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平行四边形性质与判定的综合运用
平行四边形
平行四边形的判定方法 定义
边
对角线
角
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
例 3 如图，在 □ ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH. 求证：AC 与 HF 互相平分.
D
A
C
B
H
F
①要证 AC 和 HF 互相平分.
②想：平行四边形的对角线互相平分.
③通过判定定理 3 ，证明四边形 AFCH 是平行四边形.
D
A
C
B
H
F
证明 如图，分别连结 AH、CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD (平行四边形的对边平行)，
AB = CD (平行四边形的对边相等).
又∵BF = DH，
∴AB－BF = CD－DH，即 AF = CH.
∴四边形 AFCH 是平行四边形 (一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形).
∴AC 与 HF 互相平分 (平行四边形的对角线互相平分).
如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，AF＝CE．
（1）求证: △ABE ≌ △CDF；
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD，AD ＝BC，∠B＝∠D．
∵AF ＝ CE，
∴AD－AF ＝ BC－CE，即 DF ＝ BE．
在△ABE 和△CDF 中，
∵AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF，
∴△ABE ≌ △CDF (SAS)．
如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，AF＝CE．
（2）连结 EF．请直接添加一个与线段相关的条件，
使四边形 ABEF 是平行四边形．
解: BE＝CE (答案不唯一)．
例 4 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
D
C
证明 在四边形 ABCD 中，
∵∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，∠A =∠C，∠B =∠D，
∴2(∠A +∠B) = 360°，即∠A +∠B = 180°.
∴AD∥ CB.
同理可证 AB // CD .
∴四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，若 ∠B ＝ 56°，
则 ∠A =_____，∠C =_____，∠D =_____.
解题依据：
①两直线平行，同旁内角互补；
②平行四边形，对角相等.
124°
124°
56°
2. 如图，在□ABCD中，AE、CF分别平分 ∠BAD和 ∠BCD，
分别交 BD 于点 E、F．
（1）若∠BCF ＝ 65°，求 ∠ABC 的度数;
解: ∵CF 平分∠BCD，
∴∠BCD ＝2∠BCF ＝2×65°＝ 130°．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠ABC ＝ 180°－∠BCD
＝180°－130°＝ 50°.
（2）连结 CE、AF，求证: 四边形 AECF 是平行四边形．
证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD．∴∠ABE＝∠CDF．
∵AE、CF 分别平分∠BAD 和∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD．
∴∠BAE＝∠DCF．∴△ABE ≌△CDF (ASA)．
∴∠AEB＝∠CFD，AE ＝ CF．
∵∠AEF ＝180°－ ∠AEB，∠CFE ＝180°－∠CFD，
∴∠AEF ＝∠CFE．∴AE∥CF．
∴四边形 AECF 是平行四边形．
【选自教材第96页 练习 第1题】
如图，在 □ ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，且 AE∥CF. 求证：AE = CF.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，即 AF∥CE .
∵ AE∥CF，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
∴AE ＝ CF .
A
B
D
C
E
F
【选自教材第96页 练习 第2题】
2. 如图，在 □ ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、
CD、DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ＝ CD，AD ＝ BC，∠A ＝∠C，∠B ＝∠D.
∵ E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，
∴ AE ＝BE ＝ AB，CG ＝DG ＝ CD，
AH ＝DH ＝ AD，
BF ＝ CF ＝ BC.
∴ AE ＝BE ＝CG ＝DG，AH ＝ DH ＝BF ＝CF .
∴ △AEH ≌ △CGF，△BEF ≌ △DGH，
∴ EH ＝ GF，EF ＝ GH，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
F
A
B
C
D
E
G
H
3. 如图，在 □ ABCD 中，AF = CH，DE = BG.
求证：EG 与 HF 互相平分.
【选自教材第96页 练习 第3题】
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A ＝∠C，∠B ＝∠D，AB ＝CD，AD ＝BC.
∵ AF ＝CH，DE ＝BG，
∴ AB－AF ＝CD－CH，AD－DE ＝BC－BG，
即 BF ＝ DH，AE ＝CG，
∴ △AEF ≌ △CGH，△DEH ≌ △BGF .
∴ EF ＝GH，EH ＝GF.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∴ EG 与 HF 互相平分.
D
A
C
B
E
F
G
H
通过这节课的学习，你能熟练运用平行四边形的性质和判定来解决与平行四边形相关的问题吗？

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