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(共16张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定（1）
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·通州期末）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　D　）
A. AB∥DC，AD∥BC B. AB＝DC，AD＝BC
C. AO＝CO，BO＝DO D. AB∥DC，AD＝BC
D
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2. （2024·辽宁）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　C　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
C
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3. 如图，A是直线l外一点，在直线l上取两点B，C，分别以点A为圆心，BC的长为半径和以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与点A位于直线l的同侧，连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是平行四边形，其根据是 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
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4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝13，AD＝5，AC⊥BC，AC⊥AD. 求BC的长，并判断四边形ABCD是否为平行四边形.
第4题
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解：∵ AC⊥AD，∴ ∠CAD＝90°.在Rt△ACD中，∵ AD＝5，CD＝13，∴ 由勾股定理，得AC＝ ＝12.∵ AC⊥BC，∴ ∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵ AB＝13，AC＝12，∴ 由勾股定理，得BC＝ ＝5.∴ AD＝BC. 又∵ AB＝CD，∴ 四边形ABCD为平行四边形
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5. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O是BD的中点，点E，F在对角线AC上，连接DE，BF，DE∥BF，AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
第5题
解：∵ O是BD的中点，∴ OB＝OD. ∵ DE∥BF，∴ ∠DEO＝∠BFO. 在△DEO和△BFO中， ∴ △DEO≌△BFO. ∴ OE＝OF. 又∵ AE＝CF，∴ AE＋OE＝OF＋CF. ∴ OA＝OC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
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6. （分类讨论思想）如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中的平行四边形共有（　B　）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
B
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7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别交BC于点E，F. 若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　8　.
8　
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8. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ E，F分别是OB，OD的中点，∴ OE＝ OB，OF＝ OD. ∴ OE＝OF. ∴ 四边形AECF是平行四边形
第8题
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（2） 若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求BD的长.
解：（2） ∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC＝90°.∴ AC＝ ＝ ＝4.∴ OA＝ AC＝2.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝ ＝ ＝ .∴ BD＝2OB＝2
第8题
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9. 如图，BD垂直平分AC，BD与AC交于点F，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC.
（1） 求证：四边形ABDE是平行四边形；
解：（1） ∵ BD垂直平分AC，∴ ∠DFC＝90°，AD＝CD，AB＝BC. 在△ADB和△CDB中， ∴ △ADB≌△CDB. ∴ ∠DAB＝∠DCB.
∵ ∠BCD＝∠ADE，∴ ∠ADE＝∠DAB. ∴ DE∥AB.
∵ AE⊥AC，∴ ∠EAC＝∠DFC＝90°.∴ AE∥BD. ∴ 四边形ABDE是平行四边形
第9题
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（2） 若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长.
解：（2） ∵ AE＝DE＝5，四边形ABDE是平行四边形，∴ AB＝BD＝5.∵ AC⊥BD，∴ 易得AD2－DF2＝AB2－BF2.∴ 62－DF2＝52－（5－DF）2.∴ DF＝3.6.
∴ AF＝ ＝4.8.∴ 由（1），易得AC＝2AF＝9.6
第9题
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10. 如图，在 ABCD中，BD是一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E，F，延长AE，CF，分别交CD，AB于点M，N.
（1） 求证：四边形CMAN是平行四边形；
解：（1） 由题意，得∠AEB＝∠NFB＝90°，∴ AM∥CN. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CM∥AN. ∴ 四边形CMAN是平行四边形
第10题
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（2） 若DE＝8，FN＝6，求BN的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∴ ∠ADE＝∠CBF. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AED＝∠CFB＝90°.在△ADE和△CBF中，
∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF＝8.在Rt△BFN中，∵ BF＝8，FN＝6，∴ 由勾股定理，得BN＝ ＝10
第10题
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10(共18张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩　形
第1课时　矩形及其性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·南通期中）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，∠AFB＝90°.若AB＝7，BC＝13，则EF的长为（　C　）
A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 4
C
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2. （2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上.若∠2＝41°，则∠1的度数为（　C　）
A. 41° B. 51° C. 49° D. 59°
C
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3. （教材变式）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝AO.
（1） ∠ABD的度数为 　60°　；
（2） 若AC＝6，则S△AOD＝ 　 　.
60°　
　
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4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD上，DE＝2.若EC平分∠BED，则BC的长为 　10　.
10　
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5. （2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
（1） 求证：△ABE≌△DCF；
解：（1） 在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.在△ABE和△DCF中， ∴ △ABE≌△DCF
第5题
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（2） 当AB＝12，DF＝13时，求BE的长.
解：（2） 由（1），知△ABE≌△DCF，∴ AE＝DF＝13.
∴ 在Rt△ABE中，BE＝ ＝5
第5题
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6. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE. 若∠ACB＝40°，则∠E的度数是（　D　）
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
第6题
D
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7. 如图，在△AEG中，GA＝GE，∠G＝40°，将△AEG的顶点E摆放在矩形ABCD的边BC上，使得AB＝BE. 其中EG与AD交于点F，则∠DFG的度数是（　C　）
A. 85° B. 75° C. 65° D. 45°
C
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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6.若M，N分别是DE，AB的中点，则MN长的最小值为（　B　）
A. 10－ B. －3 C. 2 －6 D. 3
B
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9. （2025·扬州）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 　6　.
6　
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10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是 　 　.
　
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11. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F.
（1） 求证：AB＝DF；
解：（1） 在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴ ∠FAD＝∠BEA. ∵ DF⊥AE，∴ ∠DFA＝90°＝∠B. 在△ABE和△DFA中，
∴ △ABE≌△DFA. ∴ AB＝DF
第11题
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（2） 若AB＝8，CE＝4，求BC的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BC＝AD，∠B＝90°.∴ 在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2.设BC＝x，则82＋（x－4）2＝x2，解得x＝10.∴ BC＝10
第11题
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12. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，OA＝8，OC＝6，过点D（0，6）作y轴的垂线，交OA于点E，点B恰在这条直线上.求：
（1） 矩形OABC的对角线OB的长；
解：（1） ∵ 四边形OABC为矩形，∴ OC＝AB＝6，∠A＝90°.∴ 在Rt△OAB中，OB＝ ＝ ＝10，即矩形OABC的对角线OB的长为10
第12题
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（2） 点B的坐标；
解：（2） ∵ BD⊥OD，∴ ∠ODB＝90°.∵ 点D的坐标为（0，6），∴ OD＝6.∴ 在Rt△OBD中，BD＝ ＝ ＝8.∴ 点B的坐标为（8，6）
第12题
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（3） △EOB的面积.
