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2026年中考数学解密之一元一次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2025 湖北模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　）
A．240x＝150（x﹣12） B．150x＝240（x+12）
C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
2．（2025 中原区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　）
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． D．
3．（2025 织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则
4．（2025 遵义模拟）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，则下列方程正确的是（　　）
A．200x＝50（120﹣x） B．8×200x＝50（120﹣x）
C．200x＝8×50（120﹣x） D．8×50x＝200（120﹣x）
5．（2025 鲤城区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　）
A． B．
C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x
6．（2025 石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（　　）
A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3
B．可得方程：60x＝100x﹣100
C．x的值为250
D．可得方程：
7．（2025 岳阳二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为（　　）
A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x+1）＝3x﹣9
C．4（x﹣1）＝3x﹣9 D．4（x﹣1）＝3x+9
8．（2025 新华区校级三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程，下列判断正确的是（　　）
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
淇淇：．
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
9．（2025 黄冈校级模拟）如表是小刘的手机套餐资费标准．
月基础费 （元） 套餐内免费主叫（min） 套餐外主叫费用（元/min） 被叫
套餐 58 150 0.25 免费
若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，则可列方程为（　　）
A．0.25×（x﹣150）+58＝98 B．0.25x+58＝98
C．（x﹣150）+58＝98×0.25 D．x+58＝98×0.25
10．（2025 兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝　 　 ．
12．（2025 洞口县校级模拟）已知xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 　 　 ．
13．（2025 乾县校级模拟）一次足球比赛共15轮（即每队均赛15场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某中学足球队获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学平的场数是　 　 ．
14．（2025 朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：　 　 ．
15．（2025 东台市模拟）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　 　 ．
16．（2025 碑林区校级一模）父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲 　 　 岁．
17．（2025 吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　 　 ．
18．（2025 宿城区校级一模）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　 　 ．
19．（2025 池州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为ts．
（1）当点P和点Q相遇时，t的值为　 　 ；
（2）连接DQ，在点P和点Q不重合的情况下，连接AP．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形ABCD的面积的，且0＜t≤2，则t的值为　 　 ．
20．（2025 永寿县校级三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”问有多少牧童多少竹？若设牧童有x人，则所列方程为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 晋中二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．2024年吕梁和晋中为谷子主要种植区，晋谷21号和长农35号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试验田A，B各30亩，A试验田种植晋谷21号，B试验田种植长农35号，收获后统计发现，长农35号亩产量是晋谷21号的1.2倍，两块试验田单次共收获谷子23100千克，求晋谷21号的亩产量是多少千克？
22．（2025 澄迈县一模）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
23．（2025 剑河县校级模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶．
素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶．
素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的1.5倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元．
素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元．
问题解决
任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？
24．（2025 安徽模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？
25．（2025 长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 　 　 分钟，m＝ 　 　 ；
（2）求AB所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 　 　 分钟．
2026年中考数学解密之一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C B B D C A B
一．选择题（共10小题）
1．（2025 湖北模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（　　）
A．240x＝150（x﹣12） B．150x＝240（x+12）
C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．网版权所有
【专题】行程问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【解答】解：由题意得240x＝150（x+12）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2025 中原区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　）
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． D．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x人，
由题意，得8x﹣3＝7x+4．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
3．（2025 织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则
【考点】等式的性质．网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据等式的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：A．若ac2＝bc2，则a＝b错误，当c＝0时，a不一定等于b，故选项A错误；
B．若a＝b，则ac2＝bc2，故选项B正确；
C．若a+3＝b+3，则a＝b，故选项C正确；
D．若a＝b，则，故选项D正确．
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
4．（2025 遵义模拟）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，则下列方程正确的是（　　）
A．200x＝50（120﹣x） B．8×200x＝50（120﹣x）
C．200x＝8×50（120﹣x） D．8×50x＝200（120﹣x）
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设生产茶杯的工人有x人，则生产茶壶的工人有（120﹣x）人，则一天能做200x个茶杯，50（120﹣x）个茶壶，由8个茶杯和1个茶壶为一套，即可列式．
【解答】解：根据题意得：200x＝8×50（120﹣x），
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，熟练根据题意列出式子和等式是解题的关键．
