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(共23张PPT)
第2章 一元二次方程
第2章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一　一元二次方程及其解
1. (2024·宁波海曙期中)若 +x-3=0是关于x的一元二次方程,则m的值是(　D　)
A. 2 B. -2
C. 0 D. 2或-2
2. (2024·杭州萧山期中)已知关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化成一般形式后不含x的一次项,则m的值为(　D　)
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
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3. (2024·杭州钱塘期中)把一元二次方程(x- )(x+ )+(x-2)2=2化成ax2+bx+c=0(a>0)的形式为 　2x2-4x-1=0　.
4. (2024 ·绍兴柯桥期中)如果关于x的一元二次方程(m-5)x2+4x+m2-25=0有一个根是0,那么m的值是 　-5　.
2x2-4x-1=0　
-5　
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考点二　一元二次方程的解法
5. (2025·杭州上城期末)用配方法解一元二次方程x2-4x-6=0时,配方后的方程是(　D　)
A. (x+2)2=2 B. (x-2)2=2
C. (x+2)2=10 D. (x-2)2=10
6. 利用公式法解得一元二次方程3x2-11x-1=0 的两根分别为a,b,且a>b,则a的值为(　D　)
A. B.
C. D.
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7. (新考法·新定义题)对于实数a,b,定义运算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:2※3=22-2×3=-2.如果(x-1)※(2x-1)=-6,那么x的值为 　3或-2　.
8. 小敏与小霞两名同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如图所示.她们的解法是否正确 若不正确,请写出正确的解答过程.
3或-2　
解:她们的解法都不正确　移项,得3(x-3)-(x-3)2=0.提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0.所以x-3=0或3-x+3=0,解得x1=3,x2=6
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9. 已知a是不等式5(m-2)+8<6(m-1)+7的最小整数解,请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0.
解:解不等式5(m-2)+8<6(m-1)+7,得m>-3.所以最小整数解为-2,即a=-2.将a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0,得x2-4x-1=0.配方,得(x-2)2=5.所以x-2=± ,解得x1=2+ ,x2=2-
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考点三　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
10. (2024·上海)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是(　D　)
A. x2-6x=0 B. x2-9=0
C. x2-6x+6=0 D. x2-6x+9=0
11. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和-3,则下列结论正确的是(　A　)
A. b=1,c=-6 B. b=-1,c=-6
C. b=5,c=-6 D. b=-1,c=6
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12. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则(　D　)
A. x1+x2<0 B. x1x2<0
C. x1x2>-1 D. x1x2<1
13. (2025·西藏)关于x的一元二次方程x2-x+2m=0有两个相等的实数根,则m= 　 　.
D
　
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(1) 若该方程有一个根是-2,求k的值;
解:(1) 当x=-2时,4-2(k-1)×(-2)+k2+3=0.整理,得k2+4k+3=0,解得k=-1或k=-3
(2) 若该方程有两个实数根,求k的取值范围;
解:(2) 根据题意,得[-2(k-1)]2-4×1×(k2+3)≥0,解得k≤-1
(3) 若该方程的两个实数根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=14,求k的值.
解:(3) 根据题意,得x1+x2=2k-2,x1x2=k2+3.因为(x1-1)(x2-1)=14,所以x1x2-(x1+x2)+1=14,即k2+3-(2k-2)+1=14.整理,得k2-2k-8=0,解得k1=-2,k2=4.由(2),知k≤-1,所以k=-2
14. (2024·杭州钱塘期末)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+3=0.
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考点四　一元二次方程的应用
15. (2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为(　B　)
A. 10% B. 20%
C. 22% D. 44%
16. (2024·宁波镇海期中)某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱的利润为12元,为增加利润,超市准备适当降价.据测算,每箱每降价1元,平均每天可多售出20箱.若要使每天销售这种饮料获利1440元,则每箱应降价 　3或4　元.
B
3或4　
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(1) 当长方形菜园ABCD的一边AD的长为多少米时,菜园的面积为300m2
解:(1) 设AB=xm,则AD=(60+2-2x)m.根据题意,得x(60+2-2x)=300.整理,得x2-31x+150=0,解得x1=25,x2=6.当x=25时,60+2-2x=60+2-2×25=12<28,符合题意;当x=6时,60+2-2x=60+2-2×6=50>28,不符合题意,舍去.答:当长方形菜园ABCD的一边AD的长为12m时,菜园的面积为300m2
第17题
(2) 能否围成500m2的长方形菜园 若能,求出AD的长;若不能,请说明理由.
解:(2) 不能围成500m2的长方形菜园　理由:假设能围成500m2的长方形菜园,设AB=y米,则AD=(60+2-2y)米.根据题意,得y(60+2-2y)=500.整理,得y2-31y+250=0,因为(-31)2-4×1×250=-39<0,所以原方程没有实数根.所以假设不成立,即不能围成500m2的长方形菜园.
17. (2025·温州期中)某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园ABCD(如图).要围建的菜园边上有一堵墙,长为28m,菜园的一边靠墙,另外三边用总长为60m的铝合金材料围建,与墙平行的一边上要预留2m宽的入口.
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18. (2025·杭州期末)已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为(　B　)
A. -2 B. 2
C. -4 D. 4
19. 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 1或2 D. 0
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20. (2025·杭州萧山段考)已知a,b是方程x2-3x+1=0的两个实数根,则代数式a2-2a+b的值为(　A　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
21. (2025·杭州余杭段考)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总个数是133,求每个支干长出多少个小分支.设每个支干长出x个小分支,则下列方程正确的是(　C　)
A. (1+x)2=133 B. 1+x2=133
C. 1+x+x2=133 D. 1+2x=133
A
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22. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为 　-3　.
23. (新考向·传统文化)(2025·嘉兴海宁期末)俗语有云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的,根据“两天不练丢一半”,设每天“遗忘”的百分比为x,根据题意可列方程为 　(1-x)2= 　.
-3　
(1-
x)2= 　
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24. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为边BC上的高,点E,F分别在边AC,BC上,动点P从点A出发,沿AD方向以 cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,长方形PDFE的面积为S2,运动时间为ts,则当t= 　6　时,S1=2S2.
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25. 用适当的方法解下列方程:
(1) (3y-1)(y+1)=4;
解:y1=1,y2=-
(2) x2-4x+4=(3-2x)2;
解:x1=1,x2=
(3) (3x-1)(x+2)=11x-4.
解:x1= ,x2=
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26. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1) 求实数k的取值范围.
解:(1) 因为原方程有两个实数根,所以[-(2k+1)]2-4×1×(k2+2k)≥0.所以4k2+4k+1-4k2-8k≥0.所以1-4k≥0.所以k≤
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(2) 是否存在实数k,使得x1x2- - ≥0成立 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:(2) 不存在　 理由:因为x1,x2是原方程的两个实数根,所以x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k.由x1x2- - ≥0,得3x1x2-(x1+x2)2≥0.所以3(k2+2k)-(2k+1)2≥0.整理,得-(k-1)2≥0.所以只有当k=1时,上式才能成立.由(1)知,k≤ ,所以不存在实数k,使得x1x2- - ≥0成立.
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27. 某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品,每人每天生产2件甲产品或1件乙产品(每人每天只能生产一种产品).甲产品每件可获利15元,乙产品每件可获利120元,而在实际生产中,生产乙产品需要额外支出一定的费用,每生产1件乙产品,当天平均每件乙产品的获利减少2元.设每天安排x名工人生产乙产品.
(1) 根据信息填表:
产品种类 每天安排的 工人人数 每天的 产量/件 每件产品可
获利润/元
甲 65-x 2(65-x) 15
乙 x x 120-2x
2(65-x)
120-2x
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(2) 若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元,则该企业每天生产甲、乙两种产品可获得的总利润是多少元
解:(2) 由题意,得15×2(65-x)-(120-2x)x=650.整理,得x2-75x+650=0,解得x1=10,x2=65(不合题意,舍去).所以15×2(65-x)+(120-2x)x=2650.所以该企业每天生产甲、乙两种产品可获得的总利润是2650元
(3) 根据市场需求,该企业在不增加工人的情况下,需要增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙产品,丙产品每件可获利30元.要使该企业每天生产三种产品也能获得与(2)中同样的总利润,则该企业应如何安排工人进行生产
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解:(3) 设该企业安排m名工人生产甲产品,则安排2m名工人生产丙产品,安排(65-3m)名工人生产乙产品.由题意,得15×2m+30×2m+[120-2(65-3m)](65-3m)=2650.整理,得3m2-85m+550=0,解得m1=10,m2= (不合题意,舍去).所以2m=20,65-3m=35.所以该企业应安排10名工人生产甲产品,35名工人生产乙产品,20名工人生产丙产品
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27(共15张PPT)
第2章 一元二次方程
2.4　一元二次方程的应用
第2课时　与几何图形相关的问题
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
利用一元二次方程解决几何问题的一般步骤：（1） 审清题意，依据几何图形的性质找到 　等量　关系；（2） 设合适的未知数，并根据 　等量关系　列出方程；（3） 正确地求解方程并检验解的合理性.