解：（3） ∵ OD＝6，AB＝6，∴ OD＝AB. 在Rt△OBD和Rt△BOA中， ∴ Rt△OBD≌Rt△BOA. ∴ ∠OBD＝∠BOA. ∴ BE＝OE. 设BE＝OE＝x，则DE＝8－x.在Rt△ODE中，由勾股定理，得OD2＋DE2＝OE2，即62＋（8－x）2＝x2，解得x＝ .∴ BE＝ .∴ △EOB的面积＝ BE·OD＝ × ×6＝
第12题
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12(共17张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱　形
第1课时　菱形及其性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2024·济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE. 若OE＝3，则菱形的边长为（　A　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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2. （2025·通州期中）在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　A　）
A. （－2，4） B. （－4，2）
C. （－4， ） D. （－ ，4）
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3. （1） （2025·南通期中）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 若AC＝2BD＝8，则菱形ABCD的周长为 　8 　.
（2） （2024·南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　 　cm.
8 　
　
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4. （教材变式）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH. 若AC＝16，S菱形ABCD＝64，则OH的长为 　4　.
4　
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5. （2025·青海）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 　12　.
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6. （2025·泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF. 求证：AF＝CE.
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC. ∵ AE＝CF，∴ AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF. 在△ABF和△CBE中， ∴ △ABF≌△CBE.
∴ AF＝CE
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7. （2025·海门期中）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：① 分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交点分别为E，F；② 作直线EF，交对角线AC于点G；③ 连接DG. 若∠B＝75°，则∠AGD的度数为（　D　）
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
第7题
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8. 如图，四边形ADCE是菱形，过点C作CB⊥AC，交AD的延长线于点B. 若AE＝ ，BC＝4，则AC的长为 　2　.
2　
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9. （2025·启东期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，BC＝2 ，E，F分别是AD，BC边上的两个动点，连接AF，EF. 若FA平分∠BFE，则AE长的最小值为 　3 　.
3 　
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10. （2025·如皋二模）如图，E为菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，CE.
（1） 求证：AE＝CE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝AD，∠ABD＝∠CBD. 在△ABE和△CBE中，
∴ △ABE≌△CBE. ∴ AE＝CE　
第10题
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（2） 若AE＝DE，∠BCE＝75°，求∠ABC的度数.
解：（2） ∵ AB＝AD，∴ ∠ABD＝∠ADB. ∵ AE＝DE，
∴ ∠DAE＝∠ADB. ∴ ∠DAE＝∠ABD. 由（1）知，△ABE≌△CBE，∴ ∠BAE＝∠BCE＝75°.∵ ∠ABD＋∠ADB＋∠DAE＋∠BAE＝180°，∴ 3∠ABD＋75°＝180°.∴ ∠ABD＝35°.∴ ∠ABC＝2∠ABD＝70°
第10题
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11. 已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC交于点E，F，且∠EAF＝60°.
（1） 如图①，当E是线段BC的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系（不必写出证明过程）；
解：（1） AE＝EF＝AF　
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（2） 如图②，当E是线段BC上任意一点时（不与点B，C重合），求证：BE＝CF；
解：（2） 如图②，连接AC. 由题意，易得△ABC，△ACD为等边三角形.
∴ AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∠BAC＝∠EAF＝60°.∴ ∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF. ∴ ∠BAE＝∠CAF. 在△BAE和△CAF中， ∴ △BAE≌△CAF. ∴ BE＝CF　
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（3） 如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离.
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解：（3） 如图③，连接AC，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H. ∵ ∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴ ∠AEB＝45°.在Rt△AGB中，
∵ ∠ABG＝60°，AB＝4，∴ 易得BG＝2，AG＝2 .在Rt△AEG中，∵ ∠AEG＝45°，∴ ∠EAG＝45°.∴ AG＝EG＝2 .∴ EB＝EG－BG＝2 －2.易证△AEB≌△AFC，∴ AE＝AF，EB＝FC＝2 －2，∠AEB＝∠AFC＝45°.
∵ ∠EAF＝60°，∠EAG＝45°，∴ ∠GAF＝15°.∵ AG⊥BC，FH⊥BC，
∴ ∠AGH＝∠FHG＝90°.∴ AG∥FH.
∴ ∠HFA＝∠GAF＝15°.∵ ∠AFC＝45°，∴ ∠CFH＝∠AFC－∠HFA＝30°.在Rt△CHF中，∵ ∠CFH＝30°，FC＝2 －2，∴ CH＝ －1.由勾股定理，得FH＝ ＝3－ .∴ 点F到BC的距离为3－
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11(共15张PPT)
第二十一章　四 边 形
小专题（八）　特殊四边形中的最值问题
类型一　特殊四边形中线段长的最小值
1. 如图，正方形ABCD的边长为2 ，P为对角线BD上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF长的最小值为（　A　）
A. 2 B. 4 C. D. 1
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类型二　特殊四边形中线段长的最大值
2. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E，F分别是边AB，BC上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B'始终落在边CD上，则A，E两点之间的最大距离为 　2－ 　.
2－ 　
第2题
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类型三　特殊四边形中线段长之和的最小值
3. 如图，在 ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2，E是对角线AC上一动点，F是边CD上一动点，连接BE，EF，则BE＋EF的最小值为（　A　）
A. B. 2 C. 2 D.
A
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4. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，连接PD，PE，则PD＋PE的最小值为（　B　）
A. 4 B. 2 C. D.
B
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5. （2024·广安）如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为 　 　.
　
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6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF. 若AC＝8，BD＝6，则EG＋DF的最小值为 　4.8　.
4.8　
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7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC，连接CE，BD.
