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(共10张PPT)
第10章 分 式
10.1　分式的概念
01
基础过关
03
思维拓展
目
录
02
能力进阶
1. (教材变式)若某种商品m千克的售价为n元,则这种商品8千克的售价为(　A　)
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2. (2025·相城区段考)下列代数式中,是分式的为(　D　)
A. B. 5a C. D.
3. 当a=1时, 的值为(　C　)
A. 2 B. 1 C. D.
A
D
C
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4. (1) 若式子 无意义,则m的值为 　3　;
(2) (2025·淮安)若分式 有意义,则a的取值范围是 　a≠1　.
5. (1) (教材变式)若分式 的值为0,则x的值为 　- 　;
(2) (2024·吉林)当分式 的值为正数时,写出一个满足条件的x的值: 　答案不唯一,如0　.
3　
a≠1　
- 　
答案不唯
一,如0　
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6. 根据条件求下列式子的值:
(1) ,其中a=1;
(2) ,其中x=-1,y=- .
解:2
解:-
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7. 不论x取何值,下列代数式的值不可能为0的是(　C　)
A. x+1 B. x2-1 C. D. (x+1)2
8. (2024·吴江区二模)若不论x取何值,分式 总有意义,则m的取值范围是(　C　)
A. m≥1 B. m<1 C. m>1 D. m≤1
9. (教材变式)若分式 无意义,则x的值为 　± 　.
C
C
± 　
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(2) (2025·昆山段考)若式子 的值为0,则x的值是 　-1　;
(3) (2025·苏州工业园区模拟)若分式 的值为0,则x的值为 　-2　.
-1　
-2　
10. (1) (2025·苏州工业园区模拟)若分式 的值为0,则x= 　 　;
　
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11. 已知点 在第四象限,则n的取值范围是 　-212. 当整数x= 　0或-1或-2或-5　时,分式 的值是负整数.
13. (易错题)已知分式 的值为负数,求x的取值范围.
解:由题意,得 解得x<2且x≠-1
-20或-1或-2或-5　
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14. 当a=2时,是否存在x的值,使得分式 的值为0
解:当a=2时,假设存在x的值,使得分式 的值为0,则原式= =0,解得x=-2,此时分母4-x2=0,分式无意义.∴ 当a=2时,不存在x的值,使得分式 的值为0
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15. (分类讨论思想)当x满足什么条件时,分式 的值为正数
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15(共16张PPT)
第10章 分 式
第10章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一　分式有无意义、值为0的条件
1. 已知分式 (a,b为常数)与x的部分对应值如下表:
x的值 2 m n -2
分式的值 0 3 4 无意义
则下列结论中,错误的是(　B　)
A. b=-4 B. a=2 C. m=-10 D. n=-6
2. (2025·广西)写出一个使分式 有意义的x的值: 　答案不唯一,如1　.
B
答案不唯一,如1　
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3. 已知分式 ,当x=-2时,分式无意义;当x=4时,分式的值为0,则a+b= 　6　.
6　
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考点二　分式的运算、化简求值
4. 下列运算正确的是(　D　)
A. · = B. ÷ =
C. + = D. - =
5. 化简 - 的结果是(　A　)
A. B. C. D.
6. 已知t2-3t+1=0,则t2+ 的值为(　B　)
A. 3 B. 7 C. 9 D. 11
D
A
B
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7. 若 + =2,则分式 的值为 　-4　.
8. 计算:
(1) - + ;
(2) (2024·新疆) ÷ ;
解:
解:1
(3) (2025·泸州) ÷ ; (4) ÷ .
解:
-4　
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9. (2025·西宁)先化简,再求值: ÷ ,其中m满足m(m+4)=-4.
解:原式= =-4
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考点三　解分式方程
10. 若关于x的分式方程 = +2有增根,则m的值为(　D　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. (新考法·新定义题)定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,a※b= + ,例如:2※3= + .若(x+1)※x= ,则x的值为 　- 　.
12. 解方程:
(1) + =1; (2) -1= .