等量　
等量关系　
1. （2025·广元）如图，在长为12m、宽为10m的长方形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的 ，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm，则可列方程为（　D　）
A. （12－x）（10－x）＝12×10×
B. （12－2x）（10－x）＝12×10×
C. （12－x）（10－2x）＝12×10×
D. （12－2x）（10－2x）＝12×10×
D
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2. 一个无盖的收纳箱展开后的图形（实线部分）如图所示，给该图形补充四个边长为10cm的小正方形后，得到一个长方形.已知长方形的面积为2000cm2.根据图中的信息，可得x的值为（　B　）
A. 10 B. 20 C. 25 D. 30
B
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3. （教材变式）（2024·温州瓯海期末）如图，有一张长为30cm、宽为20cm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒，要使制成的纸盒的底面积是原来长方形纸板面积的 ，则x的值为 　5　.
5　
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4. （教材变式）（2025·绍兴新昌段考改编）如图，在△ABC中，AC＝50m，BC＝40m，∠C＝90°，点P从点A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线CB匀速运动.当△PCQ的面积为300m2时，运动时间为 　20s或5s　.
20s或5s　
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5. （易错题）（2025·威海）如图，某校有一个长20m、宽14m的长方形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的9个长方形地块，请你求出小路的宽度.
第5题
解：设小路的宽度为xm，则9个长方形地块可合成长为（20－4x）m、宽为（14－4x）m的长方形地块.根据题意，得（20－4x）（14－4x）＝24×9.整理，得2x2－17x＋8＝0，解得x1＝ ，x2＝8（不符合题意，舍去）.答：小路的宽度为 m
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6. （教材变式）（2025·绍兴嵊州期末）某校在一块长方形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知长方形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的总面积为760m2.设人行小道的宽度为xm，则可列方程为（　B　）
A. （41－2x）（20－x）＝760
B. （41－x）（20－x）＝760
C. （41－x）（20－2x）＝760
D. （41－2x）（20－2x）＝760
B
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7. 如图所示为一张长为12cm、宽为10cm的长方形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分（涂色部分）可制成底面积是2cm42的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 　2　cm，此铁盒的体积为 　48　cm3.
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8. （2024·丽水模拟）如图，在一个长为30米、宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路的宽度为x米.
第8题
（1） 花园内的小路面积为 　（54x－10x2）　平方米（用含x的代数式表示）；
（54x－10x2）　
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（2） 若草坪面积为667.2平方米，求x的值.
解：由题意，得（5x）2＋（54x－10x2）＋667.2＝30×24，解得x1＝－ （不合题意，舍去），x2＝ ，即x的值是
第8题
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9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿射线AC以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿边CB向点B以1cm/s的速度移动.点P，Q分别从点A，C同时出发，移动时间为ts，当点Q移动到点B时，两点都停止移动.
第9题
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（1） 当点P在线段AC上移动时，点P，C之间的距离为 　（6－2t）　cm（用含t的代数式表示）.
（2） （分类讨论思想）连结PQ. 在移动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（6－2t）　
第9题
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解：存在　在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝6cm.所以S△ABC＝ AC·BC＝ ×6×8＝24（cm2）.① 当0＜t＜3时，PC＝（6－2t）cm，QC＝tcm，所以S△PQC＝ QC·PC＝ t（6－2t）＝（3t－t2）cm2.令3t－t2＝ ×24，即t2－3t＋4＝0.因为（－3）2－4×1×4＝－7＜0，所以该一元二次方程没有实数根.所以当0＜t＜3时，不存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的 .② 当t＝3时，点P与点C重合，不符合题意，舍去.③ 当3＜t≤8时，PC＝（2t－6）cm，QC＝tcm，所以S△PQC＝ QC·PC＝ t（2t－6）＝（t2－3t）cm2.令t2－3t＝ ×24，即t2－3t－4＝0，解得t1＝4，t2＝－1（不合题意，舍去）.综上所述，存在t＝4时，使得△PQC的面积是△ABC面积的
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第2章 一元二次方程
小专题（三）　根的判别式的应用
类型一　不解方程，判断方程根的情况
1. （2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　D　）
A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0
C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝0
2. （2025·广东）不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是 　方程有两个不相等的实数根　.
D
方
程有两个不相等的实数根　
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（1） 求证：不论m为何值，方程总有两个实数根；
解：（1） 因为a＝1，b＝－（m＋1），c＝2m－2，所以b2－4ac＝[－（m＋1）]2－4×1×（2m－2）＝m2－6m＋9＝（m－3）2≥0.所以不论m为何值，方程总有两个实数根
（2） 若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根.
解：（2） 把x＝1代入方程，可得1－（m＋1）＋2m－2＝0，解得m＝2.当m＝2时，原方程为x2－3x＋2＝0，即（x－1）（x－2）＝0，解得x1＝1，x2＝2，即方程的另一个根为2
3. （2025·绍兴嵊州期中）已知关于x的一元二次方程x2－（m＋1）x＋2m－2＝0（m为常数）.
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类型二　求字母的值或取值范围
4. （2025·潍坊）若一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　D　）
A. －1 B. 0 C. D. 1
5. （2025·内江）若关于x的一元二次方程（a－1）x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　C　）
A. a≤2 B. a＜2
C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1
D
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6. （2025·绍兴段考）若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≥－1且k≠0　.
7. （2025·舟山期末）定义：对于任意实数a，b，c，d，有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，例如：[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13.已知关于x的方程[x，m]*[x＋5，5]＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＞－ 　.
8. （2025·宁波鄞州段考）若关于x的方程（x2－1）（kx2－6x－8）＝0有三个不同的实数根，则满足条件的k的值共有 　4　个.
k≥－1且k≠0　
m＞－ 　
4　
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（1） 求m的取值范围；
解：（1） 根据题意，得m≠0且b2－4ac＝[－（2m－3）]2－4m（m－1）≥0，解得m≤ 且m≠0
（2） 若m为正整数，求此方程的根.
解：（2） 因为m为正整数，所以m＝1.所以原方程为x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
9. 已知关于x的一元二次方程mx2－（2m－3）x＋（m－1）＝0有两个实数根.
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10. （2025·温州期末）已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
（1） 若方程的一个根为2，求 的值；
解：（1） 因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根为2，所以4a＋2b＋c＝0.所以2b＋c＝－4a.因为a≠0，所以 ＝－4
（2） 当b－ac＝1时，求证：方程有两个实数根.
解：（2） 因为b－ac＝1，所以ac＝b－1.所以b2－4ac＝b2－4（b－1）＝b2－4b＋4＝（b－2）2≥0.所以方程有两个实数根
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11. （2024·宁波江北一模）已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0.
（1） （易错题）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程；
解：（1） 因为关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0有实数根，所以（－3）2－4×1×a≥0，解得a≤2 .所以当a＝2或1时，这个方程有实数根.选择不唯一，如当a＝2时，原方程为x2－3x＋2＝0，即（x－2）（x－1）＝0，解得x1＝2，x2＝1
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（2） 若这个方程没有实数根，求a的取值范围.
解：（2） 若关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0没有实数根，则（－3）2－4a＜0，解得a＞2
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类型三　根的判别式与几何问题结合
12. 若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－10x＋k＝0的两个根，则k的值为 　25　.
25　
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解：当BC是等腰三角形ABC的腰时，将x＝6代入x2－10x＋m＝0，得36－60＋m＝0，解得m＝24，此时一元二次方程为x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6，此时易得等腰三角形底边上的高为 ＝4 ，则三角形的面积为 ×4×4 ＝8 .当BC是等腰三角形ABC的底时，（－10）2－4m＝0，解得m＝25，此时一元二次方程为x2－10x＋25＝0，解得x1＝x2＝5，此时易得等腰三角形底边上的高为 ＝4，则三角形的面积为 ×6×4＝12.综上所述，当m＝24时，三角形的面积为8 ；当m＝25时，三角形的面积为12
13. 在等腰三角形ABC中，BC＝6，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两个根，求出m的值和三角形的面积.
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14. 已知关于x的方程b（x2－1）＋2ax＋c（x2＋1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
（1） 若x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状；
解：（1） 因为x＝－1是方程b（x2－1）＋2ax＋c（x2＋1）＝0的根，所以－2a＋2c＝0.所以a＝c.所以△ABC为等腰三角形
（2） 若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
解：（2） 因为b（x2－1）＋2ax＋c（x2＋1）＝0，所以（b＋c）x2＋2ax＋（c－b）＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以4a2＋4（b＋c）（b－c）＝0.所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形
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15. 已知x1，x2是关于x的方程x2－2（m＋1）x＋m2＋2＝0的两个不相等的实数根.
（1） 求实数m的取值范围.