（1） 求证：四边形DBCE是菱形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∵ DE＝AD，∴ DE＝BC. ∵ 点E在AD的延长线上，
∴ DE∥BC. ∴ 四边形DBCE是平行四边形.∵ BE⊥DC，∴ 四边形DBCE是菱形
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（2） 若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM＋PN的最小值.
解：（2） 如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，过点D作DH⊥BC于点H. 由菱形的对称性，知点N关于BE的对称点N'在DE上，∴ PM＋PN＝PM＋PN'.∴ 当点M，P，N'共线时，PM＋PN＝PM＋PN'＝MN'.∵ DE∥BC，∴ MN'的长的最小值为DH的长，即PM＋PN的最小值为DH的长.在Rt△DBH中，∵ 易得∠DBC＝60°，DB＝2，∴ ∠BDH＝30°.∴ BH＝ DB＝1.由勾股定理，得DH＝ ，∴ PM＋PN的最小值为
第7题答案
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类型四　特殊四边形中周长的最小值
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E，F分别是AD，BC的中点，点P，Q在EF上，且满足PQ＝2，则四边形APQB的周长的最小值为（　B　）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
B
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9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，F，H为不动点，E，G为动点.若使AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH的周长的最小值为（　D　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 10
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10. （2024·启东期中）【问题原型】如图①，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. 求证：AE＝EF.
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“E是边BC的中点”改为“E是直线BC上任意一点（B，C两点除外）”时，结论AE＝EF还能成立.现请你证明下面这种情况：
如图②，四边形ABCD是正方形，E为BC反向延长线上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F. 求证：AE＝EF.
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【拓展迁移】
如图③，在正方形ABCD中，AB＝1，E为BC边上一动点（点E，B不重合），以AE为直角边在BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，连接DF，CF. 在点E的运动过程中，求△ADF周长的最小值.
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解：【问题原型】 如图①，取AB的中点G，连接EG. ∴ BG＝AG＝ AB. ∵ E是边BC的中点，∴ EC＝BE＝ BC. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°.∴ AG＝BG＝BE＝EC. ∴ ∠BGE＝∠BEG＝45°.∴ ∠AGE＝135°.∵ CF是正方形ABCD的外角的平分线，∴ ∠DCF＝45°.∴ ∠ECF＝135°＝∠AGE. ∵ ∠AEF＝90°＝∠ABC，∴ ∠BAE＋∠AEB＝90°＝∠AEB＋∠FEC. ∴ ∠BAE＝∠FEC. ∴ △AGE≌△ECF. ∴ AE＝EF　【问题应用】 如图②，在AB延长线上截取BG＝BE，连接EG. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.又∵ BG＝BE，∴ AG＝CE. ∵ ∠ABC＝∠BCD＝90°，BG＝BE，CM为正方形ABCD的外角平分线，∴ ∠AGE＝∠ECF＝45°.∵ ∠ABE＝90°，∠AEF＝90°，∴ ∠AEB＋∠EAG＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°.∴ ∠EAG＝∠FEC. 在△EAG和△FEC中，
∴ △EAG≌△FEC.
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∴ AE＝EF　【拓展迁移】 如图③，在AB上取点H，使AH＝CE，连接HE. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.∵ ∠AEF＝90°，∴ ∠AEB＋∠CEF＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°.
∴ ∠CEF＝∠BAE. ∵ AB－AH＝BC－EC，∴ BH＝BE. ∴ ∠BHE＝45°.
∴ ∠AHE＝135°.∵ AH＝CE，∠HAE＝∠CEF，AE＝EF，∴ △HAE≌△CEF. ∴ ∠AHE＝∠ECF＝135°.∴ ∠DCF＝45°.作点D关于CF的对称点M，延长BC，则易知点B，C，M在同一条直线上，连接AM，此时AF＋DF的最小值即为AM的长.∵ ∠ECF＝135°，∴ ∠FCM＝45°.∴ ∠DMC＝45°.∵ ∠DCM＝90°，∴ △DCM为等腰直角三角形.∴ DC＝MC. ∴ MC＝BC＝AB＝AD＝1.∴ BM＝BC＋MC＝2.在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝ ＝ ＝ .∴ △ADF周长的最小值为1＋
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第二十一章　四 边 形
21.1　四边形及多边形
21.1.2　多边形及其内角和
01
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1. （2024·乐山）下列多边形中，内角和最小的是（　A　）
2. （2024·云南）一个七边形的内角和等于（　B　）
A. 540° B. 900° C. 980° D. 1080°
3. （教材变式）从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线的条数是（　A　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
A
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4. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是六边形的外角.若∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝320°，则∠1的度数为（　B　）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
B
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5. （1） 如图①，y＝ 　72　； （2） 如图②，x＝ 　70　.
72　
70　
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6. 如图，过正五边形ABCDE的顶点B作BM⊥AB，交CD于点M，则∠MBC＝ 　18°　.
18°　
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7. 已知一个多边形的内角和与外角和相加为2160°，求这个多边形的对角线条数.
解：设这个多边形的边数为x，则（x－2）×180°＋360°＝2160°，解得x＝12.∴ 这个多边形的对角线条数为 ×12×（12－3）＝54
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8. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是（　C　）
A. 正方形 B. 正六边形
C. 正八边形 D. 正十边形
C
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9. （2025·眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为（　C　）
A. 216° B. 180°
C. 144° D. 120°
第9题
C
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10. （1） （2025·扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　9　；
（2） 若一个多边形的外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为 　11　.
11. 如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止.他所走的路径构成一个多边形，那么小明一共走了 　180　m.
9　
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12. （整体思想）小王一笔画成了如图所示的图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为 　540°　.
540°　
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13. 如图所示为正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，求∠BAF的度数.
第13题
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解：∵ AF∥CD，∴ ∠CDB＝∠AFD. 又∵ 五边形ABCDE是正五边形，∴ CD＝CB，∠ABC＝∠DCB＝ ＝108°.∴ ∠CBD＝∠CDB＝ ×（180°－108°）＝36°＝∠AFD. ∴ ∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°.∴ ∠BAF＝∠ABD－∠AFB＝72°－36°＝36°
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14. 如图，在六边形ABCDEF中，∠BCD的平分线与∠CDE的平分线交于点P，∠P＝60°.求∠A＋∠B＋∠E＋∠F的度数.
