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(共11张PPT)
习题17.1
平行四边形
华师大版·八年级数学下册
17
A 组
1. 如图，在 □ ABCD 中，AE ⊥ CD，垂足为点 E . 如果
∠B = 55°，那么 ∠D 和 ∠DAE 分别等于多少度？
解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠D ＝∠B ＝ 55°.
∵ AE ⊥ CD，
∴ ∠AED ＝ 90°.
∴ ∠DAE ＝ 90°－∠D
＝ 90°－55°＝ 35°.
A
B
D
C
E
2. 如图，在 □ ABCD 中，已知 AC、BD 相交于点 O，
两条对角线长的和为 22 cm，CD 的长为 5 cm.
求△OCD 的周长.
解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OD ＝ BD，OC ＝ AC，
∴ OD + OC ＝ (BD + AC)＝ ×22 ＝ 11 (cm).
又∵ CD ＝ 5 cm，
∴ △OCD 的周长为 OD + OC + CD ＝ 11 + 5 ＝ 16 (cm).
A
B
D
C
O
3. 在 □ ABCD 中，∠A 与 ∠B 的度数之比为 2 ∶ 3.
求 □ ABCD 各内角的度数.
解: 设∠A 与∠B 的度数分别为 2x°，3x°.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，∠A ＝∠C，∠B ＝∠D .
∴ ∠A + ∠B ＝ 180°，即 2x + 3x ＝ 180，∴ x ＝ 36.
∴ ∠A ＝∠C ＝ 2x° ＝ 72°，∠B ＝∠D ＝ 3x° ＝ 108°.
4. 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
△AOB 的周长与 △AOD 的周长之和为 11.4 cm，两条
对角线长之和为 7 cm. 求 □ ABCD 的周长.
解: 在 □ABCD 中，OA ＝ OC ＝ AC，OB ＝ OD ＝ BD.
∵ △AOB 的周长与△AOD 的周长之和为 11.4 cm，
∴ OA + OB + AB + OA + OD + AD
＝AC + BD + AB + AD ＝ 11.4 cm.
又∵ AC + BD ＝ 7 cm，
∴ AB + AD ＝ 4.4 cm.
∴ □ABCD 的周长是 2(AB + AD)＝ 2×4.4 ＝ 8.8 (cm).
A
B
D
C
O
5. 证明：夹在两条平行线间的平行线段相等.
解: 如图所示.
已知 AB∥CD，点 E、H 在直线 AB 上，点 F、G 在直线 CD 上，
且 EF∥HG .
求证: EF ＝ HG.
证明: 方法一:
∵ EF∥HG，AB∥CD，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
∴ EF ＝ HG.
5. 证明：夹在两条平行线间的平行线段相等.
方法二: 如图，过点 E 作 EM ⊥ FG 于点 M，
过点 G 作 GN ⊥ EH 于点 N，则∠EMF ＝∠GNH ＝ 90°.
又∵ AB∥CD，
∴ EM ＝ GN，∠EFM ＝∠FEA .
∵ EF∥HG，∴ ∠FEA ＝∠GHN，
∴ ∠EFM ＝∠GHN，
∴ △EFM ≌ △GHN，
∴ EF ＝ HG.
6. 如图，在 □ ABCD 中，DB = CD，∠C = 70°，AE ⊥ BD，
垂足为点 E. 求∠BAE 的度数.
B 组
解: 在 □ ABCD 中，AB ＝ CD，∠DAB ＝∠C ＝ 70°.
∵ DB ＝ CD，∴ DB ＝ AB.
∴ ∠ADB ＝∠DAB ＝ 70°.
∴ ∠ABD ＝180°－2∠DAB ＝ 40°.
∵ AE ⊥ BD，∴ ∠AEB ＝ 90°.
∴ ∠BAE ＝ 90°－∠ABD ＝ 50°.
D
A
C
B
E
7. 如图，在 □ ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，连结 BE
并延长交 AD 的延长线于点 F. 求证：点 E 是 BF 的
中点，点 D 是 AF 的中点 .
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD ＝ BC，∴ ∠F ＝∠CBE.
∵ 点 E 为 CD 的中点，∴ DE ＝ CE.
又∵ ∠DEF ＝∠CEB，
∴ △DEF ≌ △CEB，
∴ EF ＝ EB，DF ＝ CB，
∴ 点 E 是 BF 的中点.
又∵ AD ＝ BC，∴ AD ＝ DF，
∴ 点 D 是 AF 的中点.
A
B
D
C
F
E
8. 在 □ ABCD 中，边 BC 上的高为 4，AB = 5，AC = 2.
求 □ ABCD 的周长.
解:不妨令 □ABCD 的边 BC 上的高为 AE，则 AE ＝ 4.
分两种情况讨论: ①当 AE 在△ABC 内部时，如图①.
在Rt△ABE 中，AB ＝ 5，由勾股定理，
得 BE ＝ ＝ ＝ 3.
在 Rt△ACE 中，AC ＝ 2，由勾股定理，得
CE ＝ ＝ ＝ 2.
∴ BC ＝ BE + CE ＝3 + 2 ＝ 5.
