资源简介

第3讲 勾股定理及其应用
板块一 勾股定理(一)直接计算
典例精讲
题型 ① 一次勾股
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点 D 在BC上，且∠ADC=2∠B，BD=.求 BC 的长.
题型 ② 连续勾股
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，AD=5，CD=12.求 BC 的长.
实战演练
1.如图，点 C，B，E在一条直线上，AB=BD=5，AC=4，∠ACB=∠ABD=∠E=90°.求CD的长.
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点O，E，G，F均在△ABC的边上，且四边形OEGF为正方形.若OF=3，AO=5，求 BF 的长.
板块二 勾股定理(二)勾逆证直角
条件： 结论:β=90°. 条件： 结论:β=90°. 条件:AD=BD, 方法:延长CD至点F,使DF=CD. 结论：
典例精讲
题型① 选边证直角
【例1】已知△ABC的三边a,b,c分别满足求证：△ABC是直角三角形.
题型② 证外直角
【例2】如图是一块四边形绿地的平面示意图,其中AB=24,BC=15,CD=20, DA=7,且∠C=90°,则四边形ABCD 的面积为
实战演练
题型③ 证内直角
1.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=6,AD=8,CD=10,∠ABC=60°.求:S△ABD.
题型④ 倍长证直角
2.如图,CD 为△ABC 的中线,E为CD 上一点,CE=1,ED=2,BE=3,AC=.求BC 的长.
板块三 勾股定理(三)斜边上的高
条件:∠ACB=90°,CD⊥AB.
结论：
典例精讲
【例】如图,在 Rt△ABC 中, 垂足为 D.
(1)若AC=4,AB=5,求 BC,CD,AD,DB 的长;
(2)若AD=4,CD=3,求 AC,BC,BD 的长.
实 战 演 练
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,AD=4,BD=9,求 CA 和BC 的长.
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D.
(1)若AD=2,CD=4,求 BC,BD 的长;
(2)若AD=2,BD=8,求 AC,BC 的长.
板块四 勾股定理(四)特殊角为锐角
典 例 精 讲
【例1】如图,△ABC 是等边三角形,AB=2,则S△ABC =
【例2】如图,∠A=45°,AB=7, 则 BC 的长为
【例3】如图,∠B=30°,∠C=45°,AC=5 则 BC 的长为
实 战 演 练
1.如图,AB=AC,∠B=30°,则
2.如图, 45°,则 S△ABC= .
3.如图,∠A =30°,AB=5, ,则 BC 的长为
4.如图,∠C=60°,AB= AC = 2, 则 BC 的 长 为
5.如图,∠B=45°,∠C=60°, 则 AB 的长为 .
6.如图,在△ABC 中,D 为BC上一点,BD=2,∠B=30°,∠C = 45°,∠DAC=60°,则 DC 的长为 .
板块五 勾股定理(五)特殊角为钝角
典例精讲
【例1】如图,AB=AC,∠BAC=120°,BC=6,则AB= ;S△ABC=
【例 2】如图,∠BAC=135°, 则 BC 的长为 .
【例 3】如图,AB=4,BC= ,∠BAC=150°,则 AC 的长为 .
实战演练
1.如图,∠BAC=120°,AC=10, 则AB 的长为 .
2.如图,∠BAC=120°,∠C=45°,AB=6,则BC= ;AC= .
3.如图,∠BAC=135°,AC= 则 AB 的长为 .
4.如图,∠BAC=135°,∠B= ,则 AB 的长为 .
5.如图,AB=3,BC=2 ∠ABC=150°,则 AC 的长为 .
6. 如图, D 为 AB 上一点,∠ADC=150°,∠A=15°,∠B = 60°, BC = 2, 则S△ADC= .
板块六 勾股定理(六)半角与补形
典 例 精 讲
【例1】如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=15°,BC=2,则 AC 的长为 .
【例2】如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=22.5°,AC=2,则 BC 的长为 .
【例3】如图,∠B=∠ADC=90°,∠BCD = 150°, BC = 1, ,则AB 的长为 .
实 战 演 练
1. 如图,在△ABC 中,∠C=60°,∠A=15°,BC=1,则AC 的长为 .
2. 如图,在△ABC 中,∠C=45°,∠A=15°,BC= ，则AC 的长为 .
3.如图,在△ABC 中,∠C=45°,∠B=22.5°,AC=2,则 BC 的长为 .