第14题
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解：∵ ∠P＝60°，∴ ∠PCD＋∠PDC＝180°－∠P＝180°－60°＝120°.∵ CP平分∠BCD，DP平分∠EDC，∴ ∠BCD＋∠EDC＝2∠PCD＋2∠PDC＝2×120°＝240°.∵ ∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°，∴ ∠A＋∠B＋∠E＋∠F＝720°－∠BCD－∠EDC＝720°－240°＝480°
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15. 如图，阅读小明和小红的对话，解决下列问题.
（1） 这个“多加的锐角”的度数是 　30°　.
（2） 小明求的是几边形的内角和？
解：（2） 设这个多边形为n边形.由题意，得（n－2）×180°＝1800°，解得n＝12.∴ 小明求的是十二边形的内角和
30°　
第15题
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（3） 若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
解：（3） 正十二边形的每一个内角为 ＝150°，答：这个正多边形的一个内角是150°
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第二十一章　四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩　形
第2课时　矩形的判定
01
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目
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1. （易错题）下列命题正确的是（　A　）
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 四条边相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的四边形是矩形
A
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2. （新情境·日常生活）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　C　）
A. 三个角都是直角的四边形是矩形
B. 对角线互相平分的四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C
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3. 如图，DE是△ABC的中位线，BE与CD交于点O，F，G分别是OC，OB的中点，连接DG，EF，FG，要使得四边形DEFG为矩形，有下列补充条件：① AB＝AC；② ∠ACB＝90°；③ BE＝CD；④ ∠EFG＝90°.其中，正确的有 　①③④　（填序号）.
①③④　
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4. （2025·通州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形ABCD是矩形.
第4题
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解：∵ O是边AB的中点，∴ OA＝OB. 在△AOD和△BOC中，
∴ △AOD ≌△BOC. ∴ DA＝CB. ∵ ∠A＝∠B＝90°，∴ ∠A＋∠B＝180°.
∴ DA∥CB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.又∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形
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5. （2024·如东期中）如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F，连接BD，CE.
（1） 求证：四边形BECD为平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵ BE＝AB，∴ BE＝CD. ∵ BE∥CD，∴ 四边形BECD为平行四边形
第5题
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（2） 若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A＝∠DCB.
∵ ∠BFD＝2∠A，∴ ∠BFD＝2∠DCB. ∴ ∠DCF＝∠FDC. ∴ DF＝CF. 由（1），得四边形BECD为平行四边形，∴ EF＝DF，BF＝CF，∴ 易得DE＝BC. ∴ 四边形BECD是矩形
第5题
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6. （2025·启东期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　B　）
A. OB＝5 B. OD＝5 C. AB＝5 D. BC＝8
第6题
B
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，M是边AB上一点（不与点A，B重合），过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接EF. 若P是EF的中点，则PF长的最小值是（　B　）
A. 1 B. 1.2 C. 2.4 D. 4.8
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8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 　12　.
12　
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9. （2025·北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形；
解：（1） ∵ D，E分别为AB，AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥BC. ∵ DG＝FC，∴ 四边形DFCG是平行四边形.又∵ DF⊥BC，∴ ∠DFC＝90°.∴ 四边形DFCG是矩形
第9题
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（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
解：（2） ∵ DF⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠B＝45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形.∴ BF＝DF＝3.∵ 易知DG＝FC＝5，∴ BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.由（1），可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，∴ DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.∴ EG＝DG－DE＝5－4＝1.∴ 在Rt△CGE中，CE＝ ＝ ＝ .∵ E为AC的中点，∴ AC＝2CE＝2
第9题
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10. 如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F，连接AE，AF.
（1） 求证：OE＝OF.
解：（1） ∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴ ∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF. ∵ MN∥BC，∴ ∠FEC＝∠BCE，∠EFC＝∠DCF. ∴ ∠FEC＝∠ACE，∠EFC＝∠ACF. ∴ OE＝OC，OF＝OC. ∴ OE＝OF
第10题
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（2） 若CE＝12，CF＝5，求OC的长.
解：（2） ∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴ ∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD. ∴ ∠ACE＋∠ACF＝ ∠ACB＋ ∠ACD＝ （∠ACB＋∠ACD）＝ ×180°＝90°，即∠ECF＝90°.在Rt△ECF中，∵ CE＝12，CF＝5，∴ EF＝ ＝13.由（1），知OE＝OF＝OC，∴ OC＝ EF＝6.5
第10题
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（3） 当点O在边AC的什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
解：（3） 当点O在边AC的中点处时，四边形AECF是矩形　理由：当点O在边AC的中点处时，OA＝OC. ∵ OE＝OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形.又∵ ∠ECF＝90°，∴ 四边形AECF是矩形.
第10题
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第二十一章　四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.3　正 方 形
第2课时　正方形的判定
01
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03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，正确的是（　A　）
A. 有一个角是直角的菱形是正方形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
D. 有一组邻边相等的四边形是正方形
2. 已知矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（　D　）
A. OA＝OC B. OA＝OB
C. AB⊥BC D. OA⊥OB
A
D
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3. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，DA，DF，下列说法错误的是（　D　）
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形
C. 若AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形
D
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4. （2024·海安期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是 　答案不唯一，如AB＝AD　（写出一个条件即可）.
答案不唯一，如AB
＝AD　
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5. 如图，在四边形ABCD中，BA＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
（1） 求证：∠ADB＝∠CDB；
解：（1） ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中，
∴ △ABD≌△CBD. ∴ ∠ADB＝∠CDB
第5题
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（2） 若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形.
解：（2） ∵ PM⊥AD，PN⊥CD，∴ ∠PMD＝∠PND＝90°.又∵ ∠ADC＝90°，∴ 四边形MPND是矩形.由（1），知∠ADB＝∠CDB，∴ ∠ADB＝ ∠ADC＝45°.
∵ ∠PMD＝90°，∴ ∠MPD＝45°.∴ ∠ADB＝∠MPD＝45°.∴ MD＝MP. ∴ 四边形MPND是正方形
第5题
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6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O. 添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，有下列说法：① 添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；② 添加“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形；③ 添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；④ 添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形.其中，错误的有（　B　）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
第6题
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7. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BE，CE的中点，要使四边形EGFH是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（　B　）
A. BC＝AB B. BC＝2AB
C. BC＝ AB D. BC＝ AB
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8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动）.设运动时间为ts，连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝ 　3　时，四边形DEBF为正方形.
