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浙江省绍兴市越城区2024一2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
1．（2025八下·越城期中）下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可．
2．（2025八下·越城期中）学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查。下面的调查数据最值得关注的是（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：A、方差是反映数据稳定情况的数据，不能客观反映学生的好恶；
B、众数能比较客观反映学生的好恶；
C、中位数不能客观反映学生的好恶；
D、平均数只能反映学生喜欢各种水果的情况。
故答案为：B.
【分析】方差是衡量一组数据稳定情况的数据，方差越大，数据稳定性越差；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间或最中间两个数据的平均值；平均数是一组数据的总和与样本容量的商.
3．（2025八下·越城期中）一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是(　　)
A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．十四边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°-144°)=36°，
∴这个多边形的边数360°÷36°=10．
故选B．
【分析】先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是（180°-144°)=36°，然后根据n边的外角和为360°即可得到其边数．
4．（2025八下·越城期中）一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式，再减去一个4，变形后即可得到答案.
5．（2025八下·越城期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
C、根据两对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
D、由一组对边相等、一条对角线平分不能判定这个四边形是平行四边形.
6．（2025八下·越城期中）下列各式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：对A选项，，无法与合并 ，故A不符合题意；
对B选项，，无法与合并 ，故B不符合题意；
对C选项，，能与合并 ，故C符合题意；
对D选项，a值无法确定，无法与合并 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别化简各选项的二次根式，即可判断.
7．（2025八下·越城期中）用反证法证明某个命题的结论“ ”时，第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“ ”时，第一步应假设 ；
故答案为：D.
【分析】找出a>0的反面即可.
8．（2025八下·越城期中）如图，是三角形的中位线，平分，且，若，，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是的中位线，BC=11，∠AFB=90°，AB=7，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质求出DE、DF的值，即可求出EF=DE-DF的值.
9．（2025八下·越城期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的面积公式求出，从而可得．
10．（2025八下·越城期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（　　）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：若方程的两个根是和2，则，
∴，
∴；
故①正确；
若是方程的一个根，则，
∴或，
故②错误；
若，则，
即有一个根是；
故③正确；
若方程有一个根是，则，
当时，，
即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故答案为：C
【分析】 ① 由一元二次方程根与系数的关系可得出，显然结论成立； ② 由方程解的概念，把 代入到方程中进行验证可发现可能等于0，故结论不成立； ③ 把代入到方程中验证发现结论成立； ④ 由方程解的概念可分别验证，发现结论成立．
11．（2025八下·越城期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由得故填
【分析】考查二次根式有意义条件，由被开方数是非负数得不等式，会解不等式求解，易错点非负数的表示。
12．（2025八下·越城期中）写出一个两个根分别为和的一元二次方程　 　 ．
【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵1-3=-2，1×（-3）=-3，
∴以 和为根的一元二次方程为：，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出1-3=-2，1×（-3）=-3，再求方程即可。
13．（2025八下·越城期中）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 　 　（填“甲”或“乙”）.
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
14．（2025八下·越城期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x-1=0有两个不相等的实数根，
∴16+4m＞0，且m≠0，
故m＞-4且m≠0；
故答案为：m＞-4且m≠0.
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零，结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，求解即可.
15．（2025八下·越城期中）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　 　．
【答案】或6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
因式分解得，
解得或，
三角形两边的长分别是4和3，
第三边取值范围为：，即，
第三边长度为3或5．
分两种情况：
当这个三角形的三边长分别为3，3，4，即为等腰三角形，
如图，中，，，作于点D，
，
，
；
当这个三角形的三边长分别为3，4，5，
，
这个三角形是直角三角形，且直角边的边长为3和4，
这个三角形的面积为，
综上可知，这个三角形的面积为或6，
故答案为：或6．
【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，再根据三角形的三边关系求出第三边，然后根据这个三角形的形状计算面积．
16．（2025八下·越城期中）如图，已知点，，，，C为直线EF上一动点，则的对角线CD的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，设交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，
∵，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴此时是直角三角形，且是斜边，
∵，
∴，
∴的对角线的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得到，，从而得，根据垂线段最短可知当时，取得最小值，然后推出是等腰直角三角形，即此时是直角三角形，且是斜边，进而得到，即可求解.