解：（1） 由题意，得4（m＋1）2－4（m2＋2）＞0，解得m＞
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（2） 已知等腰三角形ABC的一边长为3.若x1，x2恰好是△ABC的另外两边的长，求这个三角形另外两边的长.
解：（2） 由题意，可知x1≠x2，所以只能取x1＝3或x2＝3，即3是方程的一个根.将x＝3代入原方程，得9－6（m＋1）＋m2＋2＝0，解得m＝1或5.当m＝1时，方程的另一个根为1，此时三角形的三边长分别为1，3，3，能构成一个等腰三角形；当m＝5时，方程的另一个根为9，此时三角形的三边长分别为9，3，3，不能构成一个三角形.综上所述，这个三角形另外两边的长分别为1，3
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第2章 一元二次方程
2.3　一元二次方程根与系数的关系
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
如果x1，x2 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，那么x1＋x2＝ 　－ 　，x1·x2＝ 　 　.
－ 　
　
1. （2025·广西）已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2的值为（　C　）
A. －25 B. －20 C. 20 D. 25
2. （2024·丽水期末）已知关于x的一元二次方程2x2－mx－m＝0的一个根是－ ，则方程的另一个根是（　C　）
A. B. － C. 1 D. －1
C
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3. 已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是（　A　）
A. x2－7x＋12＝0 B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0 D. x2－7x－12＝0
4. （2025·乐山）若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则 x2＋x1 的值为（　C　）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
5. （2025·苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ 　－3　.
6. 设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝ 　2　.
A
C
－3　
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7. 设x1，x2是关于x的方程x2＋mx＋5＝0的两个根，且2x1＋2x2－x1x2＝1，则m＝ 　－3　.
8. 已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两个根，则a2＋4a＋b－3＝ 　－2　.
－3　
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（1） ＋ －x1x2；
解：原方程可化为2x2－3x－3＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . ＋ －x1x2＝（x1＋x2）2－3x1x2＝ －3× ＝
（2） ＋ .
解：原方程可化为2x2－3x－3＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－
9. （教材变式）已知x1，x2是方程2x2－3＝3x的两个根，利用根与系数的关系求下面各式的值：
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10. 已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根.
（1） 求实数k的取值范围；
解：（1） 因为关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，所以32－4×1×（k－2）≥0，解得k≤ ，即实数k的取值范围是k≤
（2） 设该方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1＋1）（x2＋1）＝－1，求k的值.
解：（2） 因为方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1，x2，所以x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2.因为（x1＋1）（x2＋1）＝－1，所以x1x2＋（x1＋x2）＋1＝－1.所以k－2＋（－3）＋1＝－1，解得k＝3，即k的值是3
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11. （2025·河北）若一元二次方程x（x＋2）－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在直角坐标系中位于（　C　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
12. 若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2＝2，则（ ＋2）（ ＋2）的值是（　B　）
A. 8 B. 32
C. 8或32 D. 16或40
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13. 若关于x的一元二次方程2x2＋x－2m＋1＝0有一正一负两个实数根，则m的取值范围是 　m＞ 　.
14. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求（x1＋x2）2÷（ ＋ ）的值.
解：由题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝1.所以（x1＋x2）2÷ ＝（x1＋x2）2· ＝（x1＋x2）·x1x2＝4×1＝4
m＞ 　
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15. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝p（p＋1）.
（1） 求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；
解：（1） 原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.因为（－5）2－4×1×（6－p2－p）＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝（2p＋1）2≥0，所以无论p取何值，此方程总有两个实数根
（2） 若该方程的两个根x1，x2满足 ＋ －x1x2＝3p2＋1，求p的值.
解：（2） 因为该方程的两个根分别为x1，x2，所以x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.又因为 ＋ －x1x2＝3p2＋1，所以（x1＋x2）2－3x1x2＝3p2＋1.所以52－3（6－p2－p）＝3p2＋1.所以25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1.所以3p＝－6.所以p＝－2
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16. 在关于x的分式方程 ＝2①和一元二次方程（2－k）x2＋3mx＋（3－k）n＝0②中，k，m，n均为实数，方程①的根为非负数.
（1） 求k的取值范围；
解：（1） 因为关于x的分式方程 ＝2的根为非负数，所以x≥0且x≠1.解这个分式方程，得x＝ .所以 ≥0且 ≠1，解得k≥－1且k≠1.又因为（2－k）x2＋3mx＋（3－k）n＝0为一元二次方程，所以2－k≠0.所以k≠2.综上所述，k的取值范围是k≥－1且k≠1且k≠2
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（2） 若方程②有两个实数根x1，x2，且满足x1（x1－k）＋x2（x2－k）＝（x1－k）（x2－k），则当k为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由.
解：（2） 成立　理由：由（1），知k≥－1且k≠1且k≠2.因为k为负整数，所以k＝－1.所以原一元二次方程为3x2＋3mx＋4n＝0.所以x1＋x2＝－m，x1x2＝ n.因为x1（x1－k）＋x2（x2－k）＝（x1－k）（x2－k），即x1（x1＋1）＋x2（x2＋1）＝（x1＋1）（x2＋1），所以 ＋ ＋（x1＋x2）＝x1x2＋（x1＋x2）＋1，即 ＋ －x1x2＝1.所以（x1＋x2）2－3x1x2＝1.所以（－m）2－3× n＝1，即m2－4n＝1.所以n＝ ③.又因为（3m）2－4×3×4n＝9m2－48n≥0④，所以把③代入④，得9m2－48× ≥0.整理，得m2≤4.
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第2章 一元二次方程
2.2　一元二次方程的解法
第1课时　用因式分解法解一元二次方程
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 若A×B=0,则 　A=0　或 　B=0　.
2. 利用 　因式分解　解一元二次方程的方法叫作
因式分解法.通过因式分解,把解一个一元二次方程转化为解两个 　一元一次　方程.
A=0　
B=0　
因式分解　
一元一次　
1. 我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的根为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是(　A　)
A. 转化思想 B. 整体思想
C. 数形结合思想 D. 归纳思想
2. (2025·温州鹿城期中)一元二次方程2x2=8x的解为(　C　)
A. x1=x2=4 B. x1=x2=0
C. x1=4,x2=0 D. x1=-4,x2=0
A
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3. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是(　A　)
A. (3x-3)(3x-4)=0,则3x-3=0或3x-4=0
B. (x+3)(x-1)=1,则x+3=1或x-1=1
C. (x-2)(x-3)=6,则x-2=2或x-3=3
D. x(x+2)=0,则x+2=0
4. (2025·韶关模拟)一元二次方程(x+1)2=2(x+1)的解为(　D　)
A. x=2 B. x=-1
C. x1=2,x2=-1 D. x1=1,x2=-1
5. 方程 x2=2x的根是 　x1=0,x2= 　.
A
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x1=0,x2= 　
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6. (2025·金华婺城段考)一元二次方程(x-1)=2x(x-1)的解是 　x1=1,x2= 　.
7. (新考法·新定义题)在实数范围内定义一种新运算“*”,其运算法则为a*b=a2-b,例如:2*3=22-3=1,则方程(x-1)*9=0的根为 　x1=-2,x2=4　.
x1=1,x2= 　
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(1) x2-5x=0;
解:x1=0,x2=10
(2) (2x+1)2-9=0;
解:x1=-2,x2=1
(3) (x-2)2=(2x+1)2;
解:x1= ,x2=-3
(4) 2(x-2)2=x2-4;
解:x1=2,x2=6
(5) (x-3)(x-1)=3.
解:x1=0,x2=4
8. (教材变式)用因式分解法解方程:
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9. (分类讨论思想)若方程x(x-3)-4(x-3)=0的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长,则这个等腰三角形的周长为(　D　)
A. 9或12 B. 9或10
C. 10或12 D. 10或11
10. 已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的一个非零根为x=-b,则a-b的值为(　A　)
A. 1 B. -1 C. 0 D. -2
D
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11. (易错题)(2025·丽水龙泉期中)若Rt△ABC的两边长是方程x2-10x+24=0的两个根,则Rt△ABC的斜边长为(　C　)
A. 6 B. 2 或2
C. 6或2 D. 6或2
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12. 若(a2+b2-2)2=25,则a2+b2= 　7　.
13. (新考法·阅读理解)阅读下面的解答过程:
已知m是关于x的方程mx2-2x+m=0的一个根,求m的值.
解:把x=m代入原方程,得m3-2m+m=0.化简,得m3=m.方程的两边同除以m,得m2=1.所以m=1.把m=1代入原方程检验,得x=1,符合题意.所以m的值是1.
判断上述解答过程是否有错.若有错,请写出正确的解答过程.
解:有错　把x=m代入原方程并化简,得m3-m=0.所以m(m+1)(m-1)=0.所以m=0或m+1=0或m-1=0.所以m1=0,m2=-1,m3=1.将m的三个值代入原方程检验,均符合题意,所以m的值是0或-1或1
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14. 已知△ABC的两边AB,AC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个实数根,且BC=5,试判断△ABC的形状(按边分).
