资源简介

第 5讲 勾股定理与全等构造
板块一 勾股定理与全等构造(一)倍长(类)中线
模型 1 倍长中线 模型 2 倍长类中线
典 例 精 讲
题型① 倍长中线
【例】如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC 边上的中线AD=6.求 BC 的长.
实 战 演 练
题型② 间接倍长中线
1.如图,在△ABC 中,AB=5,BC=3,过点A作AD∥BC,∠CAD=90°,AD=8,E 是BD 的中点.求AE 的长.
题型③ 倍长类中线
2.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,P,Q分别在AC,BC 上,M 是AB 的中点,且 若AP=4,BQ=6,求 PQ 的长.
板块二 勾股定理与全等构造(二)一线三垂直
模型ǐ 外 K型 模型2 内 K型 △ACD≌△CBE,
典 例 精 讲
题型① 构内K型
【例1】如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,∠ADC=90°,CD=2,AD=4,则BD 的长为 .
题型② 构外K型
【例2】如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,AD=5 连接BD.求 BD 的长.
实 战 演 练
1.如图,在四边形 ABCD 中,AB=3 ,BC=7,CD=5,∠ABC=∠ADC=45°.求 BD 的长.
2.如图,在四边形ABCD 中, .求 的面积.
板块三 勾股定理与全等构造(三)对角互补
模型1 等腰直角对直角 双垂或构手拉手→ 模型 2 等边对120°角 条件： 双垂或构手拉手→AD+AB=AC.
典 例 精讲
题型① 90°对 90°
【例】如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD.
(1)求证:
(2)若 BD=BA,BC=1,求四边形 ABCD 的的面积.
实 战 演 练
题型② 60°对120°
如图,在四边形 ABCD 中,AD=CD,∠ADC=120°,∠CBA=60°,BC=1,AB=3.求 BD的长.
板块四 勾股定理与全等构造(四)夹半角
模型1 90°夹 45° 条件:等腰 Rt△ABC. 方法:作CF⊥CD,且 CF=CD. 结论： 模型2 120°夹60° 条件： 方法:作CF=CD, 结论：
典 例 精 讲
题型 ① 90°夹 45°
【例1】如图,在等腰 Rt△ABC中,∠ACB=90°,点 D,E 在AB 上,∠DCE=45°,AD=3,BE=4,则AC 的长为 .
题型② 120°夹 60°
【例2】如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,点 D,E 都在BC 边上,∠DAE=60°, ,则∠AED 的度数为 .
实 战 演 练
题型③ 60°夹30°
1.如图,D,E 为等边△ABC 的边 BC上两点, ,则 BD 的长为 .
题型④ 135°夹 90°
2.如图,D,E是△ABC 的边AB 上两点,∠ACB=135°,∠DCE=90°,CD=CE,AD=2,DE=3,则 BE 的长为
板块五勾股定理与全等构造(五)构双等边三角形
条件:等边△ABD. 方法:作等边△ACE. 结论:①△ABC≌△ADE; ②∠CDE=∠BAD+∠BCD. 条件:等边△ABC. 方法:作等边△DAE. 结论:①△ABD≌△ACE;②∠1=∠EAD=60°. 条件：等边 方法:作等边△BPE. 结论:∠PCE=90°.
典 例 精 讲
题型① 点在等边三角形内
【例1】如图,P 为等边△ABC 内的一点, 求∠APC 的度数.
第5讲 勾股定理与全等构造
板块一 勾股定理与全等构造(一)倍长(类)中线
典例精讲
【例】解:延长 AD 至点 F,使 DF =DA,连接CF,
∵∠ADB=∠FDC,BD=CD,
∴△DFC≌△DAB,∴FC=AB=5,
∴∠F=90°,
实战演练
1.解:延长AE 交 BC 的延长线于点 F.
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠EBF,∠DAE=∠F,∠ACB=∠CAD=90°.
