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第02讲二次根式的乘法与除法
【题型1】二次根式的乘法
例题1．计算：______．
【详解】解：．
例题2．若为正整数，且满足，则_____．
【详解】解：，
因为，
所以，
即，
，
即，
所以．
【针对训练】
1．计算：______．
【详解】解：．
2． ______．
【详解】解：根据二次根式的乘法法则，可得：．
3．计算：________．
【详解】解：．
4．化简的结果为______．
【详解】解：由二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，得，
∴
∴原式.
【题型2】二次根式的除法
例题1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则，A错误；
B、表示4的算术平方根，结果为非负数，则，B错误；
C、，则，C正确；
D、，D错误．
例题2．化简的结果是__________．
【详解】解： 由，根据题意，得，
故答案为：．
【针对训练】
1．_____．
【详解】解：．
2．计算：
【详解】解：
3．计算：
【详解】解：
．
【题型3】二次根式的乘除混合运算
例题1.对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．
【详解】解：
．
例题2．计算：
【详解】解：原式.
【针对训练】
1．计算：
(1) (2)（）
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
2．计算：
(1) (2)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
3．计算：
(1)； (2)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．运算能力计算：
(1)； (2)．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【题型4】最简二次根式的判断
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式．
对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式．
综上，答案选C．
例题2．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解 ：A 、是最简二次根式；
B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式；
D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式．
故选A．
【针对训练】
1．下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，
对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式，
对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式，
对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【详解】解：对于选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
对于选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式．
∴选D．
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意；
∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意；
∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意；
∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意．
故选：C．
【题型5】已知最简二次根式求参数
例题1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由题意可得：，
例题2．若是最简二次根式，则的值可以是（ ）
A．6 B． C．2 D．0.5
【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意；
D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意．
【针对训练】
1．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________．
【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式；
当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式．
故最小的正整数为2．
故答案为：2．
2．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________．
【详解】解：由题意得，
解得，
故答案为：1．
3．若与最简二次根式能合并，则的值为________．
【详解】解：，
∴被开方数为2，
∵与最简二次根式能合并，
又∵是最简二次根式，
∴的被开方数与2相同，
即，解得，
故答案为：1．第02讲二次根式的乘法与除法
【题型1】二次根式的乘法
例题1．计算：______．
例题2．若为正整数，且满足，则_____．
【针对训练】
1．计算：______．
2． ______．
3．计算：________．
4．化简的结果为______．
【题型2】二次根式的除法
例题1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．化简的结果是__________．
【针对训练】
1．_____．
2．计算：
计算：
【题型3】二次根式的乘除混合运算
例题1.对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．
例题2．计算：
【针对训练】
1．计算：
(1) (2)（）
2．计算：
(1) (2)
3．计算：
(1)； (2)．
4．运算能力计算：
(1)； (2)．
【题型4】最简二次根式的判断
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【题型5】已知最简二次根式求参数
例题1．若，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．若是最简二次根式，则的值可以是（ ）
A．6 B． C．2 D．0.5
【针对训练】
1．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________．
2．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________．
3．若与最简二次根式能合并，则的值为________．

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