4.如图,在△ABC 中,∠C=30°,∠B =22.5°,AC=2,则BC 的长为 .
5.如图,∠A=∠BCD=90°,∠ADC=135°,AB=3AD=3,则 BC 的长为 .
6.如图,∠B=∠AED=∠BCD=90°,∠BAE=150°,AB=2,CD=3,AE=2 则 DE 的长为 .
板块七 勾股定理(七)化斜为直
条件： 方法：作 于点 H. 条件： 方法：作 于点 H.得
典 例 精 讲
题型① 知等腰作垂
【例1】如图,在△ABD 中,C为BD上一点, 求AD 的长.
题型② 知三边作垂
【例2】如图,在△ABC 中,AB=13,AC=15,BC=14,D 为BC上一点,且∠ADB=60°.求AD 的长.
实 战 演 练
1.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=120°,∠DCB=90°,BC=2,AC=2,且BD=BA.求CD 的长.
2.如图,在四边形 ADBC中,∠ACB=∠ABD=90°,BC=2,AC=4,且AB=BD.求CD 的长.
板块八 勾股定理(八)折叠
条件:∠C=90°,△BDE 翻折到△ADE. 结论： 条件:长方形ABCD,翻折 到 结论：
典 例 精 讲
题型 ① 折叠后解直角三角形
【例1】如图，已知长方形纸片ABCD 中，AB=3cm,AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点B与点D重合,折痕为 EF.求△ABE的面积.
题型② 折叠后解斜三角形
【例2】如图,将等边△ABC折叠,使点 B 落在AC 边上的点 F 处,折痕为 DE,AF=4,CF=8.求BE 的长.
实 战 演 练
如图,在长方形ABCD 中,F 为AB 上一点,将△ADF 翻折得到△EDF,使点A 落在BC 上的点 E 处.若AF=5,BF=3.求 AD 的长.
板块九 勾股定理(九)面积法
条件:∠C=90°,BD平分∠ABC. 方法:过点 D 作 DE⊥AB 于点E. 结论:AB·CD=AD·BC. 条件:AB=AC. 方法:过点 A 作 AD⊥BC 于点D,过点 B 作BE⊥AC 于点E. 结论:AC·BE=BC·AD.
典 例 精 讲
【例】如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D 为AC 上一点,CD=4.求 BD 的长.
实 战 演 练
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,CB=12,BD 平分∠ABC交AC 于点D.求AD 的长.
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,DE 平分∠ADC 交AC 于点E,EF⊥AB 于点F,交 AD 于点G,AG=1,BC=6.求 FG 的长.
板块十 勾股定理(十)勾股树
典 例 精 讲
题型① 求面积
【例1】如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠CDA=90°,分别以四边形ABCD 的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为S ，S ，S ，S .若 则 S 的值是 .
题型 ② 求长度
【例2】如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 Rt△ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S ，S ，S 表示.若 则CM 的长为 .
实 战 演 练
1.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…，按照此规律继续下去，则S 的值为( )
A. B. C. D.
2.如图,∠ACB=90°,△ABD,△CBE,△ACF 均为等边三角形,△ABD的面积为 的面积为 则 AE 的长为 .
板块十一 勾股定理(十一)赵爽弦图
典例精讲
题型① 用弦图
【例1】现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b) 的值.
题型② 构弦图
【例2】已知有5个边长为1的正方形排成一列，请把它分割后拼成一个大正方形.请画出一种分割方法.
实战演练
1.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，且ab=6，则大正方形的面积为 .
2.如图是由四个全等的直角三角形组成的大正方形 ABCD，其中Rt△AFB的两条直角边分别记为a，b(a3.如图，有13个边长为1的正方形连在一起，要求分割成若干块后拼成与原面积相等的大正方形，则大正方形的边长为 ，试画出一种分割方法.
板块十二 勾股定理(十二)实际应用
典 例 精讲
题型① 引葭赴岸
【例1】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，水深几何 如图，其大意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深为 尺.
题型② 梯子滑动
【例2】如图，一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=8m.若梯子的顶端沿墙面向下滑动2m，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2m，求梯子AB 的长度.
