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章末复行四边形
知识结构图
平行四边形
定义
有两组对边分别______的四边形叫做平行四边形.
性质
对称性
边
角
对角线
两条平行线之间的距离
是中心对称图形，对角线的______就是对称中心.
平行四边形的两组对边分别平行.
平行四边形的对边_______(性质定理1)
平行四边形的相邻两个内角互补.
平行四边形的对角_______(性质定理2)
平行四边形的对角线互相_______(性质定理3)
定义：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：平行线之间的距离处处_______
平行
交点
相等
相等
平分
相等
知识结构图
平行四边形
判定
定义法
判定定理1
三角形的
中位线
有两组对边分别______的四边形是平行四边形.
定义：连结三角形两边_______的线段，
叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线_______第三边，
判定定理2
两组对边分别______的四边形是平行四边形.
一组对边___________的四边形是平行四边形.
判定定理3
对角线___________的四边形是平行四边形.
拓 展
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
且等于第三边的_______
平行
相等
平行且相等
互相平分
中点
平行于
一半
考点 1
平行四边形的性质
1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，已知AB ＝ 5，AC＝ 6，AC ⊥ BD，则 BD 的长为_____．
5
3
4
4
8
2. 如图，在 □ ABCD 中，AB ＝ 3，∠ABC 的平分线与
∠BCD 的平分线交于点 E．若点 E 恰好在边 AD 上，
则 BE2 + CE2 的值为_______.
3
3
3
3
6
36
考点 2
平行四边形的判定
3. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B ＝ 30°，连结 AC，∠ACB
＝∠CAD ＝90°，AE 是 ∠BAC 的平分线，且 BE ＝ CD ．
求证: 四边形 AECD 是平行四边形．
证明: ∵ ∠ACB ＝ 90°， ∠B ＝ 30°，
∴∠BAC ＝ 90°－∠B ＝ 60°．
∵AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE ＝ ∠CAE ＝ ∠BAC ＝ 30°.
∴∠BAE ＝ ∠B．∴AE ＝ BE．
∵BE ＝ CD，∴AE ＝ CD．
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴△AEC 和△CDA 都是直角三角形．
在Rt△AEC 和 Rt△CDA 中，
∵AE ＝ CD，AC ＝ CA，
∴Rt△AEC ≌ Rt△CDA (HL)．
∴CE ＝ AD．
又∵AE ＝ CD，
∴四边形 AECD 是平行四边形．
考点 3
平行四边形的性质与判定的综合运用
4. 如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，DE∥AC，
CE∥BD ．若 AC ＝ 3，BD ＝ 5，则四边形 OCED 的周长
为______.　
8
考点 4
三角形的中位线
5. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC
的三个顶点均在网格线的交点上，D、E 分别是边 BA、CA
与网格线的交点，连结 DE，则 DE 的长为（ ）
A.
B. 1
C.
D.
B
6. 如图，△ABC 的周长为 12，点 D 、E 在边 BC 上，
∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为点 N，∠ACB 的
平分线垂直于 AD，垂足为点 M ．若 BC ＝ 5，
则 MN 的长为_____．
提示：
要求 MN 的长，可先求 DE 的长.
AB = BE = BD + DE
AC = CD = DE + EC
AB + AC = 12－ 5 = 7
BD + DE + DE + EC = 7
DE = 2
1
复习题 A 组
1. 判断题（对的在括号内填“√”，错的在括号内填“×”）
（1）平行四边形的两组对边分别平行.（ ）
（2）平行四边形的四个内角都相等.（ ）
（3）平行四边形相邻两个内角的和等于 180°.（ ）
（4）如果平行四边形相邻两边的长分别是 3、5，
那么它的周长是 16.（ ）
（5）在 □ ABCD 中，如果∠A = 40°，那么∠B = 50°.（ ）
√
×
√
√
×
2. 如图，点 P 是 □ABCD 内一点，过点 P 作直线 EF、GH
分别平行于 AB、BC，并与 □ABCD 分别相交于点 G、F、
H、E，试找出图中的平行四边形，与你的同伴比一比，
看谁找得多.
□ AGPE
□ EDHP
□ FCHP
□ GPFB
□ ADHG
□ GHCB
□ ABFE
□ EFCD
□ ABCD
A
B
C
D
E
F
G
H
P
3. 如图，在 □ ABCD 中，∠BAC = 68°，∠ACB = 36°.
求 ∠D 和 ∠BCD 的大小.
解: ∵ ∠BAC ＝ 68°，∠ACB ＝ 36°，
∴ ∠B ＝180°－68°－36° ＝ 76°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠D ＝∠B ＝76°，AB∥CD，
∴ ∠BCD + ∠D ＝ 180°，
∴ ∠BCD ＝180°－∠D ＝180°－76°＝ 104°.
A
B
C
D
4. 如图，在 □ ABCD 中，∠A + ∠C = 140°. 求∠A、∠B、
∠C、∠D 的大小.