解:x=3
解:无解
D
- 　
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考点四　分式方程的应用
13. (2025·深圳)某社区在公园植树60棵,实际种植人数是原计划人数的2倍,实际平均每人种植的棵数比原计划少了3.若设原计划人数为x,则可列方程为(　A　)
A. - =3 B. - =3
C. =2× D. =2×
A
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14. (2025·山西)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车(如图),采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工每小时更换钢轨的千米数的2倍,它更换116千米钢轨比一个工作队人工更换80千米钢轨所用的时间少22小时.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米
第14题
解:设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x千米.根据题意,得 -22,解得x=2.经检验,x=2是所列方程的解,且符合题意.∴ 一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米
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15. 对于M= ,N= ,嘉嘉和淇淇给出如下结论:嘉嘉:当x>0时,M-N>0;淇淇:当x=2时,M=N. 下列说法正确的是(　B　)
A. 嘉嘉对,淇淇错 B. 嘉嘉错,淇淇对
C. 嘉嘉、淇淇都对 D. 嘉嘉、淇淇都不对
B
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16. (2025·眉山)若关于x的不等式组 至少有两个正整数解,且关于x的分式方程 =2- 的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值之和为(　B　)
A. 8 B. 14 C. 18 D. 38
B
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17. 根据表中的数据,a的值为 　 　,b的值为 　-2　.
x结果代数式 2 n
3x+1 7 b
a 1
18. 若3ab-3b2-2=0,则代数式 ÷ 的值为 　 　.
19. (整体思想)已知m+n=3,mn=1,则 + 的值为 　7　.
　
-2　
　
7　
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20. (2025·苏州模拟)已知关于x的分式方程 +2= 的解是非负数,则k的取值范围是 　k≤2且k≠-1　.　
21. (2025·昆山段考)若关于x的方程 = +1无解,则a的值是 　3或1　.
22. (数形结合思想)先化简,再求值: ÷ ,其中m是已知两边长分别为2和3的三角形的第三边的长,且m是整数.
k≤2且k≠-1　
3或1　
解:原式=
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23. (2025·重庆)某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产的甲种文创产品的数量比每天生产的乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1) 求该厂每天生产的甲、乙两种文创产品数量分别是多少个.
解:(1) 设该厂每天生产的甲种文创产品的数量是x个,则每天生产的乙种文创产品的数量是(x-50)个.根据题意,得3x-4(x-50)=100,解得x=100.∴ x-50=100-50=50.∴ 该厂每天生产的甲种文创产品的数量是100个,每天生产的乙种文创产品的数量是50个
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(2) 由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产的乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产的甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1400个,乙种文创产品的生产时间比甲种文创产品的生产时间多10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
解:(2) 设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个,则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个.根据题意,得 =10,解得y=20.经检验,y=20是所列方程的解,且符合题意.∴ 每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个
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23(共8张PPT)
第10章 分 式
10.4　分式的乘除
第1课时　分式的乘除运算法则
01
基础过关
03
思维拓展
目
录
02
能力进阶
1. 计算 ÷ 的结果是(　D　)
A. B. C. 2xy D.
2. (2025·威海改编)下列各式中,计算过程及结果都正确的是(　C　)
A. ÷ = ·3x= y B. 8xy÷ = · =
C. ÷ = · = D. b÷ · =b
D
C
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3. 计算 ÷ · 的结果是(　B　)
A. -y B. - C. D.
4. 计算:
(1) ÷3x= 　 　; (2) = 　 　.
5. (2025·吉林)当a=2025时,代数式 · 的值为 　2026　.
B
　
　
2026　
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(1) · ; (2) (2025·攀枝花) · ;
解:-
(3) · ;
(4) ÷ .
解:2a
解:
6. (教材变式)计算:
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7. 化简x3· 的结果是(　A　)
A. xy6 B. xy5 C. x2y5 D. x2y6
8. 化简:
(1) (2025·安徽) ÷ = 　 　;
(2) ÷ = 　 　.
A
　
　
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9. (教材变式)计算:
(1) · ; (2) ÷ .
解:
解:-x-y
10. 先化简,再求值: ÷ ,其中x=2,y=-1.
