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数学
(试题测分 120 分 考试时间 120 分钟)
注意事项:
1、答题前，考生须用 0.5mm 黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号.
2. 考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效.
3. 考试结束，将答题卡交回.
4. 本试卷 23 道小题, 共 8 页. 如缺页、印刷不清, 考生须声明, 否则后果自负.
第一部分 选择题(共 30 分)
一、选择题(本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1. 我国 “深蓝 2 号” 大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱, 其示意图的主视图是
A.
B.
C.
D.
2. 据国内 AI 产品榜统计数据，某款 AI 搜索工具在上线仅 20 天后，其日活跃用户数迅速突破两千万大关，达 22150000. 将数据 22150000 用科学记数法表示为
A. B. C. D.
3. 社会规则营造良好的社会秩序, 我们要了解并遵守社会规则. 下列标志是中心对称图形的是
A.
B.
C.
C
D.
4. 下列计算正确的是
A. B. C. D.
5. 某校八年级 3 班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是
A. B. C. D.
6. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质, 用一副三角尺按如图所示的方式摆放, 其中点 、 、 、 在同一条直线上、 ， ， . 当 时， 的大小为
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
第 6 题图
7. 在 2000 多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”:“今有共买鸡，人出九，盈十一:人出六，不足十六. 问人数，物价各几何？”题意是:有若干人一起买鸡，如果每人出 9 文钱, 就多 11 文钱; 如果每人出 6 文钱, 就差 16 文钱. 问买鸡的人数, 鸡的价钱各是多少 设买鸡的人数为 人，则 为
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
8. 如图，在平面直角坐标系中， 是等边三角形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将 向左平移 1 个单位长度得到 ，则点 的对应点 的坐标为
第 8 题图
A. B. C. D.
9. 如图，菱形 的边长为2， ，边 在数轴上，将 绕点 顺时针胶转，点 落在数轴上的点 处，若点 表示的数是 3 ，则点 表示的数是
第 9 题图
A. 1 B. C. 0 D.
10. 如图，在平行四边形 中，按照如下尺规作图的步骤进行操作；①以点 为圆心， 以适当长为半径画弧，分别与 ， 交于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以适当长为半径画弧,两弧交于点 ,作射线 ,与边 交于点 : ③以及为圆心, 长为半径画弧,交边 于点 . 若 ,则点 之间的距离为
第 10 题图
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第二部分 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)
11. 因式分解:
12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为 ， ，则这两种小麦长势更整齐的是_____(填“甲”或“乙”)
13. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 分别在 轴， 轴上，且 轴，已知一个反比例函数的图象经过点 ，若 的面积等于 4，则该反比例函数的表达式为_____
第 13 题图
14. 抛物线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,则线段 长是_____
15. 如图， ， ， ，连接 ， ，当 时， 延长 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长是_____
第 15 题图
三、解答题(本题共 8 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程)
16. (每小题 5 分，共 10 分)
(1)计算: :
(2)化简: .
17. (本小题 8 分)
某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出 3 个甲种驱蚊手环和 1 个乙种驱蚊手环，收入 128 元；另一天，以同样的价格卖出 1 个甲种驱蚊手环和 2 个乙种驱蚊手环，收入 76 元，
(1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元
(2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共 100 个，总费用不超过 2500 元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个
18. (本小题 8 分)
某校为了解七、八年级学生对本届亚冬会的关注程度, 从这两个年级各随机抽取 1 名学生进行了亚冬会知识竞赛,竞赛成绩分六组 (x 表示得分), A: , B: , C: 80≤x<85, D: 85≤x<90>. E: 90≤x<95, F: 95≤x<100. 成绩整理后绘制了如下统计图表:
七年级测试成绩频数直方图八年级测试成绩扇形统计图
第 18 题图
已知八年级竞赛成绩 D 组的全部数据如下:86，85，87，86，85，89，88。 请根据以上信息，完成下列问题:
(1)
(2)求八年级竞赛成绩的中位数；
(3)已知该校七、八年级各有 600 名学生，若竞赛成绩不低于 90 分认定对亚冬会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人。
19. (本小题 8 分)
如图 1,在平面直角坐标系中,点 是坐标原点,直线 与 轴交于点 , 与 轴交于点 ,与直线 交于点 . 点 为直线 与 轴的交点.