17．（2025八下·越城期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式的混合运算顺序是先乘除、后加减，注意乘除运算的结果必须化为最简二次根式，如果被开方数相同，可按照合并同类项的方法进行合并．
（2）实数的混合运算可灵活利用乘法公式进行简化运算．
（1）解：
；
（2）解：
18．（2025八下·越城期中）解方程
（1）．
（2）．
【答案】（1），
，
或，
解得，；
（2），
，
，
，
，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)直接提公因式法即可得方程的根；
(2)去掉括号后，再配方即可得方程的根.
19．（2025八下·越城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2；
（2）若（1）所得的△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，直接写出对称中心P点的坐标．
【答案】解：（1）①如图，即为所求；
②如图，即为所求；
（2）根据题意，得，
∵与关于点成中心对称，
∴，即点的坐标为.
【知识点】作图﹣平移；中心对称的性质；作图﹣中心对称；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）①在网格中找出平移后的对应点，然后顺次连接对应点即可；
②在网格中找出平移后的对应点，然后顺次连接对应点即可；
（3）根据中心对称的性质，结合中点坐标公式进行求解.
20．（2025八下·越城期中）为了解莆田某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）．
请根据相关怕息，解答下列问题：
（1） 本次采用的调查方式是__________（填“普查”或“抽样调查”），在图（2）中，“①”的描述应为“7分”所对应的圆心角度数__________；
（2）求抽取学生实验操作得分数据众数和中位数；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
【答案】（1）抽样调查，
（2）解：根据图表得知，众数是9分，
∵名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数，且根据图表得知，排名后第和第名同学得分均为8分，
∴中位数为8分；
（3）解：根据题意，得（人），
∴估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次采用的调查方式是抽样调查，
根据题意，得本次随机抽查的学生人数为：（人），
∴，
∴对应的圆心角为，
故答案为：抽样调查，.
【分析】（1）根据抽样调查和普查的定义进行求解，然后利用条形统计图可得本次随机抽查的学生人数，根据扇形统计图即可求出的值，然后用乘以百分比即可；
（2）根据条形统计图，结合众数和中位数的定义进行求解；
（3）利用样本估计总体，用1280乘以理化生实验操作得满分的学生所占百分比即可求解.
（1）解：本次采用的调查方式是抽样调查；
本次随机抽查的学生人数为（人），
，
∴对应的圆心角为，
故答案为：抽样调查，；
（2）解：由图表得知，众数是9分．
名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数，
由图表得知，排名后第和第名同学得分均为8分，
因此，中位数为8分；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
21．（2025八下·越城期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而根据全等三角形的判定“”得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，，从而得到，进而根据平行四边形的判定得证结论.
22．（2025八下·越城期中）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【答案】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率.
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，准确列出等量关系式是解题关键．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，
三月份销售量为256件，四月份的销售量是在三月份基础上增长的，所以四月份销售件数为：256(1+x)件；五月份的销售量是在四月份基础上又增长x，所以五月份销售量为件，由此可得方程：，解得x的值即可，需注意增长率x＞0，故负值需舍去，由此可得出答案；
（2）设降价m元，
原来每件利润为40-25=15元，降价m元后，每件利润为(40-m-25)元，由原来月销售量为400件，每降价1元，月销售量增加5件可知：降价m元后，月销售量为(400+5m)件，根据总利润=单件利润×销售数量可得方程：，解得m的值即可得出答案.