解:原式=-
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11. 已知实数x,y满足 +y2-4y+4=0,求代数式 · ÷ 的值.
解:原式=
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11(共12张PPT)
第10章 分 式
10.5　分式方程
第3课时　用分式方程解决问题
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2025·绥化)用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输15吨,A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相同.若设B货车每小时运输化工原料x吨,则可列方程为(　C　)
A. = B. =
C. = D. =
C
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2. 一个水池内有甲、乙两根水管,两根水管同时开放6h可以把水池注满.如果单独开放甲水管5h后,两根水管同时开放,还需3h才能注满水池,那么单独开放甲水管,注满水池需要(　B　)
A. 7.5h B. 10h C. 12.5h D. 15h
B
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3. 为进行某项数学综合与实践活动,小明到某批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.如果小明给学校八年级学生每人购买1个,那么只能按零售价付款,需用3600元;如果多购买60个,那么可以按批发价付款,同样需用3600元.若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,设这个学校八年级学生有x名,则根据题意可列方程为 　 ×60　.
×60　
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4. (新情境·科技民生)(2025·大庆)某公司开发了两款AI模型,分别为模型A和模型B. 由于工作需要,公司同时使用这两款模型处理数据.已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据,模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同,则模型A每小时能处理多少GB数据(备注:GB为数据的存储单位)
解:设模型A每小时能处理xGB数据,则模型B每小时能处理(x+10)GB数据.根据题意,得 ,解得x=20.经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意.∴ 模型A每小时能处理20GB数据
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5. 小张开车从家到单位有两条路线可选择,路线a为全程10km的普通道路,路线b包含快速通道,全程7km,走路线b比走路线a的平均速度高40%,时间节省10min.设走路线a的平均速度为xkm/h,则可列方程为(　A　)
A. - = B. - =10
C. - = D. - =10
A
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6. 一艘轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间之和等于先逆流航行80千米再顺流航行返回所用的时间之和,则该轮船在静水中的速度与水流速度的比为(　A　)
A. 9∶1 B. 5∶4 C. 4∶1 D. 5∶1
A
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7. (2025·苏州二模)某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为xkm/h,根据题意可列方程为 　 　.
8. 某网店开展促销活动,店内商品一律按8折销售,促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件,则该商品打折前每件的价格为 　50　元.
　
50　
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解:设软件升级前每小时生产x个零件,则软件升级后每小时生产 x=80.∴ 软件升级后每小时生产80个零件
9. (教材变式)某自动化车间计划生产480个零件,当生产任务完成一半时停止生产,进行自动化程序软件升级,用时20分钟,恢复生产后工作效率比原来提高了 ,结果比原计划提前40分钟完成任务,则软件升级后每小时生产多少个零件
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10. (2025·青岛)某公司成功研发了一款新型产品,并接到了首批订单,产品数量为2100件.该公司有甲、乙两个车间,甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同生产1500件,再由乙车间单独生产剩余产品,前后共用10天完成这批订单.
(1) 求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品.
解:(1) 设乙车间每天生产x件产品,则甲车间每天生产1.5x件产品.根据题意,得 =10,解得x=120.经检验,x=120是所列方程的解,且符合题意.此时1.5x=1.5×120=180,∴ 甲车间每天生产180件产品,乙车间每天生产120件产品
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(2) 首批订单完成后,公司将继续生产30天该产品,且每天只能安排一个车间生产.如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍,要使这30天的生产总量最大,那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数
解:(2) 设安排甲车间生产m天,这30天的生产总量为w件,则乙车间生产(30-m)天.根据题意,得w=180m+120(30-m)=60m+3600.∵ 60>0,∴ w随m的增大而增大.
∵ 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍,∴ m≤2(30-m),解得m≤20,∴ 当m=20时,w取得最大值,此时30-m=30-20=10,∴ 要使这30天的生产总量最大,应安排甲车间生产20天,乙车间生产10天
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10(共8张PPT)
第10章 分 式
10.2　分式的基本性质
第3课时　分式的通分
01
基础过关
目
录
02
能力进阶
03
思维拓展
1. 分式 , , 的最简公分母是(　C　)
A. 24x3y3 B. 24x2y2 C. 12x2y2 D. 6x2y2
2. 将分式 , , 通分, 通分后的结果是(　B　)
A. B.
C. D.
C
B
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3. 将分式 , , 通分时,分子、分母依次同乘 　6ab　, 　2a2　, 　b　.
