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平行四边形对角线的性质
平行四边形
我们学行四边形的哪些性质？
A
B
D
C
①平行四边形的对边平行且相等.
②平行四边形的对角相等.
③平行四边形的邻角互补.
O
我们知道：
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心.
OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？
将 □ ABCD 绕点 O 旋转 180°得到的图形与原图形重合.
猜 想
A
B
D
C
O
小明同学的猜想是：OA = OC，OB = OD，你觉得他的猜想对吗？
任意画几个平行四边形，量量看，是否都是这样.
动手操作
通过测量我们得到平行四边形的性质定理：
平行四边形的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分.
O
O
O
已知：如图，□ ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
演绎推理
A
B
D
C
O
通过证明三角形全等来得到对应边相等.
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AB∥CD，
∴ ∠BAC = ∠ACD，∠ABD = ∠BDC，
∴ △ABO ≌ △CDO（ASA），
∴ OA = OC，OB = OD.
例 5 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，那么对角线 AC 与 BD 的和
是多少？
A
B
D
C
解 在 □ ABCD 中，
∵AB = 6，AO + BO + AB = 15，
∴AO + BO = 15－6 = 9.
又∵AO = OC且BO = OD（平行四边形的对角线互相平分），
∴AC + BD = 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2×9 = 18.
O
1. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
AO ＝ 4，BO ＝ 3，则 AC + BD 等于 (　　)
A. 6
B. 8
C. 10
D. 14
4
3
D
2. 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O．
若 AC ＝ 6，BD ＝ 8，则 AB 的长可能是 (　　)
A. 10
B. 8
C. 7
D. 6
3
4
？
D
3. 如图，在□ABCD 中，AB ⊥ AC，若 AB ＝8，AC ＝12，
则 BD 的长是_______.
8
6
10
20
例 6 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与边 AB、CD 分别相交于点 E 和点 F.
求证：OE = OF.
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
又∵ AB // DC，
∴ ∠EBO = ∠FDO .
又∵∠BOE = ∠DOF，
∴△BEO ≌ △DFO.
∴OE = OF .
A
B
C
D
O
E
F
改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？
A
B
C
D
O
E
F
思 考
A
B
C
D
O
E
F
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
AE ⊥ BC，垂足为点 E. 若 AB = 3，AO = 2，BC = 5，
则 AE 的长为_______.
3
4
5
S△ABC = AB·AC = BC·AE
AE = =
2. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，
E 为边 AD 上任意一点．若 △AOB 的面积为 6，
则 △BCE 的面积为_______.
S△OAB = S△OCB
S△ABC = S△EBC
12
【选自教材第85页 练习 第1题】
1. 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
指出图中各对相等的线段.
A
B
D
C
O
AB ＝ CD，
BC ＝ AD，
OA ＝ OC，
OB ＝ OD.
2. 如图，在 □ ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，
BE ⊥ AC，DF ⊥ AC，垂足分别为点 E 和点 F.
求证：OE = OF .
【选自教材第85页 练习 第2题】
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB ＝ OD.
∵ BE ⊥ AC，DF ⊥ AC，
∴ ∠BEO ＝∠DFO ＝ 90°.
又∵ ∠BOE ＝∠DOF，
∴ △BOE ≌ △DOF，
∴ OE ＝ OF.
D
A
C
B
O
E
F
3. 如图，在 □ ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，且与边 AB、
CD 分别相交于点 E 和点 F，AB = 4，AD = 3，OF = 1.3.
求四边形 BCFE 的周长.
【选自教材第85页 练习 第3题】
D
A
C
B
O
E
F
解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC ＝ AD ＝ 3，AB∥CD，OA ＝ OC.
∴ ∠OAE ＝ ∠OCF .
又∵ ∠AOE ＝∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF .
∴ OE ＝ OF，AE ＝ CF .
∴ EF ＝ 2OF ＝ 2×1.3 ＝ 2.6 .
∴ 四边形 BCFE 的周长为
BC + CF + EF + BE
＝ BC + AE + EF + BE
＝ BC + (AE + BE) + EF
＝ BC + AB + EF
＝ 3 + 4 + 2.6
＝ 9.6 .
D
A
C
B
O
E
F
3. 如图，在 □ ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，且与边 AB、
CD 分别相交于点 E 和点 F，AB = 4，AD = 3，OF = 1.3.
求四边形 BCFE 的周长.
【选自教材第85页 练习 第3题】
这节课我们学行四边形对角线的哪些性质？
平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线互相平分.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等

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