（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
23．（2025八下·越城期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中、为有理数，那么_________，_________；
（2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根；
（3）若、都是有理数，且，试求的立方根．
【答案】（1）-2， 3
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴，
∴其算术平方根为5
（3）解：，，
∴，
解得：或，
∴∴当，时，，的立方根为1；
当，时，，的立方根为
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，其中a、b为有理数，∴，，
，，
故答案为：；；
【分析】（1）根据题干提供的信息可得，，然后进行计算即可解答；
（2）根据题干提供的信息可得，求解得出a、b的值，然后把a，b的值代入式子a+8b根据有理数加减乘除混合运算法则算出结果，进而根据算术平方根定义“若果一个非负数x的平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根”求解即可；
（3）根据题干提供的信息可得，，求解得出a=±5，b=-4，然后分两种情况代式子a+b根据有理数加减法法则算出结果，进而根据立方根定义“若果一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根”求解即可.
（1）解：∵，其中a、b为有理数，
∴，，
，，
故答案为：；；
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴，
∴其算术平方根为5；
（3）解：，
，
∴，
解得：或，
∴∴当，时，，的立方根为1；
当，时，，的立方根为．
24．（2025八下·越城期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）证明：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
在和中，
，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）解：或或.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）①如图，过点作于，
四边形是平行四边形，，，
，，，
∴，
平分，
，
，，
∴，，
∴，
四边形是“等邻边四边形”，，
当时，有；
②当时，如图，过点作于，
由①得，
∵，四边形是平行四边形，
∴，
，
∴，
∴，，
∴；
③当时，如图，连接，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
综上所述，或或．
【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义画出图形即可；
（2）连接，根据平行线以及等腰三角形“等边对等角”的性质推出，从而证明)，进而得到，即可证明结论；
（3）①当时，过点作于，根据平行四边形的以及平行线的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，由等腰三角形的判定以及含30°的直角三角形的性质得到，，然后根据等腰三角形“三线合一”性质以及勾股定理求出，，即可得到的长度；②当时，过点作于，结合①的结论，根据平行四边形的性质得到，利用含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得到，，即可得到的长度；③当时，连接，求出，结合等腰三角形的性质与判定得到，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到的长度.
（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）作于，
四边形平行四边形，
，，，
平分，
，
，
，
四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，
，
在中，由勾股定理得，，
；
当时，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上：或或．
1 / 1浙江省绍兴市越城区2024一2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
1．（2025八下·越城期中）下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·越城期中）学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查。下面的调查数据最值得关注的是（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
3．（2025八下·越城期中）一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是(　　)
A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．十四边形
4．（2025八下·越城期中）一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·越城期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
6．（2025八下·越城期中）下列各式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·越城期中）用反证法证明某个命题的结论“ ”时，第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·越城期中）如图，是三角形的中位线，平分，且，若，，则的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2025八下·越城期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·越城期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（　　）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
11．（2025八下·越城期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·越城期中）写出一个两个根分别为和的一元二次方程　 　 ．
13．（2025八下·越城期中）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 　 　（填“甲”或“乙”）.
14．（2025八下·越城期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
15．（2025八下·越城期中）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　 　．
16．（2025八下·越城期中）如图，已知点，，，，C为直线EF上一动点，则的对角线CD的最小值是　 　．
17．（2025八下·越城期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·越城期中）解方程
（1）．
（2）．
19．（2025八下·越城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2；
（2）若（1）所得的△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，直接写出对称中心P点的坐标．
20．（2025八下·越城期中）为了解莆田某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）．
请根据相关怕息，解答下列问题：
（1） 本次采用的调查方式是__________（填“普查”或“抽样调查”），在图（2）中，“①”的描述应为“7分”所对应的圆心角度数__________；
（2）求抽取学生实验操作得分数据众数和中位数；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
21．（2025八下·越城期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
22．（2025八下·越城期中）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
23．（2025八下·越城期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中、为有理数，那么_________，_________；
（2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根；
（3）若、都是有理数，且，试求的立方根．
24．（2025八下·越城期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可．
2．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：A、方差是反映数据稳定情况的数据，不能客观反映学生的好恶；
B、众数能比较客观反映学生的好恶；
C、中位数不能客观反映学生的好恶；
D、平均数只能反映学生喜欢各种水果的情况。
故答案为：B.