解:因为x2-11x+30=x2+(-5-6)x+(-5)×(-6)=0,所以(x-5)(x-6)=0,解得x1=5,x2=6.因为BC=5,所以△ABC的三边长分别为5,5,6.所以△ABC是等腰三角形
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15. 由多项式的乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右向左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).例如:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)·(x+3).
(1) 分解因式:x2+6x+8=(x+ 　2　)·(x+ 　4　).
(2) 请用上述方法解方程:
① x2-3x-4=0;
解:因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x+1)(x-4)=0,所以x1=-1,x2=4
② x2+2x-15=0.
解:因为x2+2x-15=x2+(-3+5)x+(-3)×5=(x-3)(x+5)=0,所以x1=3,x2=-5
2　
4　
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第2章 一元二次方程
阶段训练(2.1~2.2)
一、 选择题
1. (2025·杭州上城段考)下列方程中,一定是一元二次方程的为(　C　)
A. x2+y=1 B. x2- =1
C. x2-2=0 D. x2+x=x2+1
2. 把一元二次方程y2+2(y-1)=3y化成一般形式,正确的是(　A　)
A. y2-y-2=0 B. y2+5y-2=0
C. y2-y-1=0 D. y2-2y-1=0
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3. 方程2x(x-2)+3(2-x)=0的根是(　C　)
A. x1=x2=- B. x1=x2=-2
C. x1=2,x2= D. x1=-2,x2=-
4. (2025·金华义乌期中)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+a2-1=0的常数项为0,则a的值为(　C　)
A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0
5. 若x=-2是关于x的一元二次方程x2- ax+a2=0的一个根,则a的值为(　B　)
A. 1或4 B. -1或-4
C. -1或4 D. 1或-4
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6. (2024·嘉兴期末)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下面两个结论:① 若a-b+c=0,则此方程一定有实数根;② 若a,c异号,则此方程一定有实数根.下列判断正确的是(　C　)
A. ①正确,②错误 B. ①错误,②正确
C. ①②都正确 D. ①②都错误
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二、 填空题
7. 如图,利用一面墙(墙足够长),用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的长方形场地,则平行于墙的一边应设计为多长 设平行于墙的一边的长为xm,根据题意列方程,并化成一般形式为 　x2-20x+100=0　.
第7题
8. (整体思想)(2025·丽水莲都期末)若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2,则代数式6a-3b+2的值为 　-7　.
9. 若方程x2+kx+81=0的左边是一个完全平方式,则k= 　±18　.
x2-20x+100=0　
-7　
±18　
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10. 已知(x2+4x-5)0=x2-5x+5,则x= 　4　.
11. 若方程x2-14x+48=0的两根分别是直角三角形两直角边的长,则该直角三角形的斜边长为 　10　,斜边上的高为 　4.8　.
12. (2025·金华义乌段考)已知关于x的一元二次方程(m2-4)x2+2(m-2)x+1=0有实数根,则当m取最大整数值时,代数式3x2+2x+3的值为 　4　.
4　
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4.8　
4　
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三、 解答题
13. 用适当的方法解下列方程:
(1) x2-2x- =0;
解:x1= ,x2=
(2) (x-1)(x+3)=12;
解:x1=-5,x2=3
(3) 4(x+3)2=25(x-2)2.
解:x1= ,x2=
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14. (2025·杭州西湖段考)已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2+2k=0.
(1) 求证:不论k取何实数,方程总有两个不相等的实数根;
解:(1) 因为[-2(k+1)]2-4(k2+2k)=4k2+8k+4-4k2-8k=4>0,所以不论k取何实数,方程总有两个不相等的实数根
(2) 若等腰三角形ABC的周长为14,其中两边长恰好是这个方程的两个根,求k的值.
解:(2) 因为x2-2(k+1)x+k2+2k=(x-k)(x-k-2)=0,所以x1=k,x2=k+2.分两种情况讨论:① k+k+k+2=14,解得k=4,此时三边长分别为4,4,6,符合题意;② k+k+2+k+2=14,解得k= ,此时三边长分别为 , , ,符合题意.综上所述,k=4或
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15. 根据如图所示的程序计算.
(1) 选取一个你喜欢的x的值,输入计算,求输出的y的值.
解:(1) 答案不唯一,如选取x=3.因为2x2-4=2×32-4=14>0,所以输出的y的值为14
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(2) 是否存在这样的x的值,使输入计算后始终在程序中循环计算而输不出y的值 若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
解:(2) 存在　当y=x,且y<0时,输入x的值计算后始终输不出y的值,此时y=x=2x2-4,所以2x2-x-4=0,解得x= = .因为 >0, <0,所以当x= 时,输入计算后始终在程序中循环计算而输不出y的值
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16. 如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的三边长,易知AE= c.这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解答下面的问题:
(1) 求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b=0必有实数根;
解:(1) 由题意知,a2+b2=c2,所以(c)2-4ab=2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0.所以关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b=0必有实数根
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(2) 若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是12,求△ABC的面积.
解:(2) 当x=-1时,有a- c+b=0,即a+b= c.因为四边形ACDE的周长是12,所以2a+2b+ c=12.所以2 c+ c=12.所以c=2 .所以a2+b2=c2=8,a+b= c=4.因为(a+b)2=a2+2ab+b2,即16=8+2ab,所以ab=4.所以S△ABC= ab=2
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第2章 一元二次方程
2.2　一元二次方程的解法
第4课时　用公式法解一元二次方程
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的两个根为x＝ 　 　.这个公式叫作一元二次方程的求根公式.利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫作 　公式　法.
2. （1） b2－4ac＞0 方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个 　不相等　的实数根；
（2） b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个 　相等　的实数根；
（3） b2－4ac＜0 方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 　没有　实数根.
　
公式　
不相等　
相等　
没有　
1. 用公式法解方程x（2－7x）＝5，首先确定a，b，c的值分别为（　C　）
A. －7，2，5 B. 7，2，－5
C. 7，－2，5 D. 7，－2，－5
C
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2. （2024 ·湖州期末）在用求根公式x＝ 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c的值，得到x＝ ，则她求解的一元二次方程是（　A　）
A. 2x2－3x－1＝0 B. 2x2＋4x－1＝0
C. －x2－3x＋2＝0 D. 3x2－2x＋1＝0
A
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3. （2024 ·杭州拱墅期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　C　）
A. x2－2x＋3＝0 B. x2＋6x＋9＝0
C. 4x2＝3x＋2 D. 3x2－x＋2＝0
4. （2024·兰州）若关于x的一元二次方程9x2－6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　D　）
A. －9 B. 4 C. －1 D. 1
5. 方程2x2＋x＝2的解是 　x1＝ ，x2＝ 　.
C
D
x1＝ ，x2＝ 　
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6. （2024·新疆）若关于x的一元二次方程x2＋3x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜ 　.
7. （教材变式）用公式法解方程：
（1） （2025·宁波慈溪期中）x2＋x＝4x；
解：x1＝0，x2＝3
（2） x（2x－3）＝5－7x.
解：x1＝ ，x2＝
k＜ 　
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8. （2024·杭州萧山二模）已知关于x的方程x2－2（3－m）x＋5－2m＝0.
（1） 若方程的一个根是3，求实数m的值；
解：（1） 当x＝3时，9－6（3－m）＋5－2m＝0，解得m＝1，所以m的值为1
（2） 求证：无论m取何值，方程总有实数根.
解：（2） 因为[－2（3－m）]2－4×1×（5－2m）＝4（m－2）2≥0，所以无论m取何值，方程总有实数根
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9. 若关于x的方程x2＋bx＋c＝0的较小的根为m（m≠0），则b＋ 的值为（　D　）
A. m B. －m
C. 2m D. －2m
10. （2024·杭州期中）已知关于x的一元二次方程kx2－（4k－1）x＋4k－3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　D　）
A. k＜ B. k＜ 且k≠0
C. k＞－ D. k＞－ 且k≠0
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11. 若a2＋5ab－b2＝0（b≠0），则 的值为 　 　.
12. （教材变式）用适当的方法解下列方程：
（1） （x－2）（x＋5）＝18；
解：x1＝－7，x2＝4
（2） x（3x－6）＝（x－2）2；
解：x1＝2，x2＝－1
（3） 3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）.
解：x1＝ ，x2＝
　
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13. （2025·嘉兴秀洲段考）嘉嘉解一元二次方程x2－3x＝1的过程如下.
解：整理，得x2－3x－1＝0，…①
所以a＝1，b＝3，c＝1.…②
所以b2－4ac＝5＞0.…③
所以方程有两个不相等的实数根.
所以x＝ .…④
所以x1＝ ，x2＝ .…⑤
（1） 嘉嘉解方程的方法是 　公式法　，
他的求解过程从第 　②　步开始出现错误（填序号）；
公式法　
②　
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（2） 请你写出这个方程正确的解题步骤.