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9. （2024·如东期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC，∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1） 求证：四边形DECF是正方形；
解：（1） 如图，过点D作DN⊥AB于点N，连接CD. ∵ ∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴ 易得四边形DECF是矩形.
∵ ∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，∴ DF＝DN，DE＝DN. ∴ DF＝DE. ∴ 四边形DECF是正方形
第9题答案
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（2） 若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积.
解：（2） ∵ BC＝8，AC＝6，∴ AB＝ ＝10.∵ S△ABC＝ AC·BC＝ BC·DE＋ AC·DF＋ AB·DN，∴ ×6×8＝ ×（6＋8＋10）×DF. ∴ DF＝2.∴ 正方形DECF的面积＝DF2＝4
第9题答案
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10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CE，CF，AF.
（1） 求证：四边形AECF是正方形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD. ∵ BE＝DF，∴ OB－BE＝OD－DF. ∴ OE＝OF.
∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ AC⊥BD，∴ 四边形AECF是菱形.又∵ AC＝EF，∴ 四边形AECF是正方形
第10题
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（2） 若AB＝ ，OB＝3 ，求AE的长.
解：（2） ∵ AC⊥BD，AB＝ ，OB＝3 ，∴ 在Rt△OAB中，由勾股定理，得OA＝ ＝ ＝2 .由（1），可知四边形AECF是正方形，∴ OE＝OA＝2 .∴ 在Rt△OAE中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝4
第10题
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11. 如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2 ，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1） 求证：四边形DEFG为正方形.
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解：（1） 如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N. ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠BCD＝90°，∠ECN＝45°.∴ ∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°.∴ 四边形EMCN为矩形，∠NEC＝∠ECN＝45°.∴ NE＝NC. ∴ 四边形EMCN为正方形.∴ EM＝EN，∠NEM＝90°.∵ 四边形DEFG为矩形，
∴ ∠DEF＝90°＝∠NEM. ∴ ∠DEN＋∠NEF＝∠FEM＋∠NEF. ∴ ∠DEN＝∠FEM. 在△DEN和△FEM中， ∴ △DEN≌△FEM. ∴ ED＝EF.
∴ 四边形DEFG为正方形
第11题答案
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（2） 试探究CE＋CG的值是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
解：（2） CE＋CG的值为定值　∵ 四边形DEFG为正方形，
∴ DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°.∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°.∴ ∠ADE＝∠CDG. 在△ADE和△CDG中，
∴ △ADE≌△CDG. ∴ AE＝CG. 易得AC＝ AB＝ ×2 ＝4，∴ CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝4，是定值
第11题答案
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11(共10张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.2　平行四边形
21.2.1　平行四边形及其性质
第2课时　平行四边形性质的应用
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 如图，在 ABCD中，AH⊥BC，垂足为H，则下列说法正确的是（　C　）
A. 直线AD，BC之间的距离是线段AB的长
B. 直线AD，BC之间的距离是线段AH
C. 直线AD，BC之间的距离是线段AH的长
D. 直线BA，CD之间的距离是线段AH的长
C
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2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F. 若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为 　12　.
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3. （教材变式）如图，在 ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O. 求证：OE＝OF.
第3题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵ BE＝DF，∴ AB＋BE＝CD＋DF. ∴ AE＝CF. ∵ AB∥CD，∴ ∠E＝∠F. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF
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4. 如图， ABCD的顶点A在 DEFG的边EF上， DEFG的顶点G在 ABCD的边BC上.若 ABCD的面积为8，则 DEFG的面积为（　B　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
B
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的平面内.如果点B的落点记为B'，那么DB'的长为 　 　.　
　
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6. 如图，在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，点E在边AB上，连接ED，EC，以EC，ED为邻边作 EDFC，连接EF，则EF长的最小值为 　8 　.　
8 　
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7. 如图，在 ABCD中，F是AD的中点，连接CF并延长，交BA的延长线于点E.
（1） 求证：AB＝AE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD. ∴ ∠E＝∠DCF. ∵ F是AD的中点，∴ AF＝DF. 在△AFE和△DFC中，
∴ △AFE≌△DFC. ∴ AE＝DC. ∴ AB＝AE
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（2） 若BC＝2AE，∠E＝34°，求∠DAB的度数.
解：（2） 由（1），可得AB＝AE，AF＝DF，BC＝AD. ∵ BC＝2AE，∴ AE＝AF. ∴ ∠AFE＝∠E. ∴ ∠DAB＝∠AFE＋∠E＝2∠E＝68°
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7(共10张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定
第2课时　平行四边形的判定（2）
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OB＝OD，有下列条件：① OA＝OC；② AB＝CD；③ AD∥BC. 添加其中的一个后，可判定四边形ABCD是平行四边形的有（　B　）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
B
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2. 如图，两条射线AE∥BF，点C，D分别在射线BF，AE上，只需添加一个条件，即可判断四边形ABCD为平行四边形，这个条件可以是 　答案不唯一，如AD＝BC　（写出一个即可）.
答案不唯一，如
AD＝BC　
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3. 如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF. 求证：四边形ABDF是平行四边形.
第3题
解：∵ AB平分∠CAE，∴ ∠CAB＝∠BAE. ∵ AB∥DF， ∴ ∠BAE＝∠DFE.
∴ ∠CAB＝∠EFD. 在△CAB和△EFD中，
∴ △CAB≌△EFD. ∴ AB＝FD. 又∵ AB∥FD，∴ 四边形ABDF是平行四边形
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4. 如图，AD∥BC，AB＝BD，以点B为圆心，AD长为半径画弧，交射线BC于点E，连接DE. 若∠BED＝50°，则∠DBC的度数为 　50°　.
50°　
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5. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG. 求证：
（1） △GBE≌△HDF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ AG＝CH，∴ AG＋AB＝CH＋CD，即BG＝DH. 在△GBE和△HDF中， ∴ △GBE≌△HDF
第5题
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（2） GF＝EH.
