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平行四边形边、角的性质
平行四边形
在生活中，你见过下面的图形吗？
课桌、讲台
停车位
学校大门
你还能举出其他例子吗？
回 忆
平行四边形的定义：
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
D
C
记作：□ ABCD
读作：平行四边形 ABCD
几何语言：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
①
②
③
④
⑤
⑥
一组对边平行
梯形
两组对边平行
平行四边形
三角形
五边形
两组对边平行
平行四边形
四边形
A
B
D
C
说一说平行四边形的相邻两个内角之间有什么关系？
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴ ∠ABC + ∠BCD ＝ 180°，
∠ABC + ∠BAD ＝ 180°，
∠BAD + ∠ADC ＝ 180°，
∠ADC + ∠DCB ＝ 180°.
平行四边形的相邻两个内角互补.
除此之外，平行四边形还有什么性质？
探索新知
根据平行四边形的定义，请画一个平行四边形 ABCD.
1. 任意作一条直线 m；
2. 在直线 m 上任取点 A，在直线 m 外
任取点 B，连结 AB；
3. 过点 B 作直线 m 的平行线 n，
在直线 n 上任取点 C；
4. 过点 C 作直线 AB 的平行线，交直线
m 于点 D，就得到□ ABCD.
m
n
A
B
C
D
A
B
D
C
用直尺和量角器分别量一量平行四边形的对边和对角，你发现了什么？
动手操作
AD = 5 cm
BC = 5 cm
AB = 3.5 cm
CD = 3.5 cm
猜想：平行四边形的对边相等.
A
B
D
C
∠B = 70°
∠D = 70°
∠A = 110°
∠C = 110°
猜想：平行四边形的对角相等.
A
B
D
C
已知：如图，□ ABCD.
求证：AB = CD，AD = CB，∠A =∠C，∠ABC =∠CDA.
证明猜想
证明思路
1.添加辅助线，将平行四边形
转化为两个三角形.
2.证明这两个三角形全等.
证明 如图，连结 BD.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB // DC且AD // BC（平行四边形的两组对边分别平行）.
∴∠ABD = ∠CDB ，∠ADB = ∠CBD.
又∵BD = DB，∴△ABD ≌ △CDB.
∴AB = CD，AD = CB， ∠A = ∠C.
A
B
D
C
由 ∠ABD = ∠CDB 和 ∠ADB = ∠CBD，
得 ∠ABD + ∠CBD = ∠CDB + ∠ADB，
即 ∠ABC = ∠CDA.
平行四边形的性质定理：
平行四边形的性质定理 1 平行四边形的对边相等.
A
B
D
C
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
平行四边形的性质定理 2 平行四边形的对角相等.
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
平行四边形是中心对称图形吗？怎么找到对称中心？
A
B
D
C
② 画两个一样的平行四边形.
① 连接 AC，BD 交于点 O.
O
③ 将两个图形重合，然后将上面
一个图形绕点 O 旋转 180°.
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心.
例 1 如图，在 □ ABCD 中，∠A = 40°. 求其他各内角的度数.
D
A
C
B
解 在 □ ABCD 中，
∠A =∠C 且 ∠B =∠D (平行四边形的对角相等).
∵∠A = 40°，∴∠C = 40°.
又∵AD // BC，∴∠A + ∠B = 180°.
∴∠B = 180°– ∠A = 180°– 40°= 140°.
∴∠D = ∠B = 140°.
例 2 如图，在 □ ABCD 中，AB = 8，周长等于 24. 求其余三条边的长.
D
A
C
B
解 在 □ ABCD 中，有
AB = DC 且 AD = BC (平行四边形的对边相等).
∵AB = 8，∴DC = 8.
又∵AB + BC + DC + AD = 24，
∴AD = BC = (24 – 2AB) = 4.
1. 如图，在 ABCD 中，已知 AB ＝ 12，AD ＝ 8，
∠ABC 的平分线 BM 交 CD 边于点 M，则 DM 的
长为 (　　)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
12
12
8
8
8
4
B
2. 如图，在 ABCD 中，∠A ＝108°，∠ABC 的平分线
交 AD 于点 E，连结 CE. 若 BE ＝ AD，则 ∠ECD 的
度数为_______.
108°
36°
36°
72°
72°
36°
36°
试一试
画一画，量一量，你能发现什么规律？
A
B
C
D
E
F
G
H
AB = 5 cm
CD = 5 cm
EF = 5 cm
GH = 5 cm
概念引入：
两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
A
B
C
D
E
F
G
H
平行线之间的距离处处相等.
三种距离之间的区别与联系:
两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
图形
区别
联系 连结两点的线段的长度
点到直线的垂线段的长度
两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指相应线段的长度
如图，a∥ b，点 A 在直线 a 上，点 B、C 在直线 b 上，AC ⊥ b. 如果 AB ＝ 5 cm，AC ＝ 4 cm，那么平行线 a、b 之间的距离为 (　　)
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 3 cm
D. 不能确定
B
【选自教材第82页 练习 第1题】
1. 在 □ ABCD 中，∠A = 120°. 求其余各内角的度数.
解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，∠C ＝∠A ＝ 120°，∠B ＝∠D.
∴ ∠A + ∠B ＝ 180°.
∴ ∠B ＝∠D ＝ 60°.
2. 如图，如果直线 l1 ∥ l2，那么 △ABC 的面积和 △DBC 的面积是相等的. 你能说出理由吗？ 你还能在这两条平行线之间画出其他与 △ABC 面积相等的三角形吗？
解: 因为△ABC 和△DBC 是同底( BC ) 等高 ( 平行线之间的距离处处相等 ) 的两个三角形.
l1
l2
A
B
D
C
E
S△ABC = S△EBC
【选自教材第82页 练习 第2题】
3. 用一根长度为 36 cm 的铁丝围成一个平行四边形，各边的
长度恰好都是 3 的整数倍，试找出所有满足条件的平行四
边形，并分别求出各边的长.
解: 设平行四边形的四条边分别为 3k1 cm，3k2 cm，3k1 cm，
3k2 cm (其中 k2 ≥ k1 且 k1，k2 均为正整数).
依题意得 3k1 + 3k2 + 3k1 + 3k2 ＝ 36，∴ k1 + k2 ＝ 6.
∵k2 ≥ k1，且 k1，k2 均为正整数，
k1 = 1，
k2 = 5
k1 = 2，
k2 = 4
k1 = 3，
k2 = 3.
∴ 或 或
∴这个平行四边形各边的长分别是 3 cm，15 cm，3 cm，15 cm
或 6 cm，12 cm，6 cm，12 cm 或 9 cm，9 cm，9 cm，9 cm.
【选自教材第82页 练习 第3题】
这节课我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形
定义
两组对边分别平行且相等
性质
平行线之间的距离处处相等
两组对角分别相等，邻角互补
两组对边分别平行的四边形

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