解：整理，得x2－3x－1＝0，所以a＝1，b＝－3，c＝－1.所以b2－4ac＝13＞0.所以x＝ ＝ .所以x1＝ ，x2＝
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14. 已知关于x的一元二次方程x2－（m＋3）·x＋4m－4＝0.
（1） 求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
解：（1） 因为b2－4ac＝[－（m＋3）]2－4×1×（4m－4）＝m2－10m＋25＝（m－5）2≥0，所以无论m取何值，这个方程总有实数根
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（2） （分类讨论思想）若等腰三角形ABC的一边长l＝5，另两边长p，q恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
解：（2） 因为△ABC为等腰三角形，所以p＝q或p＝5或q＝5.① 当p＝q时，b2－4ac＝（m－5）2＝0，所以m＝5.所以原方程为x2－8x＋16＝0，解得x1＝x2＝4.因为边长为4，4，5能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋5＝13.② 当p＝5或q＝5时，将x＝5代入原方程，得25－5m－15＋4m－4＝0，解得m＝6.所以原方程为x2－9x＋20＝0，解得x3＝4，x4＝5.因为边长为4，5，5能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋5＋5＝14.综上所述，△ABC的周长是13或14
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第2章 一元二次方程
小专题（五）　一元二次方程与几何图形
类型一　利用一元二次方程求线段的长或几何图形的面积
1. 如图，要设计一幅长为30cm、宽为20cm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶1.如果要使彩条所占面积是图案面积的 ，那么竖彩条的宽度为（　A　）
A. 1cm B. 1.5cm
C. 2cm D. 2.5cm
A
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2. 如图，学校将一块面积为11m02的长方形空地一边增加4m，另一边增加5m后，建成了一个正方形训练场，则此正方形训练场的面积为 　225　m2.
225　
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3. 如图，线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB，取边AB上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM，过点E作EF⊥CD，垂足为F. 若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为 　 －1　.
－1　
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4. 如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD剪去四个全等的直角三角形（图中涂色部分），再沿图中的虚线折起，可以得到一个长方体盒子（点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且AE＝BF）.若得到的长方体盒子的表面积为11cm2，求AE的长.
第4题
解：设AE＝BF＝xcm，长方体盒子的高为hcm，则EF＝（6－2x）cm，且0＜x＜3.由题意，得h2＋h2＝（6－2x）2，所以h＝3 － x.因为长方体盒子的表面积为11cm2，所以6×6－4× ×（3 － x）2＝11.整理，得4x2－24x＋11＝0，解得x1＝0.5，x2＝5.5（不合题意，舍去）.所以AE的长为0.5cm
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5. （2025·宁波镇海期末）如图，学校为美化环境，准备用总长为29m的篱笆设计一块长方形花圃ABCD，其中一边靠墙，墙长19m，另外三边用篱笆围起，并在边BC上留一个1m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.
（1） 若花圃的面积为100m2，求花圃的一边AB的长.
解：（1） 设AB＝xm，则BC＝（29＋1－2x）m.根据题意，得x（29＋1－2x）＝100.整理，得x2－15x＋50＝0，解得x1＝5，x2＝10.当x＝5时，29＋1－2x＝29＋1－2×5＝20＞19，不符合题意，舍去；当x＝10时，29＋1－2x＝29＋1－2×10＝10＜19，符合题意.答：花圃的一边AB的长为10m
第5题
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（2） 花圃的面积能达到120m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
解：（2） 花圃的面积不能达到120m2　理由：假设花圃的面积能达到120m2.设AB＝ym，则BC＝（29＋1－2y）m.根据题意，得y（29＋1－2y）＝120.整理，得y2－15y＋60＝0.因为（－15）2－4×1×60＝－15＜0，所以原方程没有实数根.所以假设不成立，即花圃的面积不能达到120m2.
第5题
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类型二　利用一元二次方程解决与动点相关的几何图形的面积问题
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点E，F分别在边AC，BC上，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B运动，运动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D运动 　1或5　s时，四边形DFCE的面积为20cm2.
第6题
1或5　
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的速度运动，点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，连结PQ，PC. 设点P的运动时间为ts.当t为何值时，S△PCQ＝S△ABC？
第7题
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解：由题意，得S△ABC＝ AB·BC＝50cm2，所以S△PCQ＝50cm2.当0＜t＜10时，点P在线段AB上，此时AP＝CQ＝tcm，PB＝AB－AP＝（10－t）cm.因为S△PCQ＝ CQ·PB，所以 t（10－t）＝50.整理，得t2－10t＋100＝0.因为（－10）2－4×1×100＝－300＜0，所以此方程没有实数根.此种情况不符合题意.当t＞10时，点P在线段AB的延长线上，此时AP＝CQ＝tcm，PB＝AP－AB＝（t－10）cm.因为S△PCQ＝ CQ·PB，所以 t（t－10）＝50.整理，得t2－10t－100＝0，解得t1＝5＋5 ，t2＝5－5 （不合题意，舍去）.所以当t＝5＋5 时，S△PCQ＝S△ABC
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8. （2025·杭州拱墅段考）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动.设移动时间为ts（t＞0）.
（1） 当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
解：（1） 由题意，得AP＝2tcm，BQ＝4tcm，则PB＝AB－AP＝（10－2t）cm.在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PB2＋BQ2＝PQ2，即（10－2t）2＋（4t）2＝102.整理，得t2－2t＝0，解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）.所以当t＝2时，PQ的长度等于10cm
第8题
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（2） 是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2　由题意，得S长方形ABCD＝10×12＝120（cm2），S△PBQ＝ PB·BQ＝ ×（10－2t）×4t＝（－4t2＋20t）cm2，所以S五边形APQCD＝S长方形ABCD－S△PBQ＝120－（－4t2＋20t）＝104（cm2）.整理，得t2－5t＋4＝0，解得t1＝4，t2＝1.当t＝4时，BQ＝16cm＞12cm，不合题意，舍去；当t＝1时，BQ＝4cm＜12cm，符合题意.所以存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，此时t的值为1
第8题
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第2章 一元二次方程
小专题(二)　一元二次方程的解法
类型一　缺“一”选“开”
1. 下列方程可用开平方法求解的是(　A　)
A. 9x2=25 B. 4x2-4x-3=0
C. x2-3x=0 D. x2-2x-1=9
A
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2. 解方程:
(1) x2-5= ;
解:x1= ,x2=-
(2) 4(x-1)2-12=0;
解:x1=1+ ,x2=1-
(3) 2(2x-3)2=72;
解:x1= ,x2=-
(4) -6=0.
解:x1=1,x2=7
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类型二　遇“大”选“配”
3. (2025·宁波江北期末)用配方法解方程x2+4x-10=0时,下列配方结果正确的是(　D　)
A. (x-2)2=12 B. (x+2)2=12
C. (x-2)2=14 D. (x+2)2=14
4. 解方程:
(1) x2-24x=9856;
解:x1=112,x2=-88
(2) x2-6x-8091=0.
解:x1=93,x2=-87
D
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类型三　遇“小”选“公”
5. 解方程:
(1) 2x2-2x-1=0;
解:x1= ,x2=
(2) x2-2 x+1=0.
解:x1= + ,x2= -
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类型四　缺“项”选“因”
6. 解方程:
(1) - x2+6x=0;
解:x1=0,x2=18
(2) (2025·金华义乌段考)(x+3)2=x+3;
解:x1=-3,x2=-2
(3) (2025·杭州滨江期末)(x-2)2=2x(x-2);
解:x1=2,x2=-2
(4) 2(4-x)2=x2-16.
解:x1=4,x2=12
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类型五　先整理,再选法
7. 解方程:
(1) 2x(x+ )+1=0;
解:x1=x2=-
(2) 3x2-(x+2)2+2x=0;
解:x1=2,x2=-1
(3) + = .
解:x1= ,x2=
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类型六　用换元法解方程
8. (2025·金华义乌段考)已知(a2+b2)(a2+b2-1)=6,则a2+b2的值为 　3　.
9. 阅读下面的材料:
为解方程x4-x2-6=0,可将方程变形为(x2)2-x2-6=0,然后设x2=y,则(x2)2=y2.原方程化为y2-y-6=0,解得y=-2或y=3.当y=-2时,x2=-2,方程无实数根,舍去;当y=3时,x2=3,解得x=± .所以原方程的解为x1= ,x2=- .
利用以上学习到的方法解下面的方程:
(1) x4-x2-12=0;
解:(1) 设x2=y(y≥0),则原方程化为y2-y-12=0,解得y=4或y=-3(不合题意,舍去).所以x2=4,解得x=-2或x=2.所以原方程的解为x1=-2,x2=2
3　
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(2) (x2+6x+1)(x2+6x+7)=7.