第 19 题图 1
第 19 题图 2
(1)求点 的坐标；
(2)如图 2，点 是线段 上的一个动点，过点 作平行于 轴的直线 ，分别交直线 , 于点 ,点 ,连接 . 设点 的横坐标为 ,
①线段 _____(用含 的代数式表示)；
②求 面积的最大值.
20. (本小题 8 分)
图 1 是电脑液晶显示器的侧面图,显示屏 可以绕 点旋转一定角度,如图 2,当眼睛 与显示屏顶端 在同一水平线上,且望向显示器屏幕中心 (点 是 中点) 的视线 与水平线 形成的夹角 时,观看屏幕最舒适,此时 , ， . 已知液晶显示屏的宽 为 .
(1)求眼睛 与显示屏顶端 的水平距离 (结果精确到 ；
(2)求显示屏顶端 与底座 的距离 (结果精确到 .
(参考数据: )
第 20 题图
21. (本小题 8 分)
如图， 为 的直径，点 在 上，过点 的直线与 的延长线相交于点 ， 与 的延长线交于点 与 相交于点 .
(1)求证: 为 的切线；
(2)若 ，求 的半径
第 21 题图
22. (本小题 12 分)
如图 1,在等边三角形 中,点 在 上,点 在 上, 与 交于点
(1)求证: ；
(2)若 ，则 _____；
(3)如图 2，在(2)的条件下，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合， 点 的对应点为 的延长线交 的延长线于点 ，
①求证: ；
第 22 题图 2
② 求 的面积.
第 22 题图 1
23. (本小题 13 分)
如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ，点 ，点 为抛物线上不重合的两个点,点 的横坐标为 ,点 的横坐标为 .
(1)点 的坐标为_____；
(2)当 时，求 的长度；
(3)当抛物线上 两点之间的部分(包括 两点)对应的函数值 随 的增大而先减小后增大时，设函数值最大值与最小值差为 ，求 与 的关系式，并写出自变量 的取值范围;
(4)过 两点中较高的点作 轴的垂线交抛物线于另一个交点 ，以这个较高的点与点 的连线为边向其下方作正方形.当点 在该正方形内部,点 在该正方形外部. 且点 到该正方形边的最小距离是 1,求 的值.
第 23 题图
参考答案
第一部分选择题(共 30 分)
一、选择题(本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1. C.
2. D.
3. D.
4. C.
5. A.
6.B.
7. D.
8. A.
9. D.
10. C.
第二部分非选择题(共 90 分)
二、填空题(本题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)
11. 解: .
12. 甲.
13. .
14. 4 .
15. .
三、解答题 (本题共 8 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明, 演算步骤或推理过程)
16. (1) (2)
17. (1) 36:20
(2) 31
18.(1)20.4
(2)86.5
(3)估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有 275 人.
19. (1)
(2)① :② 27
20. (1) :(2)
21. ( 1 )见解析:
( 2 ) 的半径为3.
22. ( 1 )答案见解析
( 2 )
(3)①答案见解析:②
23. (1)
(2) 3
(3)
(4) 或
【小问 1 详解】
解: .
抛物线 的顶点 的坐标为 .
【小问 2 详解】
解: 点 的横坐标为 ,点 的横坐标为 ,
点 的纵坐标为 ,点 的纵坐标为 ,
当 时， .
.
轴,
.
【小问 3 详解】
解: .
抛物线 的开口向上,对称轴为直线 ,
当 时,函数有最小值为 -4 ,
抛物线上 两点之间的部分 (包括 两点) 对应的函数值 随 的增大而先减小后增大,
且 .
解得: ,
当 时,解得: ,
在 时,抛物线上 两点之间的部分 (包括 两点) 对应的函数值 最大值为 , 最小值为 -4 ,
又 函数值最大值与最小值差为 ,
,
即 :
当 时,解得: ,
当 时,抛物线上 两点之间的部分 (包括 两点) 对应的函数值 最大值为 ,最小值为 -4 ,
又 函数值最大值与最小值差为 .
,
即 .
综上, 与 的关系式为 .
【小问 4 详解】
解: 当 两点时,即 解得: ,

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