连结所得的四个点.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
B
D
A
C
O
n
m
试一试
观察你所作的图形，它是平行四边形吗？
作一个两条对角线互相平分的四边形.
归 纳
平行四边形的判定定理 3
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵ OA ＝ OC，OB ＝ OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
D
A
C
B
O
已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD
相交于点 O，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明 ∵OA = OC，OB = OD，∠AOB =∠COD，
∴△AOB ≌△COD，
∴AB = CD.
同理可得 AD = CB.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
D
A
C
B
O
例 2 如图，在 □ ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE = CF .
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
B
C
D
A
E
F
证明 如图，连结 BD，交 AC 于点 O.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB = OD， OA = OC (平行四边形的对角线互相平分).
又∵ AE = CF ，
∴OA – AE = OC – CF，即 OE = OF.
∴四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
O
1. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，
且 OA ＝ OC，添加下列条件后，仍无法判定四边形
ABCD 是平行四边形的是 ( )
A. AD∥BC
B. AB ＝ CD
C. OB ＝ OD
D. AB∥CD
判定定理 2
判定定理 3
判定定理 2
B
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，BE ⊥ AC，
DF ⊥ AC，垂足分别为点 E、F，且 AF ＝ CE，∠BAC ＝∠DCA.
求证: 四边形 ABCD 是平行四边形．
证明: ∵AF ＝ CE，
∴AF －EF ＝ CE －EF，即 AE ＝ CF．
∵BE ⊥ AC，DF ⊥ AC，
∴∠AEB ＝ ∠CFD ＝ 90°．
在△ABE 和△CDF 中，
∵∠BAE ＝ ∠DCF，AE ＝ CF，∠AEB ＝∠CFD，
∴△ABE ≌ △CDF (ASA)．∴AB ＝ CD．
又∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
我们知道平行四边形的对角相等，那么反过来，对角相等的四边形是平行四边形吗？请你试着证明.
思 考
D
A
C
B
已知：如图，在四边形 ABCD 中∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明 ∵∠A =∠C，∠B =∠D，∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴∠A +∠B = 180°.
∴AD∥CB，
同理可得：AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形
（平行四边形的定义）.
D
A
C
B
归 纳
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
D
A
C
B
几何语言：
∵ ∠A ＝ ∠C，∠B ＝ ∠D，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
【选自教材第94页 练习 第1题】
如图，延长△ABC 的中线 AD 至点 E，使 DE = AD，
那么四边形 ABEC 是平行四边形吗？为什么？
解: 四边形 ABEC 是平行四边形.
理由如下:
∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BD ＝CD.
又∵ DE ＝AD，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
A
B
C
E
D
【选自教材第95页 练习 第2题】
2. 如图，在 □ ABCD 中，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 的中点，以图中
标明字母的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形.
A
B
D
C
E
O
F
G
H
解: 画平行四边形如图所示.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，对角线 AC、BD 相交于
点 O，EF 过点 O 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，且 OE = OF.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
【选自教材第95页 练习 第3题】
证明: ∵ AB∥CD，∴ ∠EBO ＝∠FDO.
又∵ ∠BOE ＝∠DOF，OE ＝OF，
∴ △BOE ≌ △DOF，∴ OB ＝OD.
同理可证△AOE ≌ △COF，∴ OA ＝OC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
A
B
D
C
E
F
O
判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考？
具体有哪些方法？
平行四边形的判定方法 定义
边
对角线
角
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

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