解：（2） ∵ △GBE≌△HDF，∴ GE＝HF，∠BEG＝∠DFH. ∴ 180°－∠BEG＝180°－∠DFH，即∠GEF＝∠EFH. ∴ GE∥HF. ∴ 四边形GEHF是平行四边形.∴ GF＝EH
第5题
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6. （2024·崇川期中）如图，E，F分别为 ABCD的边AB，DC上的点，且BE＝DF，连接AF，CE.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∵ BE＝DF，∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF. 又∵ AE∥CF，∴ 四边形AECF是平行四边形
第6题
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（2） 当DE平分∠ADC，AF⊥DC，DF＝3，AE＝5时，求 ABCD的面积.
解：（2） ∵ AB∥CD，∴ ∠AED＝∠CDE. ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠CDE. ∴ ∠ADE＝∠AED. ∴ AD＝AE＝5.由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，∴ FC＝AE＝5.∴ CD＝DF＋FC＝3＋5＝8.∵ AF⊥DC，∴ ∠AFD＝90°.∴ AF＝ ＝ ＝4.∴ S ABCD＝CD·AF＝8×4＝32
第6题
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6(共9张PPT)
第二十一章　四 边 形
小专题（六）　与中点有关的计算与证明
类型一　构造直角三角形斜边上的中线
1. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点.
（1） 猜想EF与AC之间的位置关系，并证明；
解：（1） EF⊥AC　连接AE，CE. ∵ ∠BAD＝90°，E是BD的中点，∴ AE＝ BD. ∵ ∠DCB＝90°，E是BD的中点，∴ CE＝ BD. ∴ AE＝CE. ∵ F是AC的中点，∴ EF⊥AC
第1题
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（2） 当AC＝8，BD＝10时，求EF的长.
解：（2） ∵ BD＝10，∠BAD＝∠DCB＝90°，∴ AE＝CE＝ BD＝5.∵ AC＝8，F是AC的中点，∴ CF＝ AC＝4.
∵ EF⊥AC，∴ ∠CFE＝90°.∴ 在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF＝ ＝ ＝3
第1题
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类型二　构造三角形的中位线
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，N，M分别为AF，DE的中点，连接MN. 若MN＝1，则DE的长为（　B　）
A. B. C. 3 D. 2
B
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3. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是边AC的中点，连接DE. 若DE＝2，BC＝10，则AB的长为 　6　.　
6　
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4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF分别交BD，AC于点G，H. 求证：OG＝OH.
第4题答案
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解：如图，取BC的中点M，连接EM，FM. ∵ M，F分别是BC，CD的中点，∴ MF∥BD，MF＝ BD. 同理，可得ME∥AC，ME＝ AC. ∵ AC＝BD，∴ ME＝MF. ∴ ∠MEF＝∠MFE. ∵ MF∥BD，∴ ∠MFE＝∠OGH. 同理，可得∠MEF＝∠OHG. ∴ ∠OGH＝∠OHG. ∴ OG＝OH
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类型三　中点与四边形
5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，M，N分别为线段BO和CO的中点，连接ED，DN，NM，ME. 求证：四边形EDNM是矩形.
第5题
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解：∵ BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴ AD＝ AC，AE＝ AB，则易得ED是△ABC的中位线.∴ ED∥BC，ED＝ BC. ∵ M，N分别为线段BO和CO的中点，∴ OM＝BM，ON＝CN，MN是△OBC的中位线.
∴ MN∥BC，MN＝ BC. ∴ ED∥MN，ED＝MN. ∴ 四边形EDNM是平行四边形.∴ OE＝ON，OD＝OM. ∵ AB＝AC，∴ AE＝AD. 在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE. ∴ BD＝CE. 又∵ OD＝OM，OM＝BM，OE＝ON，ON＝CN，∴ 易得DM＝EN. ∴ 四边形EDNM是矩形
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5(共32张PPT)
第二十一章　四 边 形
第二十一章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一　四边形及多边形
1. 如图，在四边形ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC和∠BCD，∠A＋∠D＝270°，则∠BEC的度数为（　B　）
A. 120° B. 135° C. 150° D. 145°
B
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2. 一个多边形的内角和比四边形内角和的2倍多180°，这个多边形的边数是 　7　.
3. 如图，一束平行光线照射到正六边形ABCDEF上，光线恰好过点A，B，则∠1的度数为 　8°　.
7　
8°　
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考点二　平行四边形的性质与判定
4. （2025·启东期末）如图，在 ABCD中，E是边BC延长线上一点.若∠BAD＝130°，则∠DCE的度数为（　A　）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
A
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5. （2025·崇川期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BC于点C，E为AD的中点，连接OE. 若BC＝6，OC＝4，则OE的长为（　C　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
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6. 如图，在 ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC的周长比△ABC的周长多 　4　cm.
4　
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7. 如图，坐标原点O为 ABCD的对角线AC的中点，顶点A的横坐标为4，AD∥x轴，且AD的长为5.若 ABCD的面积为10，则顶点B的坐标为 　（1，－1）　.
（1，－
1）　
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8. （2024·如皋期中）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F. 求证：BE＝DF.
第8题
解：连接AC，交BD于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝OC，BO＝DO. ∵ AM∥CN，∴ ∠EAC＝∠FCA. 在△AEO和△CFO中， ∴ △AEO≌△CFO. ∴ OE＝OF. ∴ BO－OE＝OD－OF.
∴ BE＝DF
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考点三　三角形的中位线
9. （2025·内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH，则GH长的最大值是 　5　.
第9题
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考点四　特殊平行四边形的性质与判定
10. （2025·内蒙古）如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20m，AD＝30m，则该草坪的面积为（　C　）
A. 2400m2 B. 1800m2
C. 1200m2 D. 600m2
第10题
C
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11. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，连接AC，∠DAC＝30°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD，OE，∠DOE＝88°，则∠CAB的度数为（　B　）
A. 20° B. 28° C. 30° D. 38°
B
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12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE. 若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为（　B　）
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
B
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13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为边CD上任意一点（不与点C，D重合）.过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别为F，G. 若AB＝8，BC＝6，则EF＋EG＝ 　 　.