解:(2) 设x2+6x+1=a,则原方程化为a(a+6)=7,整理,得a2+6a-7=0,解得a=1或a=-7.当a=1时,x2+6x+1=1,解得x=0或x=-6;当a=-7时,x2+6x+1=-7,解得x=-2或x=-4.所以原方程的解为x1=0,x2=-6,x3=-2,x4=-4
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第2章 一元二次方程
2.2　一元二次方程的解法
第3课时　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. (2025·宁波鄞州期中)用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是(　C　)
A. = B. =
C. = D. =
C
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2. 用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化成(x+a)2=b的形式,则a+b的值为(　B　)
A. B.
C. 2 D.
B
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3. 在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,如图①所示为嘉嘉的配方过程,如图②所示为琪琪的配方过程.对于两人的做法,下列判断正确的是(　A　)
A. 两人都正确
B. 嘉嘉正确,琪琪不正确
C. 嘉嘉不正确,琪琪正确
D. 两人都不正确
A
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4. 填空:
(1) 3x2+12x+ 　12　=3(x+ 　2　)2;
(2) x2-5x+ 　 　= (x- 　5　)2.
5. 把一元二次方程2x2-8x-n=0通过配方化为(x+m)2= 的形式,则m= 　-2　,n= 　7　.
6. 对于任意实数a,b,定义:a*b=2a(a+b)+b,例如:3*2=2×3×(3+2)+2=32.已知a*4=46,则实数a的值是 　3或-7　.
12　
2　
　
5　
-2　
7　
3或-7　
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(1) (2025·杭州萧山期中)2x2-8x-1=0;
解:x1=2+ ,x2=2-
(2) 3x2-2=4x;
解:x1= ,x2=
(3) -6x2-3x+1=0;
解:x1= ,x2=
(4) 3(x-1)(x+2)=x+4.
解:x1= ,x2=
7. (教材变式)用配方法解方程:
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8. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2-11x+15=0的两个根,则这个直角三角形的面积是(　B　)
A. B.
C. D.
9. (易错题)(教材变式)若关于x的方程16x2-(m-2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则m的值为(　B　)
A. -6 B. -6或10
C. -6或-10 D. 6或-10
B
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10. 若x=0是关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+2m2+2m-8=0的一个根,则m= 　 　.
11. 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2+1=0.
　
(1) (易错题)若方程的一个根是x=1,求a的值;
解:(1) 将x=1代入原方程,得(a-1)-2+a2+1=0.整理,得a2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2.又因为a-1≠0,所以a≠1.所以a=-2
(2) 当a=-2时,用配方法解方程.
解:(2) 将a=-2代入原方程,得-3x2-2x+5=0.所以x2+ x= .所以 = ,解得x1=1,x2=-
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12. 用配方法解一元二次方程除了用课本上的配方方式,还可以用下面的配方方式:
将ax2+bx+c=0(a≠0)两边同乘4a并移项,得4a2x2+4abx=-4ac,两边再同加上b2,得4a2x2+4abx+b2=b2-4ac,即(2ax+b)2=b2-4ac.
请用这样的方法解方程:3x2+5x+1=0.
解:将方程3x2+5x+1=0两边同乘12并移项,得36x2+60x=-12,两边同加上25,得36x2+60x+25=-12+25,即(6x+5)2=13,所以6x+5=± .所以x1= ,x2=
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13. (整体思想)为解方程x4-5x2+4=0,我们可以将x2视为一个整体,然后设x2=y,则x4=y2.
原方程可化为y2-5y+4=0①,
解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2=1.所以x=±1.
当y=4时,x2=4.所以x=±2.
所以原方程的根为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.
(1) 在由原方程得到方程①的过程中,利用 　换元　法达到了降次的目的,体现了 　转化　的数学思想;
换元　
转化　
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(2) 解方程:2(x2-4x)2-6x2+24x+4=0.
解:2(x2-4x)2-6x2+24x+4=0可变形为2(x2-4x)2-6(x2-4x)+4=0.设x2-4x=t,则原方程可化为2t2-6t+4=0,即t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.当t=1时,x2-4x=1,解得x=2+ 或x=2- ;当t=2时,x2-4x=2,解得x=2+ 或x=2- .所以原方程的根为x1=2+ ,x2=2- ,x3=2+ ,x4=2-
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第2章 一元二次方程
2.1　一元二次方程和它的解
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03
思维拓展
目
录
1. 方程的两边都是 　整式　，只含有 　一　个未知数，并且未知数的最高次数是 　2　次.我们把这样的方程叫作一元二次方程.
2. 能使一元二次方程两边 　相等　的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根）.
3. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 　ax2＋bx＋c＝0　的形式.我们把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为已知数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为 　二次项　、 　一次项　和 　常数项　，a，b分别称为 　二次项系数　和 　一次项系数　.
整式　
一　
2　
相等　
ax2＋bx＋c＝0　
二次项　
一次项　
常数项　
二次项系数　
一次项系数　
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　A　）
A. 10x2＝9 B. 2（x－1）＝3x
C. x2＋3x＝ D. x3－2＝6
2. （2024 ·金华婺城期中）把一元二次方程x（x＋1）＝3x＋2化为一般形式为（　A　）
A. x2－2x－2＝0 B. x2－2x＋2＝0
C. x2－3x－1＝0 D. x2＋4x＋3＝0
A
A
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3. （2024 ·杭州西湖段考）某校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛1场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排3天，每天安排12场比赛.设该校应邀请x个队参赛，则x满足的方程为（　B　）
A. x（x＋1）＝3×12
B. x（x－1）＝3×12
C. x（x＋1）＝3×12
D. x（x－1）＝3×12
B
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4. （2025·青海）若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值为 　3　.
5. 已知关于x的方程（m－1）x2－mx＋5＝0，当m≠ 　1　时，该方程是一元二次方程，此时方程的二次项系数为 　m－1　，一次项系数为 　－m　，常数项为 　5　.
6. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是4，它的一个根是－2，则这个方程为 　3x2＋4x－4＝0　.
3　
1　
m－1　
－m　
5　
3x2＋4x－4＝0　
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（1） （x－4）（x＋3）＝15；
解：（1） x2－x－27＝0　二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－27
（2） 5x（x－2）＝4x2－3x.
解：（2） x2－7x＝0　二次项系数为1，一次项系数为－7，常数项为0
7. （教材变式）把下面的方程化成ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
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8. （教材变式）判断下面各题括号内未知数的值是不是方程的根.
（1） x2＋5x＋4＝0（x1＝－1，x2＝1，x3＝－4）；
解：（1） 当x＝－1时，x2＋5x＋4＝（－1）2＋5×（－1）＋4＝0，所以x＝－1是方程的根；当x＝1时，x2＋5x＋4＝12＋5×1＋4＝10≠0，所以x＝1不是方程的根；当x＝－4时，x2＋5x＋4＝（－4）2＋5×（－4）＋4＝0，所以x＝－4是方程的根
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（2） （2y－3）2＝（y－1）2（y1＝4，y2＝2，y3＝ ）.
解：（2） 当y＝4时，（2y－3）2＝（2×4－3）2＝25，（y－1）2＝（4－1）2＝9，（2y－3）2≠（y－1）2，所以y＝4不是方程的根；当y＝2时，（2y－3）2＝（2×2－3）2＝1，（y－1）2＝（2－1）2＝1，（2y－3）2＝（y－1）2，所以y＝2是方程的根；当y＝ 时，（2y－3）2＝（2× －3）2＝ ，（y－1）2＝（ －1）2＝ ，（2y－3）2＝（y－1）2，所以y＝ 是方程的根
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9. （2025·绍兴嵊州模拟）已知m是一元二次方程x2－2x－2＝0的一个根，则代数式2m2－4m＋2025的值为（　C　）
A. 2027 B. 2028 C. 2029 D. 2030
10. （易错题）（2024·杭州钱塘期末）已知关于x的一元二次方程（k－2）x2＋3x＋k2－4＝0的常数项为0，则k的值为（　A　）
A. －2 B. 2 C. 2或－2 D. 4或－2
11. （教材变式）若一元二次方程ax2＋9x＋c＝0的两个根分别为x1＝2，x2＝－5，则这个方程为 　3x2＋9x－30＝0　.
C
A
3x2＋9x－30＝0　
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12. （2024·宁波慈溪期中）如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（涂色部分）供游客赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的 .设观花道的直角边长为xm，则可列方程为 　（10－x）（9－x）＝10×9× 　（不用化简）.
第12题
（10－
x）（9－x）＝10×9× 　
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13. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的形式.
（1） 4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
解：（1） 由题意，得4x2＝25，化成ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的形式为4x2－25＝0
（2） 一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
解：（2） 由题意，得x（x－2）＝100，化成ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的形式为x2－2x－100＝0
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（3） 把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：（3） 由题意，得x×1＝（1－x）2，化成ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的形式为x2－3x＋1＝0
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14. 已知实数a是一元二次方程x2－2025x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2024a＋ 的值.
