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(共12张PPT)
多个平行四边形结合的综合运用
平行四边形
例 5 如图，四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
B
A
D
C
E
F
证明 ∵四边形 AEFD 是平行四边形，
又∵四边形 EBCF 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴AD EF .
∥
＝
∴BC EF .
∥
＝
∴AD BC.
∥
＝
一个图形中有几个平行四边形时，利用平行四边形的性质，得出相关图形角边的关系，由此判定出其他四边形也是平行四边形.
B
A
D
C
E
F
如图，在 □ ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 的中点，AF 与 DE 相交于点 G，CE 与 BF 相交于点 H. 求证：四边形 EHFG 是平行四边形.
A
B
D
C
E
F
G
H
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB CD .
∥
＝
又∵ E、F 分别是边 AB、CD 的中点，
∴AE CF .
∥
＝
∴四边形 AECF 是平行四边形.
∴EH∥GF .
同理可得 EG∥HF.
∴四边形 EHFG 是平行四边形.
例 6 如图，G、H 是 □ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AG = CH， E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点.
求证：四边形 EHFG 是平行四边形.
A
B
D
C
E
F
G
H
证明 如图，连结 EF，交 AC 于点 O.
O
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD .
又∵E、F 分别是边 AB、CD 的中点，
∴AE = CF .
又∵AB // CD，
∴∠EAO = ∠FCO.
在△AOE 和△COF 中，
∵∠EAO =∠FCO，
∠AOE = ∠COF，
AE = CF，
∴△AOE ≌△COF.
∴OE = OF，OA = OC .
又∵AG = CH，∴OG = OH.
∴四边形 EHFG 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) .
A
B
D
C
E
F
G
H
O
如图，在四边形 ABCD 中，M 是边 BC 的中点，AM、BD 互相平分并交于点 O. 求证: AM DC.
∥
＝
A
B
C
D
M
O
证明 如图，连结 MD.
∵ AM、BD 互相平分并交于点 O，
∴四边形 ABMD 是平行四边形.
∴AD BM .
∥
＝
又∵ M 是边 BC 的中点，
∴AD MC .
∥
＝
∴四边形 AMCD 是平行四边形.
∴AM DC .
∥
＝
【选自教材第98页 练习 第1题】
在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = ∠D. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明: 如图.
∵AB∥CD，∴ ∠B + ∠C ＝180°.
∵∠B ＝∠D，∴ ∠C + ∠D ＝180°.
∴AD∥BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
D
A
C
B
证明:方法一: 如图，连结 AC 交 EF 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝ OC.
∵ AE∥CF，∴ ∠AEO ＝∠CFO.
又∵ ∠AOE ＝∠COF，
∴△AOE ≌ △COF. ∴ OE ＝ OF.
又∵ OA ＝ OC，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形).
【选自教材第98页 练习 第2题】
2. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE、CF 分别与直线 DB
相交于点 E 和点 F，且 AE//CF，分别连结点 C、E 和点 A、F.
求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
E
A
C
F
B
D
O
方法二: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ＝ CD，AB∥CD.
∴ ∠ABE ＝∠CDF .
∵ AE∥CF，∴ ∠AEF ＝∠CFE.
∴ △ABE ≌ △CDF .
∴ AE ＝ CF.
又∵ AE∥CF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
【选自教材第98页 练习 第2题】
2. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE、CF 分别与直线 DB
相交于点 E 和点 F，且 AE//CF，分别连结点 C、E 和点 A、F.
求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
E
A
C
F
B
D
O
3. 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，直线 EF 过点 O，
且与 AB、DC 分别相交于点 E 和点 F，直线 GH 过点 O 且与 AD、
BC 分别相交于点 G 和点 H. 求证：四边形 GEHF 是平行四边形.
【选自教材第98页 练习 第3题】
D
A
C
B
G
E
H
F
O
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝OC，AB∥CD.
∴ ∠OAE ＝∠OCF.
又∵ ∠AOE ＝∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF，
∴ OE ＝ OF.
同理可证△AOG ≌△COH，
∴ OG ＝OH.
∴ 四边形 GEHF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
通过这节课的学习，你有哪些收获？

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