　
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14. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN. 若AB＝7，BE＝5，则MN＝ 　 　.
　
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15. （2024·兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC于点F.
（1） 求证：四边形ADCE是矩形；
解：（1） 在△ABC中，∵ AB＝AC，D是BC的中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.∵ CE∥AD，∴ ∠ECD＝∠ADB＝90°.∵ AE⊥AD，∴ ∠EAD＝90°.∴ ∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°.∴ 四边形ADCE是矩形
第15题
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（2） 若BC＝4，CE＝3，求EF的长.
解：（2） 在△ABC中，∵ D是BC的中点，BC＝4，∴ BD＝CD＝ BC＝2.由（1），可知四边形ADCE是矩形，∴ AE＝CD＝2，∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，∴ 由勾股定理，得AC＝ ＝ .∵ S△AEC＝ AC·EF＝ AE·CE，∴ EF＝ ＝ ＝
第15题
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16. （2025·徐州）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，过点E作EG⊥AC于点G，延长EG交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF. 求证：
（1） △AGF≌△CGE；
解：（1） ∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC＝90°.∵ E为BC的中点，
∴ AE＝BE＝EC. ∵ EF⊥AC，∴ EF垂直平分AC. ∴ AG＝GC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠DAC＝∠ACB. 又∵ ∠AGF＝∠CGE，∴ △AGF≌△CGE
第16题
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（2） 四边形AECF是菱形.
解：（2） ∵ △AGF≌△CGE，∴ AF＝CE. 又∵ AF∥CE，
∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ EF⊥AC，∴ 四边形AECF是菱形
第16题
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17. 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，BD＝2CD，F为AD的中点，E为OC的中点.若BC＝15，则EF的长为（　A　）
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
A
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18. 如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，则点D的坐标为（　A　）
A. （3，1） B. （3，2）
C. （4，1） D. （4，2）
A
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19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，顶点A，B分别在y轴和x轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动.在移动过程中，OD长的最大值为（　B　）
A. 8 B. 9 C. D.
B
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20. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，过点B作BF∥CD，交AC于点F，连接DF. 已知CD＝BF，若再添加一个条件可使四边形BCDF是菱形，则这个条件可以是 　答案不唯一，如AC⊥BD　.
答案不唯一，如AC⊥BD　
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21. （2025·吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的度数为 　36°　.
36°　
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22. （2024·南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，连接CF，DF. 若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为 　 　.
　
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23. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝ ，BC＝4，以AC为边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，连接AF，则AF的长为 　 　.
　
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24. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E是边BC上的动点（点E可以与点B，C重合），连接DE，AE，过点D作AE的垂线，交线段AB于点F，以DF，DE为邻边构造 DFGE，连接BG，则BG长的最小值为 　 　.
　
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25. 如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，且AP∥DE，交CD于点P.
（1） 五边形ABCDE的内角和为 　540°　；
（2） 若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠B的度数.
第25题
540°　
解：∵ AP∥DE，∠E＝135°，∴ ∠EAP＝180°－∠E＝45°.∵ AP平分∠EAB，∴ ∠EAB＝2∠EAP＝90°.∵ ∠C＝100°，∠D＝75°，∴ ∠B＝540°－∠C－∠EAB－∠E－∠D＝140°
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26. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O.
（1） 求证：四边形AEFD为矩形；
解：（1） ∵ BE＝CF，∴ BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ AD＝BC＝EF. 又∵ AD∥EF，∴ 四边形AEFD为平行四边形.∵ AE⊥BC，∴ ∠AEF＝90°.∴ 四边形AEFD为矩形
第26题
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（2） 若AB＝6，OE＝4，∠BAE＝∠DEF，求BF，DF的长.
解：（2） ∵ 四边形AEFD为矩形，∴ AF＝DE，OA＝OF＝ AF，OD＝OE＝ DE，AE＝DF. ∴ AF＝DE＝2OE＝8，OA＝OF＝OD＝OE. ∴ ∠DEF＝∠AFE. 又∵ ∠AEF＝90°，∴ ∠EAF＋∠AFE＝90°.∵ ∠BAE＝∠DEF，
∴ ∠BAE＋∠EAF＝90°，即∠BAF＝90°.在Rt△BAF中，由勾股定理，得BF＝ ＝ ＝10.∵ S△BAF＝ AB·AF＝ BF·AE，∴ ×6×8＝ ×10×AE. ∴ AE＝4.8.∴ DF＝AE＝4.8
第26题
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27. （2025·海门期中）在正方形ABCD中，G是射线AC上一动点（不与点A，C重合），连接BG，作BH⊥BG，且使BH＝BG，连接GH，CH.
（1） 如图①，若点G在线段AC上.
① 图中与△ABG全等的三角形是 　△CBH　；
② 线段AG，CG，GH之间的数量关系是 　AG2＋CG2＝GH2　.
△CBH　
AG2＋CG2＝GH2　
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（2） 如图②，若点G在AC的延长线上，则线段AG，CG，BG之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明.
解：AG2＋CG2＝2BG2　∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，AB＝BC. ∵ ∠GBH＝90°，∴ ∠ABC＋∠GBC＝∠GBH＋∠GBC，即∠ABG＝∠CBH. 又∵ BG＝BH，∴ △ABG≌△CBH. ∴ AG＝CH，∠BAG＝∠BCH＝45°.∴ ∠ACH＝∠ACB＋∠BCH＝45°＋45°＝90°.
∴ ∠GCH＝180°－∠ACH＝90°.在Rt△GCH中，由勾股定理，得CH2＋CG2＝GH2，∴ AG2＋CG2＝GH2.∵ ∠GBH＝90°，BG＝BH，∴ GH2＝BG2＋BH2＝2BG2.∴ AG2＋CG2＝2BG2
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27(共20张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.2　平行四边形
21.2.1　平行四边形及其性质
第1课时　平行四边形及其性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·贵州）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（　D　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
D
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2. 如图， ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2.若∠1＝32°，∠B＝66°，则∠2的度数为（　B　）
A. 32° B. 34° C. 36° D. 44°
B
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3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若AB＝12，AC＝16，BD＝20，则△OCD的周长为（　C　）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
C
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4. （教材变式）已知四边形ABCD是平行四边形.
