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第03讲二次根式的加法与减法
【题型1】同类二次根式
例题1．下列各组根式是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意；
B、，，故和是同类根式，该选项符合题意；
C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意；
D、和不是同类根式，该选项不符合题意；
例题2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式；
B．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式；
C．，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式；
D．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式．
【针对训练】
1．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A．2023 B． C．2024 D．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴它们的被开方数相等，即，
解得．
2．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____．
【详解】解：∵最简二次根式与 是同类二次根式，
∴，解得，
3．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______．
【详解】解：，
∵最简二次根式与可以合并，
即最简二次根式与是同类二次根式，
故，
解得．
故答案为：．
【题型2】二次根式的加减运算
例题1．计算：
(1) (2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
例题2．计算：
(1) (2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【针对训练】
1．计算：
(1)； (2)．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
2．计算(1)； (2)．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【题型3】二次根式的混合运算
例题1．计算：(1) (2)；(3)；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
例题2．计算：．
【详解】解：
．
【针对训练】
1．计算：．
【详解】解：
．
2．计算：．
【详解】解：原式
．
3．计算：
(1)(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
4．计算：
(1)；(2)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【题型4】分母有理化
例题1．先化简，再求值：．其中．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
例题2．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：．
(2)计算：________（为正整数）．
(3)计算：．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
．
【针对训练】
1．先化简，再求值：，其中．
【详解】解：
；
当时，．
2．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：_________，_________，_________；
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
【详解】（1）解：；
；
；
（2）解： ；
；
∴
；
（3）解：
．
3．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”，
，
；
（2）解：与是互为“相关代数式”，
，
整理得，，
是有理数，
，，
解得．
【题型5】已知字母的值，化简求值
例题1．已知，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【详解】解：∵，
∴．
例题2．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】解：设，，
则，，
∴，
∴，
∴．
【针对训练】
1．先化简，再求值：，其中 ．
【详解】解：原式
，
当a时，原式；
2．已知．求的值．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴
．
3．设．求和的值．
【详解】解：
4．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
【详解】（1）解：，
，
，
；
故答案为：；；；；
（2）解：，
，
；
（3）解：
．
5．（1）计算；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
【详解】解：（1）；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型6】已知条件式，化简求值
例题1．已知：，求代数式的值．
【详解】解：
，
，
，
原式．
例题2．已知，求式子的值．
【详解】解：由题意得，
，，
解得，，
原式
．
【针对训练】
1．已知，．
(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：，，
，
，
，
；
（3）解：，，
，，
，
由知：，
则，
原式；
【题型7】二次根式比大小
例题1．比较大小：______6．
【详解】解：∵，，且，
∴．
例题2．比较大小：（1）________ （2）________
【详解】解：（1）∵，，
且，
∴．
故答案为：>．
（2）设 ,
则．
∵, , 且, , ,
∴,
∴,
∴,
∴．
∴．
【针对训练】
1．比较下列两个数的大小：____________．
【详解】解：分别对两个数进行平方：
；
．
∵，且两个数都是正数，
∴．
2．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题：
(1)与___________互为有理化因式；
(2)比大小：___________（直接填或中的一种）；
(3)已知是正整数，，求．
【详解】（1）解：
与互为有理化因式；
故答案为：；
（2）解：∵，
，
又，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：，
，
∴，，
∵，
∴，
解得．
3．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
，
；
（3）解：
．
【题型8】二次根式的应用
例题1．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴两个小正方形的边长分别为和，
∴大正方形的边长是，
∴大正方形的面积是，
∴余下的面积是．
例题2．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______．
【详解】解：∵两个正方形的面积分别为3和9，
∴它们的边长分别为：和3，
由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【针对训练】
1．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，
∴，，，
∴3个空格中的实数之积为．
故答案为：18
2．阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
【详解】（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
∴，即，
故答案为：.
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：
∴，
∴，
∴．
3．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
【详解】（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
4．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积．
【详解】解：由题意知：，
则三角形的面积
．
【题型9】复合二次根式的化简
例题1．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
【类比归纳】
（1）填空： ， ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【针对训练】
1．先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下：
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：；
(3)计算：．
【详解】（1）解：小莉的化简结果正确，理由如下：
∵
（2）解：
（3）解：
．
2．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如：
任务：
(1)分母有理化：___________；
化简“理想二次根式”：___________．
(2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
．
．
．
3．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简．
例如：化简．
因为，
所以．
仿照上例化简：．
【详解】解：
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第03讲二次根式的加法与减法
【题型1】同类二次根式
例题1．下列各组根式是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
例题2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A．2023 B． C．2024 D．
2．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____．
3．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______．
【题型2】二次根式的加减运算
例题1．计算：
(1) (2)
例题2．计算：
(1) (2)
【针对训练】
1．计算：
(1)； (2)．
2．计算(1)； (2)．
【题型3】二次根式的混合运算
例题1．计算：(1) (2)；(3)；
例题2．计算：．
【针对训练】
1．计算：．
2．计算：．
3．计算：
(1)(2)
4．计算：
(1)；(2)．
【题型4】分母有理化
例题1．先化简，再求值：．其中．
例题2．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：．
(2)计算：________（为正整数）．
(3)计算：．
【针对训练】
1．先化简，再求值：，其中．
2．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：_________，_________，_________；
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
3．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
【题型5】已知字母的值，化简求值
例题1．已知，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
例题2．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【针对训练】
1．先化简，再求值：，其中 ．
2．已知．求的值．
3．设．求和的值．
4．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
5．（1）计算；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
【题型6】已知条件式，化简求值
例题1．已知：，求代数式的值．
例题2．已知，求式子的值．
【针对训练】
1．已知，．
(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．
【题型7】二次根式比大小
例题1．比较大小：______6．
例题2．比较大小：（1）________ （2）________
【针对训练】
1．比较下列两个数的大小：____________．
2．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题：
(1)与___________互为有理化因式；
(2)比大小：___________（直接填或中的一种）；
(3)已知是正整数，，求．
3．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
【题型8】二次根式的应用
例题1．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______．
【针对训练】
1．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______．
2．阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
3．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
4．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积．
【题型9】复合二次根式的化简
例题1．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
【类比归纳】
（1）填空： ， ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
【针对训练】
1．先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下：
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：；
(3)计算：．
2．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如：
任务：
(1)分母有理化：___________；
化简“理想二次根式”：___________．
(2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值．
3．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简．
例如：化简．
因为，
所以．
仿照上例化简：．
试卷第1页，共3页
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