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(共9张PPT)
第11章 二次根式
11.1　二次根式的概念
第1课时　二次根式
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 下列各式中,一定是二次根式的为(　D　)
A. - B. C. D.
2. (2025·南通)若 在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 　x≥3　.
3. (2025·河南)请写出一个使 在实数范围内有意义的x的值: 　0(答案不唯一)　.
4. (2025·高新区段考)如果 +|b+2|=0,那么(a+b)2025的值为 　-1　.
D
x≥3　
0(答案不唯
一)　
-1　
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(1) ()2;(2) ()2;(3) ;
解:8
(4) ;(5) (-4 )2;(6) ()2 .
解:
5. (教材变式)计算:
解:2
解:0.2
解:3a-b
解:48
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6. 若式子 + +1在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是(　C　)
A. x≥ B. x≤ C. x= D. x≠
7. 已知|x-4|与 互为相反数,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　B　)
A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 12
8. (2025·广州)要使代数式 有意义,则x的取值范围是 　x≥-1且x≠3　.
C
B
x≥-1且x≠3　
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9. 计算:
(1) = 　 　; (2) ()2-()2= 　-9 　.
　
-9 　
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10. (2024·上海)已知实数x满足 =1,则x的值为 　1　.
11. (教材变式)求使下列各式有意义的x的取值范围.
(1) - ;
(2) ;
解:x≤
解:x=6
(3) ;
(4) + .
解:x≤
解:1≤x≤2
1　
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12. 在实数范围内分解因式:
(1) 2-9b2; (2) 3y2-2 y+1; (3) 25y4-1.
解:(
y-1)
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13. (分类讨论思想)已知x,y为实数,且满足y= - +4,求x-y的值.
解:由题意,得 ∴ x2-9=0,解得x=±3,此时y=4.当x=3,y=4时,x-y=-1;当x=-3,y=4时,x-y=-7.∴ x-y的值为-1或-7
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13(共9张PPT)
第11章 二次根式
11.2　二次根式的乘除
第2课时　二次根式的除法
02
能力进阶
目
录
01
基础过关
03
思维拓展
1. 下列化简的结果错误的是(　B　)
A. = B. =1
C. = D. - =-
2. 若实数x满足 = ,则x的取值范围是(　B　)
A. x>-1 B. x≥3 C. x<-1或x>3 D. x<-1或x≥3
B
B
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3. 化简:
(1) = 　2　; (2) = 　 　.
4. 某建筑施工图纸上有一菱形的面积为10 cm2,一条对角线的长为4 cm,则另一条对角线的长为 　5 　cm.
2　
　
5 　
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(1) ; (2) ÷ ;
解:
(3) ÷ ; (4) ÷ .
解:2
5. (教材变式)计算:
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6. 计算3 ÷ 的结果是(　D　)
A. 1 B. 9 C. D.
7. 已知ab>0,a+b<0,给出下列各式:① = ;② · =1;③ ÷ =-b.其中,正确的有(　B　)
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
D
B
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8. 若把x 根号外的因式移入根号内,则转化后的结果是(　D　)
A. B. C. - D. -
9. 若实数x,y满足 = ,且x+y=5,则x的取值范围是 　 10. (新考法·结论开放题)如果 =a, =b,那么 用含a,b的代数式可以表示为 　答案不唯一,如 　.　
D
答案不唯一,如 　
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(1) (n>m>0);
(2) (a>0,b>0);
解:
解:3ab
(3) 4 ÷ ;
(4) 2 × ÷ .
解:-
解:1
11. 计算:
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12. 已知实数x,y满足y= +3,且x<1,化简y· ÷ · ,并求值.
解:由题意,可知y=
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12(共10张PPT)
第11章 二次根式
11.2　二次根式的乘除
第1课时　二次根式的乘法
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2025·广东)计算 × 的结果是(　B　)
A. 3 B. 6 C. D. 2
2. 下列各式化简后的结果为3 的是(　A　)
A. B. C. D.
3. (2025·广西)计算: × = 　 　.
4. 化简: = 　3 　;- = 　-4 　.
B
A
　
3 　
-4 　
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(1) × ;
(2) × × .
解:12
解:3
5. 计算:
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6. (教材变式)化简:
(1) ; (2) - ;
解:6
(3) ; (4) (x≥0,y≥0).