【分析】方差是衡量一组数据稳定情况的数据，方差越大，数据稳定性越差；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间或最中间两个数据的平均值；平均数是一组数据的总和与样本容量的商.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°-144°)=36°，
∴这个多边形的边数360°÷36°=10．
故选B．
【分析】先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是（180°-144°)=36°，然后根据n边的外角和为360°即可得到其边数．
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式，再减去一个4，变形后即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
C、根据两对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
D、由一组对边相等、一条对角线平分不能判定这个四边形是平行四边形.
6．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：对A选项，，无法与合并 ，故A不符合题意；
对B选项，，无法与合并 ，故B不符合题意；
对C选项，，能与合并 ，故C符合题意；
对D选项，a值无法确定，无法与合并 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别化简各选项的二次根式，即可判断.
7．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“ ”时，第一步应假设 ；
故答案为：D.
【分析】找出a>0的反面即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是的中位线，BC=11，∠AFB=90°，AB=7，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质求出DE、DF的值，即可求出EF=DE-DF的值.
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的面积公式求出，从而可得．
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：若方程的两个根是和2，则，
∴，
∴；
故①正确；
若是方程的一个根，则，
∴或，
故②错误；
若，则，
即有一个根是；
故③正确；
若方程有一个根是，则，
当时，，
即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故答案为：C
【分析】 ① 由一元二次方程根与系数的关系可得出，显然结论成立； ② 由方程解的概念，把 代入到方程中进行验证可发现可能等于0，故结论不成立； ③ 把代入到方程中验证发现结论成立； ④ 由方程解的概念可分别验证，发现结论成立．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由得故填
【分析】考查二次根式有意义条件，由被开方数是非负数得不等式，会解不等式求解，易错点非负数的表示。
12．【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵1-3=-2，1×（-3）=-3，
∴以 和为根的一元二次方程为：，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出1-3=-2，1×（-3）=-3，再求方程即可。
13．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
14．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x-1=0有两个不相等的实数根，
∴16+4m＞0，且m≠0，
故m＞-4且m≠0；
故答案为：m＞-4且m≠0.
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零，结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，求解即可.
15．【答案】或6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
因式分解得，
解得或，
三角形两边的长分别是4和3，
第三边取值范围为：，即，
第三边长度为3或5．
分两种情况：
当这个三角形的三边长分别为3，3，4，即为等腰三角形，
如图，中，，，作于点D，
，
，
；
当这个三角形的三边长分别为3，4，5，
，
这个三角形是直角三角形，且直角边的边长为3和4，
这个三角形的面积为，
综上可知，这个三角形的面积为或6，
故答案为：或6．
【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，再根据三角形的三边关系求出第三边，然后根据这个三角形的形状计算面积．
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，设交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，
∵，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴此时是直角三角形，且是斜边，
∵，
∴，
∴的对角线的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得到，，从而得，根据垂线段最短可知当时，取得最小值，然后推出是等腰直角三角形，即此时是直角三角形，且是斜边，进而得到，即可求解.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式的混合运算顺序是先乘除、后加减，注意乘除运算的结果必须化为最简二次根式，如果被开方数相同，可按照合并同类项的方法进行合并．
（2）实数的混合运算可灵活利用乘法公式进行简化运算．
（1）解：
；
（2）解：
18．【答案】（1），
，
或，
解得，；
（2），
，
，
，
，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)直接提公因式法即可得方程的根；
(2)去掉括号后，再配方即可得方程的根.
19．【答案】解：（1）①如图，即为所求；
②如图，即为所求；
（2）根据题意，得，
∵与关于点成中心对称，
∴，即点的坐标为.
【知识点】作图﹣平移；中心对称的性质；作图﹣中心对称；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）①在网格中找出平移后的对应点，然后顺次连接对应点即可；
②在网格中找出平移后的对应点，然后顺次连接对应点即可；
（3）根据中心对称的性质，结合中点坐标公式进行求解.
