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第01讲二次根式及其性质
【题型1】二次根式的识别
例题1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式；
B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式；
C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
例题2．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意；
D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意；
【针对训练】
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A选项：的根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式；
B选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式；
C选项：的根指数为3，不是二次根式；
D选项：当时，无意义，不一定是二次根式．
2．在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A． B．0 C． D．
【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子，
∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式；
B选项是整数，不符合二次根式的形式；
C选项是无理数，不符合二次根式的形式；
D选项满足的形式，是二次根式．
3．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意；
B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意；
C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意；
D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意．
【题型2】二次根式有意义的条件
例题1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ）
A．－2 B．3 C．－1 D．0
【详解】解：由二次根式有意义的条件得，
解得 ．
B选项符合题意．
例题2．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数满足，
解不等式得．
【针对训练】
1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【详解】代数式有意义，
，，
且，
则实数x的取值范围是且．
2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，解得，
∴解集在数轴上表示，如图，
故选：C．
3．若代数式有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【详解】∵二次根式有意义，
∴需满足，
解，得，
解，得，
∴的取值范围是且，
【题型3】二次根式的性质
例题1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵，
∴A错误.
∵，，与不是同类项，不能合并，
∴B错误.
∵，
∴C正确.
∵，
∴D错误.
例题2．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1
【详解】因为，，
所以原式．
【针对训练】
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A选项，根据积的乘方的运算法则，可得：，故A选项正确；
B选项：根据同底数幂的乘法法则，可得：，故B选项错误；
C选项：根据平方根的定义，可得：，故C选项错误；
D选项：根据合并同类项的法则，可得：，故D选项错误．
2．如果，，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴原式
．
3．已知，，且，则的值为（　　）
A．或 B．2或10 C．10 D．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去，
∵时，和都满足，
当时，，
当时，，
∴的值为2或10．
【题型4】求二次根式的值
例题1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】解：当输入时，
第一次计算：，不成立，将作为新的；
第二次计算：，成立，输出结果．
例题2．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A． B． C． D．12s
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【针对训练】
1．当时，二次根式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：当时，
．
故选：B．
2．二次根式的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【详解】解：
3．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（）
【详解】解：当时，
．
答：肉眼能看到的地面最远距离大约是．
【题型5】求二次根式中的参数
例题1．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（ ）
A．16 B．21 C．27 D．32
【详解】解：，
∵是整数，且n是正整数，
∴正整数的最小值是21．
例题2．已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，
又∵是整数，是正整数，
∴必须是整数，即为完全平方数，
∴最小为时，是完全平方数，
∴的最小值是，
故选：C．
【针对训练】
1．已知是整数，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵是整数，
∴是平方数，
∴，
∴，
∴实数n最大值为，
故选：A．
2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
【详解】解：∵a是正整数，的值是整数，
∴
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6，
∴所有可能的a之和为．
3.若二次根式的值为0，则的值为________．
【详解】解：∵二次根式 的值为，
∴被开方数 ，
解得第01讲二次根式及其性质
【题型1】二次根式的识别
例题1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A． B．0 C． D．
3．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】二次根式有意义的条件
例题1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ）
A．－2 B．3 C．－1 D．0
例题2．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若代数式有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【题型3】二次根式的性质
例题1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1
【针对训练】
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果，，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
3．已知，，且，则的值为（　　）
A．或 B．2或10 C．10 D．
【题型4】求二次根式的值
例题1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
例题2．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A． B． C． D．12s
【针对训练】
1．当时，二次根式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次根式的值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（）
【题型5】求二次根式中的参数
例题1．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（ ）
A．16 B．21 C．27 D．32
例题2．已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．已知是整数，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
3.若二次根式的值为0，则的值为________．

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