解:
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7. 如果实数x满足 · = ,那么x的取值范围是(　B　)
A. x≥0 B. x≥2 C. x≤2 D. 0≤x≤2
8. 若 =2 , =3 ,则a+b的值为(　B　)
A. 13 B. 17 C. 24 D. 40
9. 若 · 的值是一个整数,则正整数a的最小值是(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
10. 若实数a,b,c满足|a-2|+b2+4+ =4b,则 · · 的值为 　2 　.
B
B
B
2 　
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11. (教材变式)计算:
(1) × × ;
(2) 5 ·(-4 )(a≥0,b≥0).
解:-
解:-20a2b
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12. 化简:
(1) (a≥0,b≥0); (2) (m<0,m≥n).
解:9b
13. 已知一个长方体的长为4 ,宽为2 ,高为 ,求这个长方体的体积.
解:4
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14. 同学们,在二次根式一章中有一个有趣的现象: = = =2 ,根号里的因数2经过适当的演变,竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多,如 =3 , =4 等等.
(1) 猜想: = 　6 　;
(2) 请再写出1个具有“穿墙”性质的等式: 　 (答案不唯一)　;
6 　
(答案不唯一)　
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(3) 请用只含有一个正整数n(n≥2)的等式表示上述规律: 　 　.
　
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14(共8张PPT)
第11章 二次根式
11.2　二次根式的乘除
第3课时　分母有理化
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2025·苏州工业园区段考)下列各式中,属于最简二次根式的为(　C　)
A. B. C. D.
2. 下列整数x能使 为最简二次根式的为(　D　)
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
3. 将 化为最简二次根式,其结果是 　 　.
4. 计算: = 　 　; = 　 　; = 　 　.
C
D
　
　
　
　
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5. 化简下列各式,使被开方数中不含分母.
(1) ; (2) ;
解:
(3) ; (4) - .
解:
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6. 当x<0,y<0时,把 化为最简二次根式,结果为(　B　)
A. B. - C. - D. y
7. 已知实数a满足 = ,则a的取值范围是(　C　)
A. a≤0 B. a<0 C. 00
8. 设x>0,y>0,化简x ÷y · 的结果是 　 　.
B
C
　
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9. 计算 × 的结果为 　2 　,这个数落在了如图所示的数轴上的 　④　段(填序号).
2 　
④　
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10. (教材变式)计算:
(1) ; (2) (a>0);
解:
(3) (x>0,y≥0); (4) (a>0,b>0);
解:
(5) (a≥b>0); (6) (m>n).
解:
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11. 计算:
(1) 9 ÷ ×3 ; (2) · ·2 (a>0,b>0).
解:原式=9
解:
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11(共14张PPT)
第11章 二次根式
第11章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一　二次根式的相关概念及有意义的条件
1. (2025·福建)若 在实数范围内有意义,则实数x的值可以是(　D　)
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2
2. (2025·凉山)若式子 在实数范围内有意义,则m的取值范围是(　B　)
A. m≠-2 B. m≥1 C. m≤1 D. m≤1且m≠-2
3. 若二次根式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 　x≤ 　.
D
B
x≤ 　
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4. 如果 与最简二次根式 可以合并成一个二次根式,那么实数a的值为 　5　.
5　
考点二　二次根式的性质
5. 若a= ,b= ,则 的值为(　A　)
A. 2 B. 4 C. D.
6. 已知实数x,y满足y= + -3,则2xy的值为(　A　)
A. -15 B. 15 C. - D.
7. 已知2,5,m为某三角形三边的长,则 + 的值为 　4　.
A
A
4　
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考点三　二次根式的运算
8. (2025·徐州)下列计算错误的是(　A　)
A. + = B. × =
C. ÷ =2 D. (- )2=3
9. (2025·德阳)计算 - +|2-2 |的结果为 　7　.
A
7　
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(1) - ÷ ; (2) (+3)(-3)-(-1)2;
解:-
(3) 3 -2x + (x>0); (4) |- |- + - .
解:-
10. 计算:
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11. 已知x= +1,求代数式x2-2x+2的值.
解:∵ x= ,∴ (x-1)2=2,即x2-2x+1=2,∴ x2-2x=1,∴ x2-2x+2=1+2=3
12. 设6- 的整数部分为a,小数部分为b,求(2a+ )b的值.