∵BE=ED,
∴△DAE≌△BFE,
∴BF=AD=8,AE=FE,
∴CF=BF-BC=5,
2.解:延长QM 至点 F,使 MF=QM,连接 PF,AF.易证△AMF≌△BMQ,则AF=BQ=6,∠B=∠MAF,
∴AF∥BC,
∵PM⊥FQ,且QM=MF,
∴PQ=PF,过点 F 作 CA 的垂线,垂足为D，
∵∠C=60°,
∴∠DAF=60°,在 Rt△DAF 中,
∴Rt△DPF 中,
板块二 勾股定理与全等构造(二)一线三垂直
典例精讲
【例1】2 解:过点 B 作 BE⊥CD,交CD的延长线于点E，可证△CEB≌△ADC,
∴BE=CD=2,CE=AD=4,
∴DE=CE-CD=2,
【例2】解:连接 AC,过点 D 作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于点 E.
∵∠ABC=90°,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACB+∠DCE=90°.
∵∠ACB+∠CAB=90°,
∴∠CAB=∠DCE.
∵∠ABC=∠E=90°,AC=CD=5,
∴△ABC≌△CED,
∴CE=AB=3,DE=BC=4,
∴BE=BC+CE=7,
实战演练
1.解:分别过点 A ,D 作BC 的垂线,垂足为F,E,连接AC.
∵∠ABC=45°,AF⊥BC,
∴FC=BC-BF=4,
∵CD=5,∴AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC=45°,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACF+∠DCE=90°.
∵AF⊥BC,DE⊥BC,
∴∠AFC=∠E=90°,
∴∠ACF+∠CAF=90°,
∴∠CAF=∠DCE,
∴△ACF≌△CDE,
∴CE=AF=3,DE=CF=4,
∴BE=BC+CE=10,
2.解:过点 A 作 AO⊥BD 于点O,作CE⊥AO交AO 的延长线于点 E.
∵AB=AD,
∵∠BAO + ∠EAC = ∠ACE +∠EAC=90°,
∴∠BAO=∠ACE.
∵∠AOB=∠AEC=90°,AB=AC,
∴△ABO≌△CAE,
∴AE=OB=12,EO=7,
∵∠AEC=∠AOD=90°,
∴BD∥EC,
板块三 勾股定理与全等构造(三)对角互补
典例精讲
【例】解:(1)过点 D 作 DF⊥BD,交BC 的延长线于点 F，
∴∠ADB=∠CDF.
∵∠A+∠DCB+∠ADC+∠ABC=360°,∠ADC=∠ABC=90°,
∴∠A+∠DCB=180°.
∵∠DCF+∠DCB=180°,
∴∠A=∠DCF.
∵AD=CD,
∴△ADB≌△CDF,
∴CF=AB,DF=DB,
∴AB+BC=CF+BC=BF,
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△CBD =
实战演练
解:延长BA 至点 E,使 AE=BC=1,连接DE,则 BE=AB+AE=4.过点 D 作DH⊥AB,垂足为 H,∵ ∠BAD + ∠C + ∠ABC +∠ADC = 360°, ∠ABC = 60°,∠ADC=120°,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵∠BAD+∠DAE=180°,
∴∠C=∠DAE.
∵AD=CD,AE=BC,
∴△BCD≌△EAD,
∴DE=DB,∠BDC=∠ADE,
∴∠BDE=∠ADC=120°,
∴∠E=∠DBE=30°.
∵DH⊥AB,∴DE=2DH,
∵DB=DE,DH⊥BE,
板块四勾股定理与全等构造(四)夹半角
典例精讲
【例1】6 解:过点 C 作CF⊥CE,使CF =CE,连接 FA,FD,可得∠FCA=∠BCE,
可证△FCA≌△ECB,FA = BE=4,∠FAC=∠B=∠CAB=45°,
，证△CDF≌△CDE,可得DE=DF,
∴DE=5,AB=12,AC=6
【例2】45° 解:向右作∠DAS=120°,AD=AS,连接ES.
先证△ADE≌△ASE,则 DE=SE,又∵SC=BD,由 得
∴△SEC 为直角三角形,
∴∠DES=90°,
又∵∠AED=∠AES,∴∠AED=45°.
1.3 解:在 AE 右侧作∠DAF=60°,AF=AD,连接 EF,FC,作 EH⊥FC 于点 H.则△CAF≌△BAD,∴CF=BD,∠ACF=∠B=60°.
由△ADE≌△AFE,得
∴BD=CF=FH-CH=3.