4. (2024·高新区期末)分式 和 的最简公分母为 　12x2y2　.
5. (教材变式)通分:
6ab　
2a2　
b　
12x2y2　
(1) - , ;
(2) , , ;
解:- ,
解: , ,
(3) , , ;
(4) , .
解: , ,
解: ,-
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6. 分式 , , 的最简公分母是(　B　)
A. (x-1)2 B. (x-1)3 C. x-1 D. (1-x)(x-1)3
7. 将分式 , , 通分, 通分后的分子是(　B　)
A. 1 B. (x+3)2 C. x+3 D. (x-2)(x+3)2
8. 分式 , 和 的最简公分母是 　xy2(m-n)　.
9. 已知最简分式 与- (a,b是常数,且b≠0)的最简公分母为10xy3,则a的值为 　3　,b的值为 　5或10　.
B
B
xy2(m-n)　
3　
5或10　
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10. (教材变式)通分:
(1) , ; (2) , , ;
解:
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(3) , , ;
(4) , , .
解: ,
,
-
解: ,
,
-
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11. 已知分式 , .若a是这两个分式的分母的公因式,b是这两个分式的最简公分母,且 =-6,试求这两个分式的值.
解:根据题意,得a=x-1,b=3(x+1)(x-1).∵
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11(共9张PPT)
第10章 分 式
10.3　分式的加减
01
基础过关
03
思维拓展
目
录
02
能力进阶
1. 下列计算正确的是(　D　)
A. + = B. - =
C. =a+b D. =
2. (2025·潍坊)计算 + 的结果是(　B　)
A. 1 B. -1 C. 0 D.
3. (教材变式)计算:
(1) (2025·苏州期末) + = 　 　; (2) (2025·深圳) - = 　a-1　.
D
B
　
a-1　
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4. 计算:
(1) (2025·内江) - ;
(2) (2025·苏州工业园区期中) + ;
解:3
解:3
(3) - ; (4) - .
解:
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5. 先化简,再求值:
(1) + ,其中a=2;
解:原式= .当a=2时,原式=3
(2) + + ,其中 = .
解:原式=
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6. (2025·天津)计算 + 的结果为(　A　)
A. B. C. D. 1
7. (2024·苏州期末)已知 - =3,且x≠y,则 的值为(　A　)
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
8. (整体思想)已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式 + 的值为 　-3　.
A
A
-3　
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(1) -x+1; (2) + +2.
解:
9. 计算:
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10. (教材变式)(1) 已知a>b>0,试比较 与 的大小;
(2) 比较大小: 　 (填“>”“<”或“=”).
解:(1) 根据题意,得
>
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11. (易错题)若 + + (A,B,C均为常数)的计算结果为 ,求A+B+2C的值.
解:原式= =
,∴ A+B+C=1,3A+2B+C=0,2A=2,解得A=1,B=-3,C=3,∴ A+B+2C=1-3+6=4
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11(共10张PPT)
第10章 分 式
10.2　分式的基本性质
第2课时　分式的约分
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 化简 的结果是(　C　)
A. -1 B. 1 C. -a D. a
2. 下列各式中是最简分式的为(　B　)
A. B. C. D.
3. 判断下列约分是否正确(填“√”或“ ”):
(1) =a2(　 　); (2) =-a-b(　 　);
(3) =-1(　√　); (4) = (　 　).
C
B


√

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4. (1) (2025·湖南)约分: = 　x2　;
(2) 化简 的结果是 　整式　(填“整式”或“分式”).
5. (2024·济宁)已知a2-2b+1=0,则 的值是 　2　.
6. (教材变式)约分或化简:
(1) ;(2) ;(3) .
解:-
x2　
整式　
2　
解:
解:-
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7. (整体思想)(2025·北京)已知a+b-3=0,求代数式 的值.