解:∵ 3< )2=6
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考点四　二次根式的简单应用
13. (2025·南通)我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式:一个三角形的三边长分别为a,b,c,三角形的面积S= .若a=2 ,b=3,c=1,则S的值为 　 　.
　
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第14题答案
(1) △ABC的周长与面积;
(1) 如图,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D. ∵ AC=2,BD=2,4 ×2×2=2
14. 如图,每个小正方形的边长为1,请在网格内画△ABC,使它的顶点都在格点上,且三边长分别为2,4 , .求:
解:4 ,结合勾股定理,画出△ABC如图所示(画法不唯一).
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(2) △ABC中最长边上的高.
第14题答案
(2) 由图,可知△ABC的最长边为AB=2
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15. 已知实数x,y满足|4x-8|+ =0,当y>0时,m的取值范围是(　C　)
A. 016. 若x,y都是实数,且满足y= + +3,则xy的立方根是 　2　.
C
2　
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(1) · ,其中x=3- ;
解:原式=
(2) ÷ ,其中x= -4.
解:原式= +2
17. 先化简,再求值:
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18. (新考法·阅读理解)阅读材料:
将边长分别为a,a+ ,a+2 ,a+3 的正方形的面积分别记为S1,S2,S3,S4,则S2-S1=(a+ )2-a2=[(a+ )+a]·[(a+ )-a]=(2a+ )· =b+2a .例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2 .
根据以上材料,解答下列问题:
(1) 当a=1,b=3时,S3-S2= 　9+2 　,S4-S3= 　15+2 　.
9+2 　
15+2 　
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(2) 当a=1,b=3时,把边长为a+n 的正方形的面积记作Sn+1,其中n是正整数,请你根据(1)中的计算结果猜测Sn+1-Sn等于多少,并证明你的猜想.
解:(2) Sn+1-Sn=6n-3+2 　Sn+1-Sn=(1+ n)2-[1+(n-1) ]2=[2+(2n-1)· ]× =3(2n-1)+2 =6n-3+2
(3) 当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.
解:(3) 当a=1,b=3时,T=t1+t2+t3+…+t50=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50=S51-S1=(1+50 )2-1=7500+100
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18(共8张PPT)
第11章 二次根式
11.3　二次根式的加减
第1课时　二次根式的加减运算
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 下列根式中,化简后不能与 合并的是(　C　)
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是(　A　)
A. - = B. + =
C. 3 - =3 D. 3+2 =5
3. 有下列二次根式:① ;② ;③ ;④ ;⑤ .其中,是同类二次根式的为 　①②　(填序号).
4. 若最简二次根式 与 是同类二次根式,则a的值为 　2　.
C
A
①②　
2　
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5. (教材变式)计算:
(1) -7 ; (2) - (x≥0);
解:2
(3) (2025·苏州工业园区期末) - +3 ;
解:2
(4) - + .
解:4
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6. (2024·重庆A卷)已知m= - ,则实数m的取值范围是(　B　)
A. 27. 若实数x满足 +2 +x =10,则x的值为(　C　)
A. 4 B. 6 C. 2 D. 8
8. (分类讨论思想)如果等腰三角形的一边长为2 ,周长为4 +7,那么这个等腰三角形的腰长为(　A　)
A. + B. 2 C. 7 D.
B
C
A
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9. 一个矩形的长、宽分别为 cm, cm,则它的周长为 　12 　cm.
10. (易错题) 与最简二次根式 是同类二次根式,则a的值为 　2　.
11. 计算:
(1) 4 + - + ; (2) 2 - - ;
解:7
(3) - - ; (4) - +2 (x>0).
解:
12 　
2　
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12. (新考法·阅读理解)已知a为正整数,且 与 能合并,试写出三个满足条件的a的值.
解:∵ 与 能合并,∴ 设 =m (m为正整数),∴ 2a+1=7m2,∴ a= .又∵ a为正整数,∴ 7m2-1为偶数,∴ m为奇数,∴ 当m=1时,a=3;当m=3时,a=31;当m=5时,a=87.综上所述,满足条件的a的值可以为3,31,87(也可取m为其他正奇数,得出不同的答案).
请根据上面的信息,解决问题:
已知a为正整数,且 与 能合并,试写出三个满足条件的a的值.