5．（2025 鲤城区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　）
A． B．
C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据孩童人数不变列方程即可．
【解答】解：设梨有x个，则人数可表示为或，
由题意可列方程．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．
6．（2025 石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（　　）
A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3
B．可得方程：60x＝100x﹣100
C．x的值为250
D．可得方程：
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】A．利用速度之比＝相同时间内的路程之比，可得出两人的速度比为100：60＝5：3；
B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程；
C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值；
D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程．
【解答】解：A．∵在相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步，
∴两人的速度比为100：60＝5：3，选项A不符合题意；
B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
根据题意得：，
即60x＝100x﹣10000，选项B符合题意；
C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
根据题意得：，
即60x＝100x﹣10000，
解得：x＝250，选项C不符合题意；
D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
根据题意得：，
即，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2025 岳阳二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为（　　）
A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x+1）＝3x﹣9
C．4（x﹣1）＝3x﹣9 D．4（x﹣1）＝3x+9
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车，每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，4（x﹣1）＝3x+9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2025 新华区校级三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程，下列判断正确的是（　　）
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
淇淇：．
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
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【答案】C
【分析】设总人数为x人，根据两次分钱的总银两数相同列出方程7x+4＝9x﹣8；设总银两数为y两，根据总人数相同，列出方程，然后进行判断即可．
【解答】解：嘉嘉设总人数为x人，嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同；淇淇设总银两数为y两，淇淇所列方程用的相等关系是总人数相同，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
9．（2025 黄冈校级模拟）如表是小刘的手机套餐资费标准．
月基础费 （元） 套餐内免费主叫（min） 套餐外主叫费用（元/min） 被叫
套餐 58 150 0.25 免费
若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，则可列方程为（　　）
A．0.25×（x﹣150）+58＝98 B．0.25x+58＝98
C．（x﹣150）+58＝98×0.25 D．x+58＝98×0.25
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，
则可列方程为0.25×（x﹣150）+58＝98，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．
10．（2025 兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝　8　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】设第三行第一个方格中的数为a，根据第三竖列及对角线上的三个数的和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设第三行第一个方格中的数为a，如图所示．
根据题意得：a+x+5＝a+4+9，
即x+5＝4+9，
解得：x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．（2025 洞口县校级模拟）已知xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 　2　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】解：∵方程2xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1＝1，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义．解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
13．（2025 乾县校级模拟）一次足球比赛共15轮（即每队均赛15场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某中学足球队获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学平的场数是　9　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】9．
【分析】设所负场数为x场，则胜2x场，平（15﹣3x）场，等量关系为：胜的场数的得分+平的场数的得分＝21，依此列出方程求解即可．
【解答】解：设所负场数为x场，则胜2x场，平（15﹣3x）场，由题意可得：
3×2x+1×（15﹣3x）＝21，
解得x＝2，
∴15﹣3x＝9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出胜、负、平所得总分是解题关键．
14．（2025 朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：　7x+7＝9（x﹣1）　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7x+7＝9（x﹣1）．
【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：根据题意得：7x+7＝9（x﹣1），
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
15．（2025 东台市模拟）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　4　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图像可得a﹣6＝3﹣5，计算求出结果即可．
【解答】解：根据图可知，a﹣6＝3﹣5，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了整式的加减，有理数的加减运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则．
16．（2025 碑林区校级一模）父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲 　54　 岁．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设现在父亲x岁，然后根据题意可知：他们的年龄差为（79﹣x）岁，再根据题意可以列出方程x﹣（79﹣x）＝4+（79﹣x），然后求解即可．
【解答】解：设现在父亲x岁，
由题意可得：x﹣（79﹣x）＝4+（79﹣x），
解得x＝54，
答：现在父亲54岁，
故答案为：54．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出年龄差，列出相应的方程．
17．（2025 吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　3（x﹣2）＝2x+9　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3（x﹣2）＝2x+9．
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣2）＝2x+9．
故答案为：3（x﹣2）＝2x+9．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．（2025 宿城区校级一模）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　2021　 ．
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【专题】整式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，把x＝3代入方程ax2﹣bx＝6，整理得3a﹣b＝2，再把2025﹣6a+2b变形为2025﹣2（3a﹣b），把3a﹣b＝2代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵x＝3是方程ax2﹣bx＝6的解，