解：由题意，得a2－2025a＋1＝0.所以a≠0，a2＝2025a－1，a2＋1＝2025a.所以a2－2024a＋ ＝2025a－1－2024a＋ ＝a－1＋ ＝ －1＝ －1＝2025－1＝2024
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15. （新考法·新定义题）定义：若关于x的方程a1x2＋b1x＋c1＝0（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与a2x2＋b2x＋c2＝0（a2≠0，a2，b2，c2是常数）中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”.
（1） 写出方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”： 　－x2－4x－3＝0　；
－x2－4x－3＝0　
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（2） 若关于x的方程5x2＋（m－1）x－n＝0与－5x2－x＝1互为“对称方程”，求（m＋n）2的值.
解：由－5x2－x＝1，得－5x2－x－1＝0.因为关于x的方程5x2＋（m－1）x－n＝0与－5x2－x－1＝0互为“对称方程”，所以 解得 所以（m＋n）2＝（0－1）2＝1
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第2章 一元二次方程
2.2　一元二次方程的解法
第2课时　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一般地，对于形如x2＝a（a≥0）的方程，根据平方根的定义，可得x1＝ 　 　，x2＝ 　　－ 　.这种解一元二次方程的方法叫作开平方法.
2. 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个 　非负常数　，即将方程转化为（x＋a）2＝b（b≥0）的形式，然后用 　开平方法　求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法.
　
－ 　
非负常数　
开平方法　
1. （2025·金华永康期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中，无实数根的方程为（　D　）
A. x2＝0 B. x2－4＝0
C. －x2＋2＝0 D. x2＋2＝0
2. 方程（9x－1）2＝1的根是（　C　）
A. x1＝x2＝ B. x1＝x2＝
C. x1＝0，x2＝ D. x1＝0，x2＝－
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3. （2025·金华东阳期末）用配方法解一元二次方程x2－6x＋7＝0，配方后得到的方程是（　D　）
A. （x＋6）2＝29 B. （x－6）2＝29
C. （x＋3）2＝2 D. （x－3）2＝2
4. 已知2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x的值为（　A　）
A. ± B. ± C. D.
5. （2025·贵州）一元二次方程x2－1＝0的根是 　x1＝1，x2＝－1　.
D
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x1＝1，x2＝－1　
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（1） x2＋12x＋ 　36　＝（x＋6）2；
（2） x2－ 　 x　＋ ＝ ；
（3） x2－2 x＋ 　2　＝（x－ 　 　）2.
36　
x　
2　
　
6. 完成下列配方过程：
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7. 将一元二次方程x2－6x＋5＝0化成（x－a）2＝b的形式，则ab＝ 　12　.
8. （新考法·新定义题）规定：a b＝（a＋b）b，例如：2 3＝（2＋3）×3＝15.若2 x＝3，则x＝ 　1或－3　.
9. （教材变式）用开平方法解方程：
（1） 4x2－25＝0；
解：x1＝ ，x2＝－
（2） 3（x－3）2＝108；
解：x1＝9，x2＝－3
（3） 2（y＋4）2＋3＝35.
解：y1＝0，y2＝－8
12　
1或－3　
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10. （教材变式）用配方法解方程：
（1） （2025·无锡）x2－2x－2＝0；
解：x1＝1＋ ，x2＝1－
（2） x2－2＝－10x.
解：x1＝－5＋3 ，x2＝－5－3
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11. 用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同加上16的是（　C　）
A. x2＋32x＝3 B. x2－4x＝5
C. x2＋8x＝1 D. x2－16x＝4
12. （2025·嘉兴期末）已知关于x的方程a（x－m）2＋k＝0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝1，x2＝4，则方程a（x－m－2）2＋k＝0的解是（　B　）
A. x1＝1，x2＝－2 B. x1＝3，x2＝6
C. x1＝1，x2＝4 D. x1＝－1，x2＝2
C
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13. 若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m＋1与2m－4，则 ＝ 　4　.
14. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）放入其中，会得到一个新的实数a2－2b＋3.若将实数对（x，－2x）放入其中，得到－1，则x＝ 　－2　.
15. 用配方法解方程：
（1） x2－2 x＋1＝0；
解：x1＝ ＋1，x2＝ －1
（2） （2x－1）2＝x（3x＋2）－7.
解：x1＝2，x2＝4
4　
－2　
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16. 有n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0.小静解第1个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：① x2＋2x＝8；② x2＋2x＋1＝8＋1；③ （x＋1）2＝9；④ x＋1＝±3；⑤ x＝1±3；⑥ x1＝4，x2 ＝－2.
（1） 小静的解法是从步骤 　⑤　开始出现错误的（填序号）；
（2） 用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2 ＝0（用含n的代数式表示方程的根）.
解：移项，得x2＋2nx＝8n2.方程两边同加上n2，得x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，即（x＋n）2＝（3n）2.所以x＋n＝±3n，解得x1＝－4n，x2＝2n
⑤　
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17. （新考法·探究题）我们知道：任意实数的平方都是一个非负数，即对于任意实数a，都有a2≥0成立，所以当a＝0时，a2取得最小值0.
【应用】 （1） 当代数式（x－1）2的值最小时，x＝ 　1　.
（2） 代数式m2＋3的最小值是 　3　.
【探究】 （3） 求代数式n2＋4n＋9的最小值，小明是这样做的：
因为n2＋4n＋9＝n2＋4n＋4＋5＝（n＋2）2＋5，所以当n＝－2时，代数式n2＋4n＋9取得最小值，为5.
请参照小明的方法，求代数式a2－6a－3的最小值，并求此时a的值.
1　
3　
解：【探究】 （3） 因为a2－6a－3＝a2－6a＋9－12＝（a－3）2－12，所以当a＝3时，代数式a2－6a－3取得最小值，为－12
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（5） 若y＝－t2＋3t＋6，求y的取值范围.
【拓展】 （4） 因为m2＋n2－8m＋2n＋17＝0，所以（m－4）2＋（n＋1）2＝0.所以m－4＝0且n＋1＝0.所以m＝4，n＝－1.所以m＋n＝3
（5） y＝－t2＋3t＋6＝－（t2－3t）＋6＝－（t2－3t＋ － ）＋6＝－（t－ ）2＋ .因为 ≥0，所以－（t－ ）2≤0.所以－（t－ ）2＋ ≤ ，即y≤
【拓展】 （4） 已知m2＋n2－8m＋2n＋17＝0，求m＋n的值.
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第2章 一元二次方程
2.4　一元二次方程的应用
第1课时　营销问题及平均增长率问题
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基础过关
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能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 教材例1中,若设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有 　(4+x)　株.先根据“每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.2元”,可得平均单株盈利为 　(3-0.2x)　元,再根据“要使每盆的盈利为18元”,可列出方程为 　(4+x)(3-0.2x)=18　.
2. 若平均增长(或降低)的百分率为x,增长(或降低)前的数量是a,增长(或降低)2次后的数量是b,则它们之间的数量关系可表示为 　a(1+x)2=b[或a(1-x)2=b]　.
(4+x)　
(3-0.2x)　
(4+x)(3-0.2x)=18　
a(1+x)2=b[或a(1-x)2=b]　
1. (2025·云南)某书店今年3月盈利6000元,5月盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是(　A　)
A. 6000(1+x)2=6200
B. 6000(1-x)2=6200
C. 6000(1+2x)=6200
D. 6000x2=6200
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2. (2025·宁波余姚期中)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(　B　)
A. x(x+1)=45 B. x(x-1)=45
C. x(x-1)=45 D. x(x+1)=45
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3. 某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品.该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系如下:若每件的售价为a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%.若商店计划要获利400元,则每件商品的售价应定为(　A　)
A. 22元 B. 24元
C. 26元 D. 28元
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4. (教材变式)某厂生产一种产品,原来每件的成本是100元,因连续两次降低成本,现在每件的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率为 　10%　.
5. 某种商品的原价为50元/个.因销售不畅,三月份降价 10%,从四月份开始涨价,五月份的售价为64.8元/个,求四、五两个月份的平均涨价率.
解:设四、五两个月份的平均涨价率为 x.根据题意,得50×(1-10%)(1+x)2=64.8,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2 (不合题意,舍去).所以四、五两个月份的平均涨价率为 20%
10%　
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6. 随着我国新能源汽车生产技术的不断提升,市场上某款新能源汽车的价格由今年3月的27万元/辆下降到5月的24.3万元/辆.若价格继续下降,且月平均降价的百分率保持不变,则预计到今年7月该款新能源汽车的价格将会(　A　)
A. 低于22万元/辆 B. 低于21.5万元/辆
C. 超过22万元/辆 D. 超过23万元/辆
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7. (2025·嘉兴秀洲段考)某店销售一批户外帐篷,经调查,当每顶帐篷的利润为200元时,平均每天可售出60顶;单价每降低10元,每天可多售出4顶.已知该店要想平均每天盈利12160元,可列方程为(200-x) 60+ ×4 =12160,则下列表述正确的是(　C　)
A. 每顶帐篷的单价为x元
B. 降价后平均每天可出售(200-x)顶
C. 每顶帐篷的单价应降价x元
D. 降价后每顶帐篷的利润为 元
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8. 某旅行社组团去A风景区旅游,收费标准如下:如果人数不超过30,那么人均旅游费用为800元;如果人数超过30,那么每增加1人,人均旅游费用降低10元,但人均旅游费用不得低于550元.若某公司组织员工到A风景区旅游,支付给该旅行社28 000元,则这次旅游安排了 　40　人参加.