题型③ 航行方向
【例3】如图，射线MN 表示一艘轮船东西方向的航行路线，在点 M 的北偏东 60°方向上有一灯塔A，灯塔A 到M 处的距离为100海里.在航线MN 上有一点B，且∠MAB=15°，若轮船的航速为50海里/时，则轮船从点 M 到点B 处所用的时间为 小时.(结果保留根号)
题型④ 折竹抵地
【例4】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何 ”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺(1丈=10尺)
题型⑤ 斜坡树折
【例5】由于大风，山坡上的甲树被从点 A 处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在乙树的根部C 处，已知AB=4m ，BC=13 m，两棵树的水平距离为 12 m，则这棵树原来的高度为 m.
实战演练
题型 6 化折为直
1.如图，某会展中心准备将高5m，长13 m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 元.
题型 7 折线寻宝
2.国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A 处出发先往东走9 km，又往北走3 km，遇到障碍后又往西走 7 km，再向北走2 km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1 km，最后再往西走了1 km，就找到了宝藏，则门口A 到藏宝点 B 的直线距离是 km.
题型 8 秋千索长
3.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几.”(注：1步=5尺).译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长.”
题型 9 太公钓鱼
4.如图，露在水面的鱼线 BC长为3m，钓鱼者把鱼竿 AC 提起到AC'的位置，此时露在水面的鱼线 B'C'长为4m，若 BB'的长为1m，则钓鱼竿 AC 的长为 m.
题型 10 噪声影响
5.如图，铁路MN和公路 PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点 A处有一栋居民楼，AO=200m.如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间为10s，求火车行驶的速度为多少(不考虑火车长度)
第3讲 勾股定理及其应用
板块一 勾股定理(一)直接计算典例精讲
【例1】解:∵∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B,
∴∠B=∠DAB,∴AD=BD=
∵∠C=90°,
【例2】解:在 Rt△ADC中,
∴AC=13,
∴AB=AC=13,
∴BD=AB-AD=8,
在 Rt△BCD 中,
实战演练
1.解:∵∠ACB=90°,
∵∠ABD=∠ACB=90°,
∴∠ABC + ∠DBE = ∠ABC +∠CAB=90°,
∴∠CAB=∠DBE.
∵∠ACB=∠E=90°,AB=BD,
∴△ABC≌△BDE,
∴DE=BC=3,BE=AC=4,
∴CE=CB+BE=7,
2.解:∵四边形OEGF 为正方形,
∴OF∥AB,∴∠OFC=∠B.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠OFC=∠C,∴OF=OC.
∵四边形OEGF 为正方形，
∴OE=EG=OF=FG=3,∠FGE=∠OEG=90°,
∴∠AEO=∠FGB=90°,
∵OC=OF=3,
∴AB=AC=AO+OC=8,
∴BG=AB-AE-EG=1,
板块二 勾股定理(二)勾逆证直角
典例精讲
【例1】解:
∴△ABC 是直角三角形.
【例2】234 解:连接BD.
∵∠C=90°,
∴ S四边形ABCD = S△CDB + S△ABD =
实战演练
1.解:连接AC,过点 D 作 DE⊥BA 交BA 的延长线于点 E.
∵AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC 为等边三角形,
∴AC=AB=6,∠BAC=60°.
∵AD=8,CD=10,
∴∠CAD=90°,∴∠DAE=30°.
2.解:延长CD 至点 M,使 DM=CD,连接BM.
∵∠ADC=∠MDB,AD=BD,
∴△ADC≌△BDM,
∵DM=CD=CE+DE=3,
∴ME=DM+DE=5,
∴∠MEB=90°,
∴∠BEC=90°,
板块三 勾股定理(三)斜边上的高
典例精讲
【例】解:
(2)设 BD=x,则AB=4+x.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
解得
实战演练
1.解:设 CD=x,则.
在 Rt△ABC 中, ,解得x=6,可求
2.解:(1)在 Rt△ADC 中,
在 Rt△ABC中,.
在 Rt△BCD 中,
,
解得
(2)在 Rt△ACD 中,
在 Rt△BDC 中,
在 Rt△ABC中,
解得CD=4,
板块四 勾股定理(四)特殊角为锐角
典例精讲
【例1】 解:作 AD⊥BC 于点 D.则
【例2】5 解:作 CD⊥AB 于点 D,∴AD=CD=4,BD=3,∴BC=5.
【例
解:作 AD⊥BC 于点 D,
则CD=AD=5,BD=5
实战演练
1. 解:作 AD⊥BC 于点 D.
