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第 4讲 勾股定理与数学思想
板块一 方程思想(一)单勾列方程
条件:∠C=90°,DE 垂直平分AB. 结论： 条件： 结论：
典 例 精 讲
题型①等腰转化列方程
【例1】如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,AB 的垂直平分线分别交AB,BC 于点E,D.求 BD 的长.
题型② 全等转化列方程
【例2】如图,在四边形ABCD,CD∥AB,∠D=90°,AB=BC,CD=2,AD=4,AE⊥BC于点 E.求 BE 的长.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5. D,E 分别为BC,AB 上一点,将 沿DE 折叠,使点 B 落在边AC 的中点B′处.求 CD 的长.
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在边AC上,且AD=BD,过点 A 作AE⊥BD,交 BD 的延长线于点E，若 求 AC 的长.
板块二 方程思想(二)双勾列方程
条件:已知△ABC. 方法:过点 A 作AD⊥BC,垂足为 D. 结论： 条件:∠B=∠D=90°. 方法：连接AC. 结论：
典 例 精讲
题型① 共高用双勾
【例1】如图,在△ABC中,AB=7,AC=8,BC=10,则 S△ABC=
题型② 等斜边用双勾
【例2】如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=9,BC=8,CD=7,M是AD 的中点,过点 M 作AD 的垂线,交 BC 于点N.求 BN 的长.
实 战 演 练
题型③ 共斜边用双勾
1.如图, 在△ABC中,AB=AC, D为BC边上一点,∠EAD=∠EBC=∠BAC=90°.若CD=3BD, 则AB 的长为 .
题型④ 等高用双勾
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,点O,D,E,F 分别在△ABC 的边上,四边形ODEF 为长方形,AO=3,OB=CD=4.求 AF 的长.
板块三 整体思想(一)
条件:∠C=90°,BD,AE 为中线. 结论： 条件:AB=AC. 方法:作AH⊥BC 于点H. 结论：
典 例 精 讲
题型① 整体代换
【例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3CD,BC=3CE,AB=3 .求 的值.
题型② 和差代换
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,P 为BC上一点.若BP·PC=2,求 的值.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D 为AB的延长线上一点,CD=2,求 的值.
2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,P 是AC 的中点.若AD=3,DB=5,求 BC 的长.
板块四 整体思想(二)
条件： 结论： 条件： 结论：
典 例 精 讲
【例1】如图,D,E 分别为 的边 BC,AC 上一点, 求 的值.
【例2】如图,在四边形ABCD 中,AC⊥BD,垂足为O.若AD=5,CD=3,求 的值.
实 战 演 练
1.如图,D,E 分别为AC,BC 上一点, 则 AB 的长为 .
2.如图,AC=AE=4,AB=AD=5,∠BCA=∠CAE=∠BAD=90°.求DE 的长.
板块五 分类讨论
条件:AD 是△ABC的高. ①BD=BC-CD; ②BD=BC+CD. 条件:AB=AC,BD 是AC边上的高。 ①AC=AD+CD; ②AC=CD-AD.
典 例 精 讲
题型① 高的位置不明
【例1】在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则S△ABC= .
题型① 直角顶点不明
【例2】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.以AB 为直角边,在AB 的下方作等腰Rt△ABD,则 CD 的长为 .
实 战 演 练
1.在△ABC 中,CA=CB=10,高AD 为8,则 AB 的长为 .
2.如图,在等边△ABC 中, 作 Rt△DBC,使 DB=4,∠DBC=90°,则 AD 的长为
题型② 点在等边三角形外
【例2】如图,在△ABC 中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以 AC 为边向△ABC 外作等边△ACD,连接 BD.求 BD 的长.
实 战 演 练
如图,在四边形 ABCD 中,CD=3,BD=5,△ABC 为等边三角形,∠ADC=30°.求 AD的长.
板块六 勾股定理与全等构造(六)构双等腰直角三角形
条件:等腰 Rt△ADC. 方法:作等腰Rt△BDE. 结论： 条件：等腰 方法：作等腰 结论：
典 例 精 讲
题型① 拼直角
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ADC=45°.若AD=5,CD=4,,求BD 的长.
题型② 拼特殊角
【例2】如图,在等腰Rt△ABC中,AB=AC,D 为△ABC外的一点,且 求CD 的长.
实 战 演 练
题型③ 勾逆算直角
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,PA=3,PC=2 ,PB=5.求 的度数.
板块七 勾股定理与全等构造(七)构120°的双等腰三角形
条件:AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=120°. 结论;①△ABC≌△ADE; ②∠CDE=∠BAD+∠BCD. 条件:AB=AC,AD=AE, 结论:①△ABD≌△ACE; ②∠1=∠EAD=120°.
典 例 精 讲
【例】如图,在△AOB 中,.AO=BO= ,OC=1,∠AOB=120°,∠OCB=60°,求 AC的长.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB =AC,点 P 在直线 AB 上方,且 求 的值.
2.如图,在四边形ABCD 中,AB=AC,∠BAC=120°,∠ADC=90°,且 求 的值.