D
A
B
C
解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A ＝∠C，∠B ＝∠D，AD∥BC.
∵ ∠A + ∠C ＝140°，∴ ∠A ＝∠C ＝70°.
∵ AD∥BC，∴ ∠B + ∠C ＝ 180°，
∴ ∠B ＝∠D ＝ 180°－∠C ＝180°－70° ＝ 110°.
∴ ∠A、∠B、∠C、∠D 的大小分别是 70°、110°、70°、110°.
5. 已知平行四边形相邻两边长的比是 3 ∶ 4，其中较长的
边长是 6 cm. 求这个平行四边形的周长.
解: 设平行四边形相邻两边的长分别为 3x cm、4x cm，
则 4x ＝ 6，
解得 x ＝ .
∴ 3x ＝3× ＝ .
∴ 平行四边形相邻两边的长分别为 cm 和 6 cm.
∴ 这个平行四边形的周长为 ( + 6 )×2 ＝ 21 (cm) .
6. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D，∠1 = ∠2.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
1
2
证明: 在△ABC 和△CDA 中，
∵ ∠B ＝∠D，∠1 ＝∠2，AC ＝ CA，
∴ △ABC ≌ △CDA.
∴ AB ＝ CD，BC ＝ DA.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是
平行四边形).
7. 如图，延长 □ ABCD 的边 AD 到点 F，使 DF = DC，
延长边 CB 到点 E，使 BE = BA，分别连结点 A、E
和点 C、F . 求证：AE = CF .
A
B
C
D
E
F
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠ABC ＝∠ADC，AB ＝ CD，
∴ ∠ABE ＝∠CDF.
∵ BE ＝BA，DF ＝ DC，
∴ BE ＝BA ＝DF ＝DC，
∴ △ABE≌△CDF，∴ AE ＝ CF.
8. 证明：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.
解:已知: 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE ⊥ AD 于点 E，OF ⊥ BC 于点 F . 求证: OE ＝ OF.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝ OC，AD∥BC.
∴ ∠CAD ＝∠ACB，即∠OAE ＝∠OCF.
∵ OE ⊥ AD，OF ⊥ BC，
∴ ∠OEA ＝∠OFC ＝ 90°.
∴ △AOE≌△COF. ∴ OE ＝ OF .
9. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，M、P、N 分别是
AD、BD、BC 的中点. 求证：∠PMN = ∠PNM .
证明: ∵ P、M 分别是 BD、AD 的中点，
∴ PM 是△ABD 的中位线.
∴ PM ＝ AB.
同理可得 PN ＝ CD.
∵ AB ＝CD，∴ PM ＝ PN.
∴ ∠PMN ＝∠PNM.
A
B
C
D
M
N
P
复习题 B 组
10. 如图，E 是 □ ABCD 边 BC 上的一点，且 AB = BE，
连结 AE，并延长 AE 与 DC 的延长线交于点 F，
∠F = 60°. 求这个平行四边形各内角的大小.
A
B
C
D
E
F
解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，∠B ＝∠D，∠BAD ＝∠BCD.
∴ ∠BAE ＝∠F ＝60°，∠B +∠BAD ＝180°.
∵ AB ＝ BE，∴ ∠BEA ＝∠BAE ＝60°.
∴ ∠B ＝∠D ＝ 60°.
∴ ∠BAD ＝∠BCD ＝180°－∠B ＝120°.
11. 如图，在 □ ABCD 中，点 M、N 分别在边 AD、BC 上，
点 E、F 在对角线 BD 上，且 DM = BN，BE = DF．
求证：四边形 MENF 是平行四边形.
D
A
B
C
M
N
E
F
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，∴ ∠ADB ＝∠CBD，即∠MDF ＝∠NBE.
又∵ DM ＝BN，DF ＝BE，
∴ △DMF ≌ △BNE .
∴ FM ＝ EN，∠MFD ＝∠NEB.
∴ ∠MFE ＝∠NEF. ∴ FM∥EN.
∴ 四边形 MENF 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
12. 如图，D 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的一点，
点 E、F 分别在边 AC、AB 上，且 DE//AB，DF//AC.
试问：DE、DF 与 AB 之间有什么关系？请说明理由.
D
A
B
C
E
F
解: DE + DF ＝AB. 理由如下:
∵ DE∥AB，DF∥AC，
∴ 四边形 AFDE 是平行四边形，
∴ DE ＝ FA.
∵ △ABC 是等腰三角形，∴ ∠B ＝∠C.
∵ DF∥AC，∴ ∠FDB ＝∠C，
∴ ∠B ＝∠FDB，∴ BF ＝ DF，
∴ DE + DF ＝FA + BF ＝AB.
13. 如图，以 □ ABCD 的边 AD、BC 为边分别向外作等边
三角形ADE 和 BCF. 求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ＝CD，AD ＝BC，∠DAB ＝∠BCD.
又∵ △ADE 与△BCF 都是等边三角形，
∴ AD ＝AE ＝DE ＝BC ＝CF ＝BF，
∠DAE ＝∠BCF ＝60°.