2. 解:设 EB=x,在 BC 上方作∠BCF=90°,CF= BC,连接 FA,FE,FB,则△FCE≌△BCD,
∴FE=BD=3+x,
∠FEC=∠BDC=45°,
∴∠FEA=90°,
可得
∴△ACB≌△ACF,
∴AF=AB=5+x,
板块五勾股定理与全等构造(五)构双等边三角形典例精讲
【例1】解:在 BP 下方作等边△BPD,连接CD,
∴∠BPD=60°,PD=PB=2
∵△BAP≌△BCD,
∴AP=CD=4,
∵∠BPD=60°,∴∠BPC=150°,
∵CD=4,PC=2,∴∠PDC=30°.
∴∠BDC=∠APB=90°.
∴∠APC 的度数为 90°=120°.
【例2】解:以 BD 为边在BD 左侧作等边△BDE,连接AE,
证△ADE≌△CDB,
∴∠EAD=∠BCD,AE=BC=5.
∵在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠BAD+∠BCD=360°-120°=240°,即∠EAD+∠BAD=240°,
∴∠EAB=120°.过点 E 作 EF ⊥AB,交 BA 的延长线于点 F,
则
解:在CD 下方作等边△CDE,连接AE.
∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形,
∴DC= DE=CE=3, AC=BC,∠ACB=∠DCE=∠CDE=60°,
∴∠ADE = ∠ADC +∠CDE =90°,∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD=5,
板块六勾股定理与全等构造(六)构双等腰直角三角形
典例精讲
【例1】解:过点 A 向上作AM⊥AD,且AM=AD,连接CM,DM,则△ABD≌△ACM,MD= AD=5 ,∴CM=BD,
又∵∠ADM=45°,∠ADC=45°,∴∠CDM=90°,
【例2】解:将△ACD 绕点A 顺时针旋
转 90°到△ABD',连接 DD',
则△ACD≌△ABD',
∴CD=BD',AD=AD',
△ADD'为等腰直角三角形，
∵∠ADB=75°,
在△BDD'中,BD-DD'-2,
解:在CP 右侧作CE⊥CP,CE=CP,连接PE,BE,
∴∠CEP=∠CPE=45°,
∵∠ACB=∠PCE=90°,
∴∠ACP=∠BCE.
∵AC=BC,∴△ACP≌△BCE,
∴BE=AP=3,∠APC=∠CEB.
∴∠PEB=90°,
∴∠APC=∠CEB=135°.
板块七 勾股定理与全等构造(七)构120°的双等腰三角形
典例精讲
【例】 解:在 OC 右侧作∠DOC =∠AOB=120°,DO=CO=1,
可得
可证△ADO≌△BCO,∠ADO =∠BCO=60°,∠ODC=30°,
∴∠ADC=90°,
在 Rt△ADC 中,AD=BC,过点 O作OH⊥BC 于点H.
1.解:将△APC 绕点 A 顺时针旋转120°,得到△AP'B,连接 PP',过点 A作AH⊥PP'于点 H,可得∠APP'=
∵∠APB=60°,∴∠BPP'=90°,
2.解:把△ABD 绕点 A 逆时针旋转120°得到△ACE,
连接 ED,过点 E 作 EG⊥CD 于点G,则AE=AD,∠EAD=120°,
∴∠ADE=∠AED=30°,
∴∠EDG=60°,设
AD=2x,则
典例精讲
【例1】解:延长 CB 至点 E,使 EB=AB=3,连接AE,作AD⊥BC 于点 D,
∴∠EAB=∠E,
∴∠ABC=2∠E=2∠C,
∴∠E=∠C,∴AE=AC.
∴BD=BC-CD=1,
【例2】解:过点 A 作 AE⊥AB 交 BC的延长线于点 E，
∴∠EAC=90°-∠CAB=∠B.
∵∠CAD=∠B,∴∠EAC=∠CAD.
∵∠ACE=∠ACD=90°,
∴∠E=∠ADE,∴AE=AD=3,
∵BE·AC=AE·AB,
∴5AC=12,∴AC=
实战演练
1.3 解:过点 A 作AE⊥AB 交 BC 的延长线 于 点 E， ∠CAD,∠E=90°-∠B,
∴∠ADE=∠E,
∴BD=3.
2.解:延长 DC 至点E,使 EC=CD,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠ACD=90°,
∴AE=AD,
∴∠EAC=∠DAC,
设∠CAD=x,
则
∴EB=AB=5,
∴CD=EC=5-4=1.

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