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2026年河北张家口市桥东区中考一模数学试题
一、单选题
1．若，，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若m与n互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线
4．2025年，全年全国粮食总产量约为71500万吨，比上年增长．将71500万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．能使不等式成立的负整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ）
A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价
B．第一次购买节能灯的单价是元
C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个
D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为
10．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：
甲：原方程必定有一个根是；
乙：当时，原方程有两个不相等的实数根．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
12．如图，点O为矩形对角线的交点，，，点E是边上一点（不含端点及中点），连接并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ）
A．
B．当点和点C不重合时，
C．
D．当在直线上方时，点到直线距离的最大值为
二、填空题
13．计算：_______．
14．如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______．
15．如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______．
16．如图，正方形的边长为，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与边交于点E，在正方形内的圆弧上取一点F，使得，连接并延长和边交于点G，则的值为_______．
三、解答题
17．数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是．
(1)当时，求线段的长；
(2)若点A在点B的右侧，求符合要求的的最小整数值．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下：
当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步
请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程；
(2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值．
19．为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩/分 人数/人
A 18
B m
C 68
D 30
(1)本次调查共抽取了 名学生；
(2)求表中m的值和扇形统计图中x的值；
(3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率；
(4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数．
20．如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米．
(1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离；
(2)求松树EF的高度．（参考数据：）
21．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点．
(1)求定点的坐标；
(2)当直线和线段有交点时，求的取值范围；
(3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值．
22．如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接．
(1)若，，求的长．
(2)求证：是的切线．
(3)若，，直接写出的值．
23．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求k的值．
(3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围．
24．数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究：
【探究1】
（1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)；
（2）如图2，菱形的边长为6，，点和点分别在边和边上，，连接，求面积的最小值；
【探究2】
（3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)．
参考答案
1．C
解：∵，，
∴，
∵点的横坐标，纵坐标，
又∵第三象限内点的横、纵坐标均为负数，
∴点在第三象限．
2．B
解： m与n互为相反数，
，
．
3．A
【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点，
线段是的中线．
4．C
【详解】∵.
将原数化为时，得到，满足，小数点共向左移动位.
∴.
∴.
5．B
解：观察可知：左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，
移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变.
故可移走②号小正方体.
6．A
解： ，
，
，
，
∴ 满足条件的负整数只有，共个．
7．A
解：∵，，，
∴，
∴.
8．B
解：如图，连接、、，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F和点D关于点E成中心对称，
∴，且点、、在同一直线上，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵的面积是12，，点D是上的动点，
∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时，
∴，
∴的最小值为
9．D
解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同，
故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为，
∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元，
∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意；
，
，
，
，
解得，
∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意；
故第二次购买单价为元，
∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个，
∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意；
若设第二次购买数量为个，
∵ 第二次和第三次购买数量相同，
∴ 第三次购买数量也为个，
故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为，
∵第三次单价比第一次单价多元，
故，
整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意．
10．D
解：根据题意列表求和如下：
1 2 4
1 2 3 5
2 3 4 6
4 5 6 8
∵点P经过两次运动后到达点D，
∴点P两次运动的数字和为3或8，
由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种，
∴点P经过两次运动后到达点D的概率是
11．C
解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为，
∵该方程一个根为，
∴将代入得，
解得，
甲：∵原方程为，
∴将代入原方程得，
解得，
∴是原方程的根，甲说法正确；
乙：由题意得，，
代入得，
，
当时，，即，
∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确．
∴甲、乙都对．
12．D
解：∵点O为矩形对角线的交点，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，故A选项正确，不符合题意；
如图：连接，
∵点O为矩形对角线的交点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，，
∵，
∴，故B选项正确，不符合题意；
如图，连接，
∵点O为矩形对角线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点、、、四点共圆，
∴，
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
如图，连接，
由折叠的性质可得：，
∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上，
∵，
∴，
由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离最远，此时最大距离为，故D选项错误，符合题意．
13．
解：．
14．
解：如图，连接，设交格点于点，连接，
由题意可得为的中点，
∵网格由相同的小菱形组成的，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则，，
由题意得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴．
15．8
解：设点的坐标为，点的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴点的坐标为．
∵点是的中点，
∴点的坐标为，即，
∵点在反比例函数上，
∴
∵，
∴
解得，
∵平行四边形的面积底高（A点的纵坐标），
∴，
将代入得，
解得．
16．2
【详解】如图，连接，，，，过作于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点，在上，半径为2，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，．
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
17．(1)3
(2)0
【详解】（1）解：当时，点表示的数是，点表示的数是，
∴；
（2）解：由题意知，
解得，
∴的最小整数值为．
18．(1)二，见解析
(2)
（1）解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下：
当时，，
移项，得，
配方，得，即，
由此可得，，
∴，；
（2）解：由题意知，，
∵，，
∴，
解得，
代入判别式成立，
∴．
19．(1)200
(2)，，
(3)众数为97，中位数为，概率为
(4)300名
（1）解：抽取学生总数为：（名）；
（2）解：，
；
（3）解：A组数据中97出现了4次，出现的次数最多，因此众数为97；
A组数据共18个，按从小到大顺序排列后，第9位、第10位分别为96，97，
因此中位数为：；
随机从该组数据中抽取一个成绩，该成绩大于中位数的概率为；
（4）解：（名）
答：估计该校需要参加安全教育活动的学生人数为300名．
20．(1)米
(2)米
【详解】（1）后山的坡比为3：4，
设，，
，
由题可得：（米），
，
，
（米），（米），
（米），
（米）．
（2）过点作，过点作，
，，（米），
（米），
在中，，
，
（米），
（米），
（米），
（米），
（米）．
21．(1)
(2)的取值范围是且
(3)，整数k的值为，
（1）解：∵，
当时，，不管取任何不为0的值，均成立，
∴定点的坐标为；
（2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得，
当直线经过点时，将代入，得，解得，
∴的取值范围是且；
（3）解：设所在直线的函数解析式为，
将，代入，得，解得，
∴线段所在直线的函数解析式为，
∵点是直线和直线的交点，
∴，
∴，
当是正整数时，的值可以是1，5，
∴整数k的值为，．
22．(1)2
(2)证明见解析
(3)
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：∵，，，
∴．
设的半径为，，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，是的切线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得(舍去)．
∴．
∴．
23．(1)
(2)8
(3)
（1）解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是，
∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）可知抛物线对称轴为，
∵，
∴当时，取最大值，
∴，
∴k的值为8．
（3）解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域，
由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线上，
∵点与点关于直线对称，
∴，
当点在直线上或上方时，的最高点为， 的最低点为，
∴，，
解得；
当点在直线下方时，的最高点为H， 的最低点为，
∴，，
解得；
综上所述，．
24．（1）；
（2）；
（3）
（1）解：过点作于点，如图，
∵是等边三角形，边长为，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵四边形是菱形，边长为6，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵菱形中，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴由（1）得，
要使的面积最小，只需使的长度最小，
根据垂线段最短，当时，取得最小值，
∵是等边三角形，，
∴在中，由勾股定理得，
∴面积的最小值为；
（3）解：∵为边上的高，
∴，
作关于对称的，作关于对称的，延长，交于点，如图，
则，，，，．
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，正方形边长为．
设，，则，，，
在中，，由勾股定理得，
即，
展开化简得
由完全平方公式的非负性可知，变形得，
∴，即，
当时，
由求根公式得(舍去)，
∴的最小值为，即的最小值为，
根据的面积，
∴最小值为．

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