设AD=a,则AB=2a,
2.2 解:作 BD⊥AC 于点D,
∴AD=BD=2,
3. 解:作CD⊥AB 于点 D.
∴BD=2,∴BC=
4.3 解:作 AD⊥BC 于点 D,
∴CD=1,∴AD=
∴BD=2,∴BC=3.
5.2解:作 AD⊥BC 于点 D.设CD=x,则
6. 解:作 DF⊥AB 于点 F,DE⊥AC 于点 E,则 DF=AF=1,AD=
板块五 勾股定理(五)特殊角为钝角
典例精讲
【例1】2 3
解:作AD⊥BC 于点D,BD=CD= (或作CE⊥BA 于点E)
【例2】3 解:作 BE⊥AC 于点E,则 BE=AE=3,CE=9,BC=
【例3】 解:作 BD⊥CA 于点 D,则
实战演练
解:作CE⊥BA 于点E,AE=5,
2.3 3 -3
解:作 BE⊥AC 于点 E,则 AE=3,
3.2 解:作CE⊥BA 于点E,AE=CE=2,BE=4,AB=2.
解:作CE⊥BA 于点E,AE=CE=2,BC=2CE=4,
解:作C D⊥AB于 点D,则
∴BD=3,AD=6,∴AC=
6.3 解:作 CH⊥AB 于点 H,
则BH=1,CH=
板块六 勾股定理(六)半角与补形
典例精讲
【例1
解：作AB 的垂直平分线交 AC 于点D,连接BD,则∠BDC=30°,
∴AD=BD=4,CD=2
【例
解：作AB 的垂直平分线交 BC 于点D,连接AD,则∠ADC=45°,
∴CD=2,AD=BD=2
【例3】3
解:延长AD,BC 交于点E,
则∠DCE=30°,
∴DE=1,CE=2DE=2,
BE=3,AE=6,AB=3
实战演练
解：作AB 的垂直平分线交AC 于点 D,连接 BD,则∠BDC=30°,∴∠CBD=90°,CD=2,
解：作AB 的垂直平分线交AC 于点 D,作 BE⊥AC 于点 E,连接 BD,则∠BDC=30°,AD=BD,∴BE=CE=1,BD=AD=2,DE=
解：作A B的 垂直平分线交BC 于点 D,连接AD,
则∠ADC=45°,
∴∠CAD=90°,CD=2
AD=BD=AC=2,
解：作A B的 垂直平分线交BC 于点 D,作 AE⊥BC 于点E,连接AD,则∠ADC=45°,
∴AE=1,CE= ,DE=AE=1,
解:延长A D,BC交 于点E,则∠CDE=∠B=∠E=45°,
6.4 解:延长 BA,DE 交于点 F,延长BC,ED 交于点 H ,易得∠CDE=120°,则∠FAE=∠H=30°,
∴AF=2EF =4,DH =2DC =6,BF=6,FH=12,∴DE=4.
板块七 勾股定理(七)化斜为直
典例精讲
【例1】解:过点 A 作AH⊥BD 于点 H.
∵ ,
∴HD=HC+CD=7,
【例2】解:过点 A 作 AH⊥BC 于点
H.设 BH=x,则 CH=14-x.
∴x=5,∴BH=5,
∵∠ADB=60°,
∴∠HAD=30°,∴AD=2HD,
实战演练
1.解:过点 C 作CH⊥AB 交AB 的延长线于点 H,∴∠H=90°,
∴∠BCH=∠ABC-∠H=30°,
∵∠DCB=90°,
2.解:过点 D 作 DH⊥CB 交CB 的延长线于点 H，
∴∠DBH+∠BDH=90°.
∵∠ABD=90°,
∴∠ABC+∠DBH=90°,
∴∠ABC=∠BDH.
∵∠ACB=∠H=90°,AB=BD,
∴△ABC≌△BDH,
∴DH=BC=2,BH=AC=4,
∴CH=CB+BH=6,
板块八 勾股定理(八)折叠典例精讲
【例1】解:设AE=x cm,
则ED=(9-x) cm.将此长方形折叠，使点 B 与点D 重合，
∴BE=ED=(9-x) cm.
∵∠A=90°,
解得x=4,
∴AE=4 cm.∴△ABE 的面积为
【例2】解:过点 F 作 FH⊥BC 于点H.设BE=EF=x.