解:∵ a+b-3=0,∴ a+b=3.∴ 原式= = = =
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8. 已知两个不等于0的实数a,b满足a+b=0,则 + 的值为(　A　)
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
9. 当a=2026时,分式 的值是 　-2028　.
10. 已知x为整数,且分式 的值也为整数,则x可取的值为 　6,4,8,2　.
A
-2028　
6,4,8,2　
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解:∵ =3,∴ n+m=3(n-m),即n=2m,∴ + = + = + = +4=
11. 若 =3,求代数式 + 的值.
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12. (整体思想)已知x+y=2,x-y= ,求分式 的值.
解:原式= = .∵ x+y=2,x-y= ,∴ 原式= =
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13. (新考法·新定义题)我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如: = =4x,则称分式 为“巧分式”,4x为它的“巧整式”.根据上述定义,解决问题.
(1) 判断下面的分式是否为“巧分式”:① ;② .
解:(1) ∵ =2x-3,2x-3为整式,∴ ①为“巧分式”.∵ = =x-y,x-y为整式,∴ ②为“巧分式”
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(2) 若分式 (m为常数)为“巧分式”,它的“巧整式”为x-7,求m的值.
解:(2) ∵ 分式 (m为常数)为“巧分式”,它的“巧整式”为x-7,∴ (x+3)(x-7)=x2-4x+m,∴ x2-4x-21=x2-4x+m,∴ m=-21
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13(共10张PPT)
第10章 分 式
10.5　分式方程
第2课时　分式方程的增根
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 对于分式方程 =2+ ,有下列说法:① 最简公分母为(x-3)2;② 转化为整式方程x=2+3,解得x=5;③ 原方程的解为x=3;④ 原方程无解.其中,正确的个数是(　D　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 分式方程 -1= 的解为(　C　)
A. x=1 B. x=-1 C. 无解 D. x=-2
D
C
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3. (2025·昆山模拟)若关于x的分式方程 - =1(m为常数)有增根,则m的值是 　-1　.　
4. (2025·凉山)若关于x的分式方程 + =3无解,则m的值为 　-1　.
-1　
-1　
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(1) +1= ; (2) = -2;
解:x=
解:无解
(3) - =0; (4) + =-1.
解:x=
5. (教材变式)解方程:
解:无解
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6. (2025·遂宁)若关于x的分式方程 = -1无解,则a的值为(　D　)
A. 2 B. 3 C. 0或2 D. -1或3
7. 若关于x的分式方程 + = 有增根,则a的值为(　D　)
A. 0或2 B. 4 C. 8 D. 4或8
8. 若关于x的分式方程 + =2m有增根,则这个增根是 　x=2　.
D
D
x=2　
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12
解:解分式方程,得x=-2-p.由题意,得x≠0且x≠1,∴ -2-p≠0且-2-p≠1,解得p≠-2且p≠-3
9. 已知关于x的分式方程 + = 有解,求p的取值范围.
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10. 当m为何值时,关于y的方程 - = 会产生增根
解:方程两边同乘y(y-1),得y2-m2=y2-2y+1.∴ y= =1,解得m=±1.综上所述,当m=±1时,原分式方程会产生增根
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11. (易错题)若关于x的方程 + = - 无解,求a的值.
解:方程两边同乘x(x+1)并整理,得(6+a)x=-1.若a=-6,则整式方程无解,即原分式方程无解.若x(x+1)=0,即x=-1或x=0,则原分式方程可能有增根,无解.① 当x=-1时,a=-5;② 当x=0时,a不存在.综上所述,a的值为-6或-5
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12. 若关于x的分式方程 -4= 的解为整数,且a也为整数,求a的值.
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得(2x-a)(x+1)-4(x+1)(x-1)=(-2x+a)(x-1).化简、整理,得ax=2.∵ x,a为整数,∴ a=±1或a=±2.∵ x=±1为原分式方程的增根,
∴ x≠±1,∴ a≠±2,∴ a的值为±1
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12(共9张PPT)
第10章 分 式
10.4　分式的乘除
第2课时　分式的混合运算
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 计算 ÷ 的结果是(　B　)
A. x+1 B. C. D.
2. 化简 ÷ · 的结果是(　A　)
A. -2 B. 2 C. - D.
3. 计算:(a+b)÷ = 　ab　.