40　
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(1) 若每盒汤圆降价2元,则每盒汤圆盈利 　11　元,平均每天可售出 　140　盒;
(2) 若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元,为尽快减少库存,则该品牌汤圆的销售价格定为多少元/盒合适
解:设每盒汤圆降价x元,则该品牌汤圆的销售价格为(33-x)元/盒,平均每天可售出(100+20x)盒.由题意,得(33-20-x)(100+20x)=1600.整理,得x2-8x+15=0,解得x1=3(不合题意,舍去),x2=5.所以33-x=28.答:该品牌汤圆的销售价格定为28元/盒合适
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9. (2025·宁波鄞州期末)汤圆是宁波的特色美食.某店在销售某品牌汤圆时发现,该品牌汤圆的进价为20元/盒,当销售价格定为33元/盒时,平均每天可售出100盒,为了扩大销售,该店决定降价.经调查发现,每盒汤圆每降价1元,平均每天可多售出20盒.
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10. (教材变式)某电商在某平台上对一款每件成本为40元的小商品进行销售.若按每件60元的价格销售,则每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品的售价每降低5元,日销售量就增加10件.
(1) 若日利润保持不变,该电商想尽快销售完该款小商品,则每件小商品的售价应定为多少元
解:(1) 设每件小商品的售价定为x元,则每件的利润为(x-40)元,日销售量为20+ =(140-2x)件.由题意,得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20.整理,得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60(不合题意,舍去).所以每件小商品的售价应定为50元
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(2) 张叔叔的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,张叔叔决定对该款小商品进行打折销售,使其每件的售价不超过(1)中的售价,则该款小商品至少需打几折销售
解:(2) 设该款小商品需打a折销售.由题意,得62.5× ≤50,解得a≤8.所以该款小商品至少需打8折销售
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11. 如图所示为一个三角形点阵,从上向下数有无数行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点,容易发现10是三角形点阵中前4行的点的个数和.
(1) 这个三角形点阵中前多少行的点的个数和是276(请用一元二次方程说明)
解:(1) 设三角形点阵中前x行的点的个数和是276.由题意,得1+2+3+…+x=276,即 =276.整理,得x2+x-552=0,解得x1=23,x2=-24(不合题意,舍去).所以这个三角形点阵中前23行的点的个数和是276
第11题
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(2) 这个三角形点阵中前n行的点的个数和能是600吗 如果能,求出n的值;如果不能,请说明理由.
解:(2) 不能　理由:由题意,得1+2+3+…+n=600,即 =600.整理,得n2+n-1200=0,解得n1= ,n2= .又因为n为正整数,所以n1= ,n2= 均不符合题意.所以这个三角形点阵中前n行的点的个数和不能是600.
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第2章 一元二次方程
小专题(四)　一元二次方程的应用归类
类型一　形积问题
1. (新考向·数学文化)(2025·辽宁)我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何 ”其大意是:一块长方形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步 设这个长方形的宽为x步,根据题意可列方程为(　A　)
A. x(60-x)=864
B. x(x-60)=864
C. x(60+x)=864
D. 2[x+(x+60)]=864
A
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2. (2025·杭州滨江期末)用篱笆围成如图所示的长方形菜地ABCD,其中间也用一道篱笆隔开,菜地的一边靠墙(墙长为40米).已知篱笆的总长为60米(篱笆全部用完),设AB的长为x米.
(1) 用含x的代数式表示BC的长.
解:(1) BC=(60-3x)米
第2题
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(2) 这块长方形菜地ABCD的面积能否为225平方米 若能,请求出x的值;若不能,请说明理由.
解:(2) 能　由题意,得x(60-3x)=225.整理,得x2-20x+75=0,解得x1=15,x2=5.当x=15时,60-3x=60-45=15<40,符合题意;当x=5时,60-3x=60-15=45>40,不符合题意,舍去.答:这块长方形菜地ABCD的面积能为225平方米,x的值为15
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类型二　变化率问题(含传染问题)
3. 有一只鸡患了某种传染病,若不加以控制,则经过两轮传染后共有81只鸡患上该种传染病.按此传播速度,经过三轮传染后共有 　729　只鸡患上该种传染病.
4. 为改造老旧小区,某市2021年投入资金1000万元,2023年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的增长率相同.
(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年增长率.
解:(1) 设该市改造老旧小区投入资金的年增长率为x.依题意,得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2,x2=-2.2.经检验,x1=0.2=20%符合题意,x2=-2.2不合题意,舍去.所以该市改造老旧小区投入资金的年增长率为20%
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(2) 2023年老旧小区改造的平均费用为每个80万元,2024年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区.
解:(2) 设该市在2024年可以改造y个老旧小区.依题意,得80×(1+15%)y≤1440×(1+20%),解得y≤ .因为y为正整数,所以y的最大值为18.所以该市在2024年最多可以改造18个老旧小区
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类型三　数字与年龄问题
5. (新考向·数学文化)阅读下面的材料,并列方程算出周瑜去世时的年龄:
大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,早逝英年两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪名学子算得快,多少年华属周瑜
解:设周瑜去世时的年龄的个位上的数字为x,则十位上的数字为x-3.依题意,得10(x-3)+x=x2,解得x1=5,x2=6.因为“而立之年”为30岁,所以当x=5时,25<30,不合题意,舍去;当x=6时,36>30,符合题意.所以周瑜去世时的年龄为36岁
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类型四　利润问题
6. 某商店将进价为每件8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润.若这种商品每件的售价每涨0.5元,则每天的销售量就会减少10件.若要想每天获得640元的利润,则每件的售价应定为 　16　元.
7. (2025·温州开学)桃子旺季时,某店铺老板平均每天可售出桃子20箱,每箱盈利40元,当桃子时令快接近尾期时,老板为了尽量减少库存,决定适当地降价,扩大销售量,增加盈利.经市场调查发现:如果每箱桃子降价1元,那么平均每天就可多售出2箱.
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(1) 要使平均每天销售桃子盈利1200元,那么每箱桃子应降价多少元
解:(1) 设每箱桃子降价x元,则每箱桃子的销售利润为(40-x)元,平均每天可售出(20+2x)箱.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,解得x1=10,x2=20.又因为要尽量减少库存,所以x=20.答:每箱桃子应降价20元
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(2) 平均每天销售桃子盈利能达到1500元吗 若能,则每箱应该降价多少元 若不能,请说明理由.
解:(2) 平均每天销售桃子盈利不能达到1500元　理由:假设平均每天销售桃子盈利能达到1500元.设当每箱桃子降价y元时,每箱桃子的销售利润为(40-y)元,平均每天可售出(20+2y)箱.根据题意,得(40-y)(20+2y)=1500.整理,得y2-30y+350=0.因为(-30)2-4×1×350=-500<0,所以原方程没有实数根.所以假设不成立,即平均每天销售桃子盈利不能达到1500元.
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类型五　方案问题
8. 某工厂每月生产800件产品,每件产品的成本为100元,分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售.线上旗舰店每件产品的售价y(元)与月销售量x(件)之间满足y=- x+230.线下直营店每件产品按照定价190元出售,并进行促销活动:月销售量不超过400件的部分,每件产品赠送成本为60元的礼品,可全部售完;超过400件的部分,因礼品已送完,则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传,也可全部售完.
(1) 设线上旗舰店的月销售量为a件,线下直营店的月销售量为b件,分别用含a,b的代数式表示:
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① 线上旗舰店销售的a件产品的利润为 　 　元.
② 若0≤b≤400,则线下直营店销售的b件产品的利润为 　30b　元;若400　
30b　
(90b-29000)　
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(2) 假设工厂每月生产的800件产品都能全部售出,请你设计一种分配方案,使得销售总利润为46200元.
解:设线上旗舰店的月销售量为m件,则线下直营店的月销售量为(800-m)件.分两种情况讨论.① 当0≤800-m≤400,即400≤m≤800时,- m2+130m+30(800-m)=46200.整理,得m2-800m+177600=0.因为(-800)2-4×1×177600=-70400<0,所以该方程没有实数根,此种情况不符合题意.② 当400<800-m≤800,即0≤m<400时,- m2+130m+90(800-m)-29000=46200.整理,得m2-320m+25600=0,解得m1=m2=160,所以800-m=800-160=640.综上所述,应分配线上旗舰店销售160件,线下直营店销售640件,使得销售总利润为46200元
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