∴ □ABCD 的周长为 2(AB + BC)＝ 2×(5 + 5) ＝ 20.
8. 在 □ ABCD 中，边 BC 上的高为 4，AB = 5，AC = 2.
求 □ ABCD 的周长.
②当 AE 在△ABC 外部时，如图②.
在 Rt△ABE 中，AB ＝ 5，由勾股定理，得
BE ＝ ＝ ＝ 3.
在 Rt△ACE 中，AC ＝ 2，由勾股定理，得
CE ＝ ＝ ＝ 2.
∴ BC ＝BE－CE ＝3－2＝1.
∴ □ABCD 的周长为 2(AB + BC)＝ 2×(5 + 1)＝ 12.
综上所述，□ABCD 的周长为 20 或 12.(共10张PPT)
习题17.2
平行四边形
华师大版·八年级数学下册
17
A 组
1. 用两个全等的不等边三角形，按照不同的方法拼成四边形，
可以拼成几个不同的四边形？它们都是平行四边形吗？
为什么？
2. 如图，在 □ ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点，
BE ⊥ AC 于点 E，DF ⊥ AC 于点 F. 求证：四边形
BEDF 是平行四边形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ＝CD，BC ＝DA.
又∵ AC ＝CA，∴ △ABC≌△CDA.
∴ S△ABC ＝S△CDA .
∴ AC·BE ＝ AC·DF.
A
B
D
C
E
F
∴ BE ＝ DF.
∵ BE ⊥ AC，DF ⊥ AC，
∴ BE∥DF.
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形).
A
B
D
C
E
F
2. 如图，在 □ ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点，
BE ⊥ AC 于点 E，DF ⊥ AC 于点 F. 求证：四边形
BEDF 是平行四边形.
3. 如图，在 □ ABCD 中，对角 ∠BAD、∠BCD 的外角平分
线 AE、CF 分别交 CD、AB 的延长线于点 E 和点 F.
求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明:在□ABCD 中，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝CB，
∴ 易得∠CBF ＝∠ADE.
∵ 对角∠BAD、∠BCD 的外角平分线 AE、CF 分别交CD、AB 的
延长线于点 E 和点 F，
∴ 易得∠DAE ＝∠BCF.
∴ △ADE ≌△CBF. ∴ DE ＝BF.
∵ AB ＝CD，
∴ AB + BF ＝CD + DE，即AF ＝ CE. 又∵ AF∥CE，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
4. 如图，在 □ ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 的中点，
AF 与 DE 相交于点 G，CE 与 BF 相交于点 H. 求证：
四边形 EHFG 是平行四边形.
A
B
D
C
G
H
E
F
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB ＝ CD.
∵ E、F 分别是边 AB、CD 的中点，
∴ AE ＝BE ＝ AB，CF ＝DF ＝ CD.
∴ AE＝BE＝CF＝DF.
∴ AE CF，BE DF.
∴ 四边形 AECF 与四边形 BEDF 都是平行四边形.
∴ CE∥AF，DE∥BF，即 EH∥FG，EG∥FH.
∴ 四边形 EHFG 是平行四边形 (两组对边分别平行的
四边形是平行四边形).
∥
＝
∥
＝
5. 如图，点 A、B、E 在同一条直线上，AB = DC，
∠C = ∠CBE. 求证：AD = BC .
证明: ∵ ∠C ＝∠CBE，∴ AB∥DC.
又∵ AB＝DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形).
∴ AD ＝ BC.
A
B
C
D
E
6. 如图，在四边形 ABCD 中，M 是边 BC 的中点，AM、BD
互相平分并交于点 O. 求证：AM DC .
B 组
∥
＝
A
B
D
C
M
O
证明: 如图，连结 DM.
∵ AM、BD 互相平分，
∴ 四边形ABMD 是平行四边形.
∴ AD∥BM，AD ＝BM.
∵ M 是边 BC 的中点，∴ BM ＝CM，∴ AD ＝CM.
又∵ AD∥CM，∴ 四边形 AMCD 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴ AM DC.
∥
＝
7. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、
BC、CD、DA 的中点，连结 EF、FG、GH、HE，得到
四边形 EFGH. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明:如图，连结 AC.
∵ E、F 分别是AB、BC 的中点，
∴ EF 是△ABC 的中位线，
∴ EF AC.
∥
＝
同理可得 GH AC.
∥
＝
∴ EF GH.
∥
＝
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
8. 如图，在△ABC 中，AB = 14，AC = 26，点 P 在∠BAC 的
平分线 AD 上，且 BP ⊥ AD，点 M 为边 BC 的中点.
求 PM 的长.
A
B
C
D
M
P
E
解:如图，延长 BP 交 AC 于点 E，
则∠APE ＝∠APB ＝ 90°.
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAP ＝∠EAP.
又∵ AP ＝AP，∴ △ABP≌△AEP.
∴ AE ＝AB ＝14，BP ＝ EP.
∵ AC ＝ 26，∴ CE ＝AC－AE ＝26－14＝12.
∵ 点 M 是边 BC 的中点，∴ BM ＝ CM，
∴ PM 是△BCE 的中位线，∴ PM ＝ CE ＝ ×12＝6.

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