4. 当a=2b,b≠0时,代数式 ÷ 的值为 　 　.
B
A
ab　
　
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5. (教材变式)计算:
(1) (2025·辽宁) ÷ - ;
解:
(2) (2025·南通) · .
解:a-3
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6. 化简 ÷ 的结果是(　B　)
A. a+1 B. C. D.
7. 若 ·w=1,则w等于(　D　)
A. a+2 B. -a+2 C. a-2 D. -a-2
8. (教材变式)已知m2+ =15,则 的值是 　11　.
B
D
11　
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(1) ÷ ;
解:x+2
(2) ÷ · .
解:-
9. 计算:
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10. 先化简,再求值:
(1) (2025·苏州) · ,其中x=-2;
解:原式= =2
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(2) (2025·苏州模拟) ÷ ,然后从-3解:原式=
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11. 已知|3a-b+1|+ =0,求 ÷ 的值.
= ,
= ,
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11(共10张PPT)
第10章 分 式
10.2　分式的基本性质
第1课时　分式的基本性质
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2024·相城区段考)将分式 中的x,y的值同时扩大为原来的2倍,则分式的值(　C　)
A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的
C. 保持不变 D. 扩大为原来的4倍
2. 分式 可变形为(　D　)
A. B. - C. D. -
C
D
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3. (教材变式)在括号内填上适当的式子,使等式成立:
(1) = ; (2) = .
4. 有下列4个式子:① = ;② = ;③ = ;④ = .其中,从左到右的变形正确的是 　②④　(填序号).
5. (1) 已知m是一个实数,且 = ,则m的值为 　0.5　;
(2) 当 = 时,A代表的整式为 　3m2n2-6mn3　.
②④　
0.5　
3m2n2-6mn3　
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6. 小丽化简分式 = 时,※处不小心滴上了墨水,请你推测※处的式子.
解:∵ = = = ,∴ ※处的式子为x2-2x+1
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7. 不改变分式的值,将分式 中的分子与分母的各项系数化为整数,正确的是(　D　)
A. B. C. D.
8. 式子- 可变形为(　D　)
A. - B. C. - D.
D
D
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9. (教材变式)下列各式的变形中,不正确的是(　A　)
A. = B. =-
C. = D. =
A
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10. (2024·高新区期末)若要使分式 的值扩大为原来的4倍,则x,y的值可以进行的变化是(　D　)
A. x的值不变,y的值扩大为原来的4倍
B. y的值不变,x的值扩大为原来的4倍
C. x,y的值都扩大为原来的2倍
D. x,y的值都扩大为原来的4倍
D
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11. 若x2=205,则 的值为 　- 　.
12. 已知 =- ,则 - 的值为 　 　.
13. 当m取何值时,等式 = 成立
解:由题意,得3m+2=7-2m,解得m=1.∵ 当m=1时,7-2m≠0,∴ 当m=1时,等式 = 成立
- 　
　
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14. (整体思想)已知 - =3,求分式 的值.
解:由题意,得x≠0,y≠0,∴ xy≠0.将分式 的分子、分母同时除以xy,得 = .∵ - =3,∴ - =-3,∴ 原式= =
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14(共9张PPT)
第10章 分 式
阶段训练(10.1~10.4)
一、 选择题
1. 若分式 的值为0,则x的值为(　D　)
A. ±5 B. 0 C. -5 D. 5
2. (2025·河南)化简 - 的结果是(　A　)
A. x+1 B. x C. x-1 D. x-2
3. 计算 ÷ 的结果是(　A　)
A. - B. C. - D.
D
A
A
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4. 如果a2+2a-1=0,那么代数式 · 的值为(　C　)
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5. (新考法·探究题)已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an满足如下关系:a2= ,a3= ,a4= ,…,an+1= .若a1=2,则a2 026的值是(　C　)
A. - B. C. -3 D. 2
C
C
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二、 填空题
6. 若式子 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 　x≠-1　.