板块八 勾股定理与全等构造(八)等角与倍角
条件:∠ABC=2∠C=2α. 方法:延长CB 至点D,使 BD=AB. 结论:AC=AD. 条件:∠CAD=∠B=α. 方法:作AE⊥AB. 结论:AE=AD. 条件： 方法：作 结论：
典 例 精 讲
题型① 二倍角构等腰
【例1】如图,在△ABC 中,AB=3,BC=5,∠B=2∠C.求AC 的长.
题型② 等角构等腰
【例2】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 为BC上一点,∠CAD=∠B,AB=4,AD=3.求AC 的长.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为BC 上一点,∠CAD=∠B,AC=2CD=2,则 BD 的长为 .
2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 为BC上一点,∠B=2∠CAD,AB=5,BC=4.求 AD的长.
第4讲 勾股定理与数学思想
板块一 方程思想(一)
单勾列方程
典例精讲
【例1】解:连接AD.∵∠C=90°,
∵DE 垂直平分AB,
∴AD=BD.设BD=x,则AD=x,CD=BC-BD=4-x.
【例2】解:连接AC.∵CD∥AB,
∴∠DCA=∠CAB.
∵BA=BC,∴∠BCA=∠CAB,
∴∠DCA=∠BCA.
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°=∠D.
∵AC=AC,∴△ADC≌△AEC,
∴AE=AD=4,CE=CD=2.
设 BE=x,
则AB=BC=BE+CE=x+2.
∵BE⊥BC,
∴x=3,∴BE=3.
实战演练
1.解:
∵B'为AC 的中点,
设CD=x,则B'D=BD=4-x,
2.解:过 B 作BH⊥AC 于点 H,
∴∠E=∠BHD=90°,
∵∠ADE=∠BDH,AD=BD,
∴△ADE≌△BDH,
∴BH=AE=6,
设AC=x,
∴AB=x,AH=x-2,
∴x=10,∴AC=10.
板块二 方程思想(二)双勾列方程
典例精讲
【例 解:作AD⊥BC 于点D,设BD=x,则CD=10-x.
∵AD⊥BC,
【例2】解:连接AN,DN.
∵M是AD的中点
∴AM=DM,∵AD⊥MN.
∴AN=DN,设BN=x,
在△ABN 中,
在△DCN 中,
∵AN=DN,
∴x=2,∴BN=2.
实战演练
1.2 解:连接DE,设 BD=x,
则CD=3x,可得△AEB≌△ADC,
∴EB=CD=3x,
AE=AD=
∵∠EAD=∠EBD=90°,
∵x>0,∴x=1,∴BD=1,CD=3,
∴BC=BD+CD=4.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
2.解:∵四边形ODEF 为长方形,
∴DE =OF,EF =OD,OD∥EF,∠OFE=∠DEF=90°,
∴∠ODB=∠C,
∠OFA=∠DEC=90°.
∵AB=AC=3+4=7,
∴∠B=∠C,∴∠ODB=∠B,
∴OD=OB=4,
∴EF=4,设AF=x,则EC=3-x,
OF=DE,
解得x=
板块三 整体思想(一)典例精讲
【例1】解:设CD=x,CE=y,
则AC=3CD=3x,BC=3CE=3y.
∵∠C=90°,
【例 2】解:过点 A 作AH⊥BC 于点 H.∵AB=AC,∴BH=HC,
∴BP·PC=(BH +HP)(CH-HP)=(BH+HP)(BH-HP)=
.
实战演练
1.解:过点 C 作CH⊥AB 于点 H,设BD=y,∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴设CH=BH=AH=x,
∴AD=DH+AH=2x+y,
DH=BH+BD=x+y,
2.解:连接PB,设 PD=x,AP=PC=y.
∵PD⊥AB,
16,∴BC=4.
板块四 整体思想(二)典例精讲
【例1】解:∵∠C=90°,
【例2】解:∵AC⊥BD,
则
OC ),即
实战演练
1.3 解: ∴DE=3,∴AB=9.
2.解:连接CD,EB 交于点O.
∵∠CAE=∠BAD=90°,
∴∠BAE=∠CAD.
∵AC=AE,AB=AD,
∴△ABE≌△ADC,
∴∠ABE=∠ADC,
∴∠DOB=∠DAB=90°,
OB 2)=
板块五 分类讨论
典例精讲
【例1】84或24 解:∵AD⊥BC,
如图1,当AD 在△ABC 内时,
BC=BD+CD=14,
如图2,当 AD 在△ABC 外时,
BC=BD-CD=4,
∴S△ABC=84或24.
【例2】
解:(1)当∠ABD=90°时,
过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,
则△DBE≌△BAC,
可求得
(2)当∠BAD=90°时,过点 D 作DE⊥AC,交AC 的延长线于点E，同理△DAE≌△ABC,
∴DE=AC=3,AE=BC=4,
∴CE=AE-AC=1,
故CD的长为 或
1.4 8 解：当AD 在形内时，CD=6,BD=4,AB=4
当AD 在形外时,CD=6,BD=16,AB=8 ,∴BC=4
2.4或4
解:过点 A 作AE⊥BD,垂足为 E,∴∠E=90°.
∵∠EBA=∠EBC-∠ABC=30°,
①当BD 在BC 上方时,DE=BE-BD=2,
②当 BD在BC下方时,DE=BE+BD=10,
∴AD=4或

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