∴ ∠EAB ＝∠FCD.
∴ △ABE≌△CDF.
∴ BE ＝DF.
又∵ DE ＝BF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
A
B
C
D
E
F
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝ OC，OB ＝ OD.
又∵ AE ＝ CF，BG ＝ DH，
∴ OA－AE ＝ OC－CF，
OB－BG ＝OD－DH，
即 OE ＝ OF，OG ＝ OH.
∴ 四边形 EGFH 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∴ GF ＝ HE .
14. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F
在 AC 上，点 G、H 在边 BD 上，且 AE = CF，BG = DH.
求证： GF = HE .
A
B
C
D
E
G
F
H
O
15. 如图，点 O 为 □ ABCD 的对角线 BD 的中点，直线 EF 经过
点 O，分别交 BA、DC 的延长线于点 E、F，分别连结点 B、
F 和点 D、E，求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
O
证明: ∵ 点 O 为 □ ABCD 的对角线 BD 为中点，
∴ OB ＝ OD.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，
∴ ∠ABD ＝∠BDC，即∠EBO ＝∠FDO.
又∵ ∠BOE ＝∠DOF，
∴ △BOE≌△DOF，∴ OE ＝ OF .
又∵ OB ＝ OD，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，OB ＝ OD，OA ＝ OC.
∴ ∠ABD ＝∠BDC，即∠EBO ＝ ∠FDO.
又∵ ∠BOE ＝∠DOF，∴ △BOE≌△DOF.
∴ OE ＝ OF.
∵ OA ＝ OC，点 G、H 分别为 OA、OC 的中点，
∴ OG ＝ OH .
∴ 四边形 EHFG 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
16. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 经过点 O
且分别交 AB、CD 于点 E、F，点 G、H 分别为 OA、OC 的
中点. 求证：四边形 EHFG 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
复习题 C 组
17. 如图，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，过点 C 作 AD 的垂线，
交 AD 的延长线于点 E，F 为边 BC 的中点，连结 EF .
求证：EF // AB.
证明: 如图，延长 AB 交 CE 的延长线于点 O.
∵ AD 平分∠BAC，∴ ∠OAE ＝ ∠CAE.
∵ AE ⊥ CE，∴ ∠OEA ＝∠CEA ＝ 90°.
∵ AE ＝AE，∴ △OAE ≌△CAE.
∴ OE ＝CE，即 E 为 OC 的中点.
∵ F 为 BC 的中点，∴ EF 是△OBC 的中位线，
∴ EF∥OB，即 EF∥AB .
A
B
C
D
E
F
O
18. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，CD = BF.
求证：四边形 CDEF 是平行四边形.
证明: 如图，连结 BE.
在等边三角形 ABC 和等边三角形 ADE 中，
AC ＝ AB，AD ＝ AE，
∵∠CAD ＝60°－∠BAD ＝∠BAE，
∴ △ACD≌△ABE.
∴ CD ＝ BE，∠ACD ＝∠ABE ＝ 60°.
∵ CD ＝BF，∴ BE ＝BF. ∴ △BEF 是等边三角形.
∴ EF ＝BE ＝BF，∠EFB ＝60°. ∴ EF ＝ CD.
又∵ ∠ABC ＝∠EFB ＝ 60°，
∴ EF∥BC，即 EF∥CD.
∴ 四边形 CDEF 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
19. 如图，在 □ ABCD 中，过对角线 AC 的中点 O 作直线 EF
分别与 AD、BC 交于点 E、F，连结 BE、AF 相交于点 G，
连结 EC、FD 相交于点 H，图中有几个平行四边形，为什么？
解:图中有 4 个平行四边形，分别是 □ABCD、 □ AFCE、 □ BFDE、 □ EGFH. 理由如下:
在□ ABCD 中，AD∥BC，AD ＝ BC，
∴ ∠EAO ＝∠FCO.
∵ O 为 AC 的中点，∴ AO ＝ CO.
又∵ ∠AOE ＝∠COF，∴ △EAO≌△FCO，
∴ EO ＝ FO，∴ 四边形AFCE 是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
G
H
O
∴ AE FC，AF∥CE，∴ ED BF，
∥
＝
∥
＝
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形，
∴ BE∥DF.
∵ AF∥EC，
∴ 四边形 EGFH 是平行四边形.
故连同已知的 □ABCD 共有 4 个平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
20. 在△ABC 中，点 D、E、F 分别为边 BC、AB、AC 上的点，
连结 FD，并延长至点 G. 已知 FD//AB，你认为再增加什么
条件，可以使得线段 AG 与 ED 互相平分？画出图形，
试试看，相信你一定会得到满意的答案.
解:如图所示，添加条件 DG ＝AE . (答案不唯一)
∵ FD∥AB，∴ DG∥AE.
又∵ DG ＝ AE，
∴ 四边形 AEGD 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴ AG 与 ED 互相平分.
通过本节课的学习，你有哪些收获？

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