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平行四边形与邻边有关的计算和证明
平行四边形
已知平行四边形 ABCD，你能得出哪些结论？
E
F
A
B
D
C
① AB∥CD，AD ∥ BC，
② AB = CD，AD = BC，
③ ∠A = ∠C，∠B = ∠D，
④ AE = CF .
探索新知
例 3 已知平行四边形的周长是 24，相邻两边的长度相差 4. 求该平行四边形相邻两边的长.
A
B
D
C
解 如图，设 AB 的长为 x，则边 BC 的长为 x + 4.
根据已知，可得 2( AB + BC ) = 24，
即 2( x + x + 4 ) = 24，
解得 x = 4.
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为 4 和 8.
x +4 = 8.
1. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB = 4，
则 BC 的长为________.
解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC，
∵平行四边形 ABCD 的周长是 32，
∴2( AB + BC ) = 32，
∴2( 4 + BC ) = 32，
∴BC = 12．
A
B
D
C
12
2. 如图，平行四边形 ABCD 周长是 28 cm，△ABC 的周长
是 22 cm，则 AC 长（　　）
A. 14 cm B. 12 cm C. 10 cm D. 8 cm
解 ∵□ ABCD 的周长是 28 cm，
∴AB + BC = 14 cm，
∵△ABC 的周长是 22 cm，
∴AC = 22－( AB + BC ) = 8 cm.
D
B
C
D
A
在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半.
B
C
D
A
归纳总结
设□ ABCD 的周长是 l，
则 AB + BC = BC + CD
= CD + DA
= DA + AB
= .
例 4 如图，在 □ ABCD 中，∠ADC 的平分线与 AB 相交于点 E. 求证： BE + BC = CD.
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD (平行四边形的对边相等)，
AB∥CD (平行四边形的对边平行).
∴∠CDE =∠AED.
又∵DE 是∠ADC 的平分线，
∴∠ADE =∠CDE.
∴∠ADE =∠AED. ∴AD = AE.
又∵AD = BC (平行四边形的对边相等)，
∴AE = BC. BE + BC = BE + AE = AB = CD.
A
B
E
C
D
1. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 20，AE 平分
∠BAD，若 CE = 2，则 AB 长为（　　）
A. 8 B. 10 C. 6 D. 4
B
C
D
A
E
AB + BC = 10，CE = 2，
AB + BE = 10－2 = 8，
AB = BE = 4.
D
2. 在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AD ＝ 5 cm，
AB ＝ 9 cm，则 EC ＝______cm.
A
B
C
D
E
5
5
4
4
平行四边形一内角的平分线与对边相交于一点，可得到一个等腰三角形.
归纳总结
A
B
C
D
E
【选自教材第83页 练习 第1题】
1. 已知平行四边形的周长是 32 cm，相邻两边长的比为
1 ∶ 3. 求该平行四边形各边的长.
解: 设平行四边形的一边长为 x cm，其邻边长为 3x cm.
依题意有 2(x + 3x)＝ 32，解得 x ＝ 4.
∴ 3x ＝12.
∴ 该平行四边形各边的长分别是 4 cm，12 cm，4 cm，12 cm.
2. 已知平行四边形的一组邻边的长相等，且等于其较短的对角线
的长，而此对角线的长为 4 cm. 求此平行四边形各内角的大小
及各边的长.
【选自教材第83页 练习 第2题】
解:如图. 由题意得 AB ＝AD ＝BD，
∴ △ABD 为等边三角形，∴ ∠A ＝60°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB ＝DC，AD ＝BC，∴ ∠ADC ＝180°－∠A ＝120°.
∴ □ ABCD 各内角的大小分别为 60°，120°，60°，120°.
又∵ AB＝DC，AD＝BC，AB＝AD，
∴ AB＝BC＝CD＝DA＝4 cm，
∴ □ ABCD 各边的长都是 4 cm.
3. 如图，在 □ ABCD 中，AE 平分 ∠BAD，BE 平分 ∠ABC，
且 AE、BE 相交于 CD 上的一点 E .
求证：AE ⊥ BE.
又若 AE、BE 相交于 □ ABCD 外（或内）的一点 E，
结论是否仍然成立？
【选自教材第83页 练习 第3题】
A
B
D
C
E
A
B
D
C
E
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，∴ ∠BAD +∠ABC ＝180°.
∵ AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC，
∴ ∠EAB ＝ ∠BAD，∠ABE ＝ ∠ABC.
∴ ∠EAB + ∠ABE ＝ (∠BAD + ∠ABC)＝ 90°.
∴ ∠AEB ＝90°，即 AE ⊥ BE.
又若 AE、BE 相交于 ABCD 外(或内)
的一点 E，结论仍然成立.
平行四边形两邻边有哪些特点？
平行四边形两邻边的特点
在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半.
平行四边形一内角的平分线与对边相交于一点，可得到一个等腰三角形.

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