∵△ABC 为等边三角形,
∴BC=AC=AF+CF=12,∠C=60°.
∵FH⊥BC,
∴x=7,∴BE=7.
实战演练
解:设AD=x,则 DE=BC=AD=x.
∵∠B=90°,AF=EF=5,
∴EC=BC-BE=x-4.
∵CD=AB=AF+BF=8,∠C=90°,
,解得x=10,
∴AD=10.
板块九 勾股定理(九)面积法典例精讲
【例】解:过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,过点 B 作 BF⊥AC 于点 F.
∵AB=AC,
∵AE⊥BC,BF⊥AC,
实战演练
1.解:∵∠C=90°,
∵BD 平分∠ABC,
BC⊥CD,DE⊥AB,
∴CD=DE.
设AD=x,则CD=DE=9-x,
∴15(9-x)=12x,∴x=5,
∴AD=5.
2.解:连接BG.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵EF⊥AB,∴∠AFG=90°,
∵∠AFG=∠ADC=90°,
∴∠AGF=∠C,
∵∠AGF=∠DGE,
∴∠DGE=∠C.
∵DE 平分∠ADC,
∴∠CDE=∠EDG,
∵DE=DE,
∴△CDE≌△GDE,
∴DG=CD=3,
∴AD=AG+DG=1+3=4,
板块十 勾股定理(十)勾股树
典例精讲
【例1】18 解:连接AC.
【例 解:连接A E.
∴AC=3,BC=5,
可得△MBC≌△ABE,
实战演练
1. A 解:∵正方形 ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，
观察，发现规律：
当n=9时,
选 A.
2. 解：
∴CE=4,
过点 E 作AC 的垂线,垂足为 H,
则
板块十一 勾股定理(十一)赵爽弦图
典例精讲
【例1】解：由图可知
∴2ab=10-2=8,∴ab=4,
4×4=18.
【例2】解：如图所示.
1.17 解：由勾股定理，得大正方形的面积为 又∵小正方形的面积为 即
2.4 解:由题知
则
∵正方形 EFGH 的面积 13-4×3=1,∴b-a=1①,
25,∴a+b=5②,
由①,②解得a=2,b=3,
板块十二 勾股定理(十二)实际应用
典例精讲
【例1】12 解:由题意,得(CB'=5尺，设AC=x尺,则.AB'=(x+1)尺， 解得x=12,故答案为12.
【例2】解:设 BO=x m,依题意,得AC=2m,BD=2m,AO=8m.在 Rt△AOB 中,根据勾股定理,得 在 Rt△COD 中,根据勾股定理,得 解得x=6,
答:梯子AB 的长度为10 m.
【例 解:过点 A 作AT⊥MB于点 T.
∵∠AMB=30°,AM=100海里,
∴AT=50海里,
∵∠MAB=15°,
∴∠ABT=∠AMB+∠MAB=45°,
∵ ∠ATM = 90°, ∴ ∠ABT =∠BAT,
∴AT=BT=50(海里),
在 Rt△AMT中,
(海里),
海里，
小时.
【例4】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子高度为(10-x)尺.
由勾股定理，得 解得x=4.55.
答：折断后竹子的高度是 4.55尺.
【例5】19 解:过点 C 作CD⊥AB 交AB 的延长线于点 D，由题意，得BC=13m,DC=12 m,
∴AC+AB=15+4=19(m).
∴这棵树原来的高度是 19 m.
实战演练
1.1020 解:由勾股定理得 AB = 则地毯总长为12+5=17(m),则地毯的总面积为 ∴铺完这个楼道至少需要 34×30=1020(元).
解:过点 B 作 BC⊥AC,垂足为C.观察图形可知 AC=9-7+4-1=5(km),
BC=3+2+1=6(km),
在 Rt△ACB 中,
3.解：设秋千的绳索长为x 尺，根据题意，得
解得 答：秋千的绳索长为 尺.
4.5 解:设 即 解得x=3,
5(m).
5.解:过点 A 作AB⊥MN 于点 B.
∵∠QON=30°,AO=200,
在MN 上另取一点D，
使AD=OA=200,
∵AB⊥OD,∴OB=BD,
∵在 Rt△AOB 中,
∴OD=2BO=200 ,∵J居民楼受噪声影响的时间约为10s,
答：火车行驶的速度为20m/s.

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