∴a×32﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
∴2025﹣6a+2b
＝2025﹣2（3a﹣b）
＝2025﹣2×2
＝2025﹣4
＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查了方程的解，代数式求值，掌握方程的解的定义，利用整体代入法是解题的关键．
19．（2025 池州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为ts．
（1）当点P和点Q相遇时，t的值为　或4　 ；
（2）连接DQ，在点P和点Q不重合的情况下，连接AP．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形ABCD的面积的，且0＜t≤2，则t的值为　或　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）或4；
（2）或．
【分析】（1）由题意知BP＝tcm，CQ＝2tcm，当点P和点Q第一次相遇时，BP+CQ＝BC，列方程计算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可；
（2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，再分两种情况讨论：当，即点P，Q相遇前；当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可．
【解答】解：（1）由题意知BP＝tcm，CQ＝2tcm，
①当点P和点Q第一次相遇时，BP+CQ＝BC，即得一元一次方程，t+2t＝4，
整理得，3t＝4，
解得；
②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，
此时t＝4÷1＝4（s），
即当点P和点Q相遇时，t的值为或4；
故答案为：或4；
（2）如图，
矩形ABCD的面积为3×4＝12（cm2），
∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，
当，即点P，Q相遇前，
PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝4﹣t﹣2t＝（4﹣3t）cm，
则，
解得；
当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，
PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣4＝（3t﹣4）cm，
则3＝8，
解得．
综上所述，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形ABCD的面积的．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，关键是根据题意找到关系式．
20．（2025 永寿县校级三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”问有多少牧童多少竹？若设牧童有x人，则所列方程为　6x+14＝8x﹣2　 ．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】6x+14＝8x﹣2．
【分析】设设牧童有x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意可列方程为：6x+14＝8x﹣2，
故答案为：6x+14＝8x﹣2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 晋中二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．2024年吕梁和晋中为谷子主要种植区，晋谷21号和长农35号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试验田A，B各30亩，A试验田种植晋谷21号，B试验田种植长农35号，收获后统计发现，长农35号亩产量是晋谷21号的1.2倍，两块试验田单次共收获谷子23100千克，求晋谷21号的亩产量是多少千克？
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【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】晋谷21号的亩产量是350千克．
【分析】设晋谷21号的亩产量是x千克，则长农35号的亩产量是1.2x千克，结合题意，构建一元一次方程30（x+1.2x）＝23100，解方程，即可求解．
【解答】解：设晋谷21号的亩产量是x千克．
根据题意，得：30（x+1.2x）＝23100，
解得x＝350．
答：晋谷21号的亩产量是350千克．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，理解题意、正确列出方程是解题关键．
22．（2025 澄迈县一模）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
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【专题】工程问题；应用意识．
【答案】每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物100吨和80吨．
【分析】设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x﹣20）吨，那么3台A型机器人每天共搬运货物3x吨，2台B型机器人每天共搬运货物2（x﹣20）吨，于是列方程得3x+2（x﹣20）＝460，解方程求出x的值，再求出代数式x﹣20的值即可得到问题的答案．
【解答】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x﹣20）吨，
根据题意得3x+2（x﹣20）＝460，
解得x＝100，
∴x﹣20＝80，
答：每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物100吨和80吨．
【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示3台A型机器人每天搬运货物的总吨数及2台B型机器人每天搬运货物的总吨数是解题的关键．
23．（2025 剑河县校级模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶．
素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶．
素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的1.5倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元．
素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元．
问题解决
任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购1.5x千克，根据素材1，素材2，列出方程，即可求解；
设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为（m+40）元，根据素材3列出不等式，即可求解．
【解答】解：任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购1.5x千克，根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
1.5x＝45，
答：小红家茶行红茶采购30千克，绿茶采购45千克；
任务2：由任务1得：每千克绿茶的进价为（元），每千克红茶的进价为160﹣30＝130（元），
设每千克绿茶的售价为m元，
45（m﹣160）+30（m+40﹣130）≥7425，
∴m≥231，
答：每千克绿茶的售价至少为231元．
【点评】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键．
24．（2025 安徽模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】木条长为6.5尺
【分析】设木条长为x尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设木条长为x尺，
∴
∴x＝6.5；
答：木条长为6.5尺．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
25．（2025 长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 　20　 分钟，m＝ 　3800　 ；
（2）求AB所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 　110　 分钟．
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【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意分别列式计算即可；
（2）根据待定系数法求出AB所在直线对应的函数表达式即可；
（3）设乙机器人工作时间为n分钟，根据该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）从函数图象可知：A（40，2200），B（60，2700），从40分钟到60分钟，这段时间只有乙机器人工作，
∴甲机器人停工保养的时间为：60﹣40＝20（分钟），
甲、乙两台机器人每分钟分拣快递的件数为：2200÷40＝55（件），
∴m＝2700+55×（80﹣60）＝3800（件），
故答案为：20，3800；
（2）设AB所在直线对应的函数表达式为：y＝kx+b，
代入A（60，2700），B（80，3800），
得，
解得：，
∴y＝55x﹣600，
即AB所在直线对应的函数表达式为y＝55x﹣600；
（3）设乙机器人工作时间为n分钟，
由题意得：5450＝2700+55×（n﹣60），
解得：n＝110，
故答案为：110．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一次函数关系式是解题的关键．

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