20．【答案】（1）抽样调查，
（2）解：根据图表得知，众数是9分，
∵名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数，且根据图表得知，排名后第和第名同学得分均为8分，
∴中位数为8分；
（3）解：根据题意，得（人），
∴估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次采用的调查方式是抽样调查，
根据题意，得本次随机抽查的学生人数为：（人），
∴，
∴对应的圆心角为，
故答案为：抽样调查，.
【分析】（1）根据抽样调查和普查的定义进行求解，然后利用条形统计图可得本次随机抽查的学生人数，根据扇形统计图即可求出的值，然后用乘以百分比即可；
（2）根据条形统计图，结合众数和中位数的定义进行求解；
（3）利用样本估计总体，用1280乘以理化生实验操作得满分的学生所占百分比即可求解.
（1）解：本次采用的调查方式是抽样调查；
本次随机抽查的学生人数为（人），
，
∴对应的圆心角为，
故答案为：抽样调查，；
（2）解：由图表得知，众数是9分．
名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数，
由图表得知，排名后第和第名同学得分均为8分，
因此，中位数为8分；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
21．【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而根据全等三角形的判定“”得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，，从而得到，进而根据平行四边形的判定得证结论.
22．【答案】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率.
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，准确列出等量关系式是解题关键．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，
三月份销售量为256件，四月份的销售量是在三月份基础上增长的，所以四月份销售件数为：256(1+x)件；五月份的销售量是在四月份基础上又增长x，所以五月份销售量为件，由此可得方程：，解得x的值即可，需注意增长率x＞0，故负值需舍去，由此可得出答案；
（2）设降价m元，
原来每件利润为40-25=15元，降价m元后，每件利润为(40-m-25)元，由原来月销售量为400件，每降价1元，月销售量增加5件可知：降价m元后，月销售量为(400+5m)件，根据总利润=单件利润×销售数量可得方程：，解得m的值即可得出答案.
（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
23．【答案】（1）-2， 3
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴，
∴其算术平方根为5
（3）解：，，
∴，
解得：或，
∴∴当，时，，的立方根为1；
当，时，，的立方根为
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，其中a、b为有理数，∴，，
，，
故答案为：；；
【分析】（1）根据题干提供的信息可得，，然后进行计算即可解答；
（2）根据题干提供的信息可得，求解得出a、b的值，然后把a，b的值代入式子a+8b根据有理数加减乘除混合运算法则算出结果，进而根据算术平方根定义“若果一个非负数x的平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根”求解即可；
（3）根据题干提供的信息可得，，求解得出a=±5，b=-4，然后分两种情况代式子a+b根据有理数加减法法则算出结果，进而根据立方根定义“若果一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根”求解即可.
（1）解：∵，其中a、b为有理数，
∴，，
，，
故答案为：；；
（2）解：，
，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴，
∴其算术平方根为5；
（3）解：，
，
∴，
解得：或，
∴∴当，时，，的立方根为1；
当，时，，的立方根为．
24．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）证明：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
在和中，
，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）解：或或.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）①如图，过点作于，
四边形是平行四边形，，，
，，，
∴，
平分，
，
，，
∴，，
∴，
四边形是“等邻边四边形”，，
当时，有；
②当时，如图，过点作于，
由①得，
∵，四边形是平行四边形，
∴，
，
∴，
∴，，
∴；
③当时，如图，连接，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
综上所述，或或．
【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义画出图形即可；
（2）连接，根据平行线以及等腰三角形“等边对等角”的性质推出，从而证明)，进而得到，即可证明结论；
（3）①当时，过点作于，根据平行四边形的以及平行线的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，由等腰三角形的判定以及含30°的直角三角形的性质得到，，然后根据等腰三角形“三线合一”性质以及勾股定理求出，，即可得到的长度；②当时，过点作于，结合①的结论，根据平行四边形的性质得到，利用含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得到，，即可得到的长度；③当时，连接，求出，结合等腰三角形的性质与判定得到，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到的长度.
（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）作于，
四边形平行四边形，
，，，
平分，
，
，
，
四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，
，
在中，由勾股定理得，，
；
当时，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上：或或．
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