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解:∵ .又∵ a为正整数,∴ 5m2-3为偶数,∴ m为奇数,∴ 当m=1时,a=1;当m=3时,a=21;当m=5时,a=61.综上所述,满足条件的a的值为1,21,61(也可取m为其他正奇数,得出不同的答案)
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12(共9张PPT)
第11章 二次根式
11.3　二次根式的加减
第2课时　二次根式的混合运算
01
基础过关
03
思维拓展
目
录
02
能力进阶
1. 计算(2 + )× 的结果为(　C　)
A. 4 B. 6 C. 2 +2 D. 4 +2
2. 下列各式计算正确的是(　C　)
A. ×(+ )= × =7 B. (+ )×(- )=5-
C. (- )×(+ )=3-2=1 D. (- )2=5-3=2
C
C
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3
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5
6
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8
9
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3. 计算:
(1) (2025·河北)(+ )(- )= 　4　;
(2) (2-2 )2= 　 　;
(3) × - = 　 　;
(4) ÷ = 　3　.
4. 已知x= +1,y= -1,则x2-y2的值为 　4 　.
4　
　
　
3　
4 　
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(1) (2 - )× ;
(2) ;
解:2 -2
解:8
(3) (3 + )×(-3 );
(4) 14 -(+1)2.
解:-12
解:-8
5. 计算:
1
2
3
4
5
6
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6. 已知m=1+ ,n=1- ,则 的值为(　C　)
A. 9 B. ±3 C. 3 D. 5
7. 计算(2- )2025×(2+ )2026的结果为(　D　)
A. 2+ B. 2- C. -1 D. -2-
8. 计算:(+ )2- = 　5　; = 　 　.
9. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为(+ )cm,(3 -3)cm,那么这个直角三角形的面积为 　　　cm2.
C
D
5　
　
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10. 如果a+b=2+ ,ab=2 ,那么a-b的值为 　2- 　.
11. 计算:
(1) 2 × ; (2) (5 + -7 )÷ ;
解:36-
(3) ; (4) (2 +5 )×(2 -5 )-(- )2.
解:
2- 　
-37
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12. (2025·广州)求代数式 · 的值,其中m= -1.
解:原式=
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13. 从- , , 中任意选择两个数,分别填在算式(□+○)2÷ 里面的“□”与“○”中,并计算该算式的结果.
解:若选择的数是- +6
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13(共8张PPT)
第11章 二次根式
11.1　二次根式的概念
第2课时　二次根式的性质
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2025·绥化改编)下列计算正确的是(　A　)
A. =5 B. =-5
C. =±5 D. =±5
2. 已知m为任意实数,下列各式中,一定成立的是(　D　)
A. ()2=m B. =m+1
C. =m D. ()2=m2+1
3. 若实数x满足 =33,则x的值为 　±33　.
4. 如果实数a满足 =1-2a,那么a的取值范围是 　a≤ 　.
A
D
±33　
a≤ 　
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5. 如图,数轴上点A表示的数为a,化简:a+ = 　2　.
第5题
2　
6. (教材变式)计算:
(1) ;(2) ;(3) - .
解:
解:-2x-1
-3
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7. 若1A. 2x-4 B. -2 C. 4-2x D. 2
8. (2025·昆山段考)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则|a-b|- 的结果是(　C　)
A. 2a-b B. b-2a C. b D. -b
9. 已知化简 + 的结果为2,则实数a应满足的条件为(　B　)
A. a≥5 B. 3≤a≤5 C. a≤3 D. a=3或a=5
D
C
B
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10. 若实数m满足 =()2,则m的取值范围是 　m≥-4　.
11. 若 +x=2,则x的取值范围是 　x≤2　.
12. 计算:
m≥-4　
x≤2　
(1) ×(- )2;
(2) - ;
解:2
解:0
(3) - ;
(4) - (2解:-4x2
解:5x-16
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13. (数形结合思想)已知实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,化简:|a|- + - .
第13题
解:由数轴,可知c1
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14. (新考法·探究题)已知y= -x+5,当x的值分别为1,2,3,…,2026时,求对应y的值的总和.
解:∵ =|x-4|,∴ 分两种情况讨论:① 当x<4时,y=|x-4|-x+5=4-x-x+5=-2x+9.当x=1时,y=7;当x=2时,y=5;当x=3时,y=3.② 当x≥4时,y=|x-4|-x+5=x-4-x+5=1.∴ 当x的值分别为1,2,3,…,2026时,对应y的值的总和为7+5+3+1×(2026-3)=2038
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