7. 化简:
(1) (2024·常州) + = 　1　; (2) (2025·达州) - = 　 　.
x≠-1　
1　
　
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8. 若分式 · 的值等于-10,则a的值为 　- 　.
9. 计算:
(1) 1- ÷ · = 　 　;
(2) (2025·宜宾) · = 　1　.
- 　
　
1　
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10. 已知非零实数x,y满足y= ,则 的值为 　4　.
11. 若x2+3x=-1,则x- 的值为 　-2　.
12. 已知ab=1,b=2a-1,则 - 的值为 　-1　.
13. (教材变式)当m>0时,比较大小: 　 (填“>”“<”或“=”).
4　
-2　
-1　
<
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三、 解答题
14. 计算:
(1) (2025·无锡) + ;
(2) · + ;
解:m-1
解:
(3) (2025·陕西) ÷ ; (4) ÷ .
解:x+2
解:
1
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3
4
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15. (2024·苏州工业园区一模)先化简 ÷ ,再选择一个合适的a的值代入求值.
解:原式= =-1
16. (2025·张家港段考)定义:若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数),则称A是B的“n阶差分式”.例如: - =3,我们称 是 的“3阶差分式”.
(1) 分式 是分式 的“ 　1　阶差分式”.
1　
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2
3
4
5
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8
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16
(2) 已知分式A是分式B= 的“2阶差分式”.若x取正整数,且A的值为正整数,求A的值.
解:∵ 分式A是分式B=
=3,∴ A的值为6或3
1
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16(共8张PPT)
第10章 分 式
10.5　分式方程
第1课时　分式方程的概念
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2025·海南)分式方程 =0的解是(　C　)
A. x=-3 B. x=3 C. x=2025 D. x=-2025
2. 对方程 -2= 两边同乘x-1后的式子为(　B　)
A. x-2=-2 B. x-2(x-1)=-2
C. x-2(1-x)=-2 D. x-2(x-1)=2
3. (2025·镇江)分式方程 = 的解为 　x= 　.
4. 若代数式 与 的值相等,则x的值为 　7　.
C
B
x= 　
7　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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5. (教材变式)解方程:
(1) (2025·长沙) = ;
(2) + =3;
解:x=
解:x=3
(3) = ; (4) (2025·苏州工业园区期中) +3= .
解:x=
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6. 若关于x的分式方程 =-1的解是x=-2,则b的值为(　D　)
A. -1 B. -9 C. 1 D. 9
7. 定义一种新运算“ ”:a b= (a≠b),例如:1 3= =- ,则方程2 x= +1的解是(　B　)
A. x=-1 B. x= C. x= D. x=2
8. 若方程 +1= 的解使关于x的不等式(2-a)x-3>0成立,则实数a的取值范围是 　a<-1　.　
D
B
a<-1　
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9. (易错题)如果关于x的分式方程 =1的解是负数,那么m的取值范围是 　m<-1且m≠-2　.
10. 解方程:
(1) = +1;
(2) (2024·福建) +1= ;
解:x=-3
解:x=10
(3) - =1; (4) - = .
解:x=-
m<-1且m≠-2　
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11. 若关于x的分式方程 + = 的解大于1,试确定m的取值范围.
解:原方程可化为 ,方程两边同乘(x+2)(x-2),得(x+2)+2(x-2)=x+2m,解得x=m+1.根据题意,得x>1且x≠2且x≠-2,即m+1>1且m+1≠2且m+1≠-2,解得m>0且m≠1
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12. (新考法·阅读理解)先阅读材料,再解答下面的问题:
方程x+ =2+ 的解是x1=2,x2= ;方程x+ =3+ 的解是x1=3,x2= .
(1) 观察上述方程的解,试猜想关于x的方程x+ =c+ 的解是 　x1=c,x2= 　.
(2) 把关于x的方程x+ =a+ 变形为方程x+ =c+ 的形式为 　x-1 ,方程的解是 　 x1=a,x2= 　.解决这个问题的数学思想是 　换元　.
x1=c,x2= 　
x-1+
　
x1=a,x2= 　
换
元　
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