（1） （2025·南通期中）若∠A＋∠C＝230°，则∠B＝ 　65°　；
（2） （2025·如皋期末）若∠A∶∠B＝4∶5，则∠A＝ 　80°　.
5. （2024·海安期中）如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E. 若BE＝4，AB＝6，则 ABCD的周长是 　32　.
65°　
80°　
32　
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6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，CD上的点，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC.
（1） 求证：DE＝BF.
第6题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC. ∵ DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴ ∠ADE＝ ∠ADC，∠CBF＝ ∠ABC. ∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF.
∴ DE＝BF
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（2） 把条件“DE平分∠ADC，BF平分∠ABC”改成“DE∥BF”，求证：AE＝CF.
解：（2） 连接EF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB＝CD. ∴ ∠BEF＝∠DFE. ∵ DE∥BF，∴ ∠BFE＝∠DEF. 在△BEF和△DFE中，
∴ △BEF≌△DFE. ∴ BE＝DF. ∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF
第6题
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（3） 如果把条件“DE平分∠ADC，BF平分∠ABC”改成“DF＝BE”，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
解：（3） 成立　∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C. ∵ BE＝DF，∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF. 在△ADE和△CBF中，
∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF
第6题
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7. （教材变式）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积相等的平行四边形有（　B　）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
B
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8. 如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，连接CM. 若△CDM的周长为14cm，则 ABCD的周长为（　A　）
A. 28cm B. 36cm C. 42cm D. 48cm
A
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9. 如图，在平面直角坐标系中， ABCD三个顶点的坐标分别为A（－1，－2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为 　（3，－1）　.
（3，－1）　
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10. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E. 若AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 　 　.
　
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11. （2024·通州期中）如图，在 ABCD中，E是BC上一点，DE＝DA，点F在DE上，∠DAF＝∠EDC. 求证：DF＝EC.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠C＋∠ADC＝180°，AB∥CD，AD∥BC. ∴ ∠ADF＝∠DEC. ∵ ∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠DAF＋∠ADF＝∠EDC＋∠ADF＝∠ADC. ∴ ∠AFD＝∠C. 在△AFD和△DCE中， ∴ △AFD≌△DCE. ∴ DF＝EC
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12. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.
（1） 求证：AE＝CF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，OA＝OC. ∴ ∠EAO＝∠FCO. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF. ∴ AE＝CF　
第12题
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（2） 若∠FEB＝90°，BE＝6，BD＝13，求EF的长.
解：（2） 在 ABCD中，∵ BD＝13，∴ OB＝OD＝ BD＝ .∵ ∠FEB＝90°，∴ 在Rt△BOE中，OE2＋BE2＝OB2.
∴ OE2＋62＝ .∴ OE＝ .由（1），得△AOE≌△COF，则OE＝OF，∴ EF＝2OE＝2× ＝5
第12题
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13. 如图，在 ADBC中，∠C＝60°，AC＝BC，点E，F分别在BC，AC上，BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接AB.
（1） 求∠EGB的度数；
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解：（1） ∵ ∠C＝60°，AC＝BC，∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC. 在△ABE和△BCF中， ∴ △ABE≌△BCF. ∴ ∠BAE＝∠CBF. ∴ ∠EGB＝∠ABG＋∠BAE＝∠ABG＋∠CBF＝∠ABC＝60°　
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（2） 连接DG，求证：DG＝AG＋BG.
解：（2） 如图，延长GE至点H，使GH＝GB，连接BH. ∵ ∠EGB＝60°，∴ △BGH为等边三角形.∴ BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°.易得△ABD是等边三角形，∴ AB＝DB，∠ABD＝60°.∵ ∠ABH＝∠GBH＋∠ABG，∠DBG＝∠ABD＋∠ABG，∴ ∠ABH＝∠DBG. 在△DBG和△ABH中， ∴ △DBG≌△ABH. ∴ DG＝AH.
∵ AH＝AG＋GH，∴ DG＝AG＋BG
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第二十一章　四 边 形
小专题（七）　特殊四边形中的折叠问题
类型一　折叠中求角度
1. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，展开后得到折痕EF，然后把△ADH沿DH折叠，使点A落在EF上的点G处，则∠HDG的度数为（　A　）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
第1题
A
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类型二　折叠中求线段长
2. （2025·如皋期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，O是AC的中点，过点O作直线EF分别交矩形的边AB，CD于点E，F，将四边形ADFE沿直线EF翻折得到四边形A'D'FE，连接A'O. 若A'O∥AD，则AE的长为 　 　.
　
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3. 如图①，将正方形纸片ABCD对折，展开后得到折痕EF，再折出矩形BCFE的对角线BF并展开；如图②，将△ABG沿BG折叠，使点A落在BF上的点A'处.若AB＝2，则A'G＝ 　 －1　.
－1　
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第4题答案
4. （2024·海安期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边DC上，DE＝2，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF交BC于点M，求线段BM的长.
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解：如图，连接AM. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠B＝∠C＝∠D＝90°.∴ CE＝CD－DE＝8－2＝6.由翻折的性质，可得AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°，EF＝DE＝2.∴ ∠AFM＝180°－∠AFE＝90°.∵ AM＝AM，∴ Rt△ABM≌Rt△AFM. ∴ BM＝FM. 设BM＝FM＝x，则CM＝8－x，ME＝x＋2.在Rt△MCE中，由勾股定理，可得CM2＋CE2＝ME2，即（8－x）2＋62＝（x＋2）2，解得x＝ .∴ BM＝
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类型三　折叠中求面积
5. 如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到折痕FH，GE，连接FG，GH，HE，EF. 若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　B　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
B
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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点E，则△CDE的面积为 　 　.
　
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6(共19张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.3　正 方 形
第1课时　正方形及其性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数为（　A　）
A. 22.5° B. 25° C. 20° D. 30°
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2. （2025·启东期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E在边BC上，以点D为圆心，DC长为半径画弧，交线段DE于点F. 若EF＝EB，则CE的长为（　D　）
A. 2 B. C. D.
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3. （2024·常州）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O. 若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 　（－2，－1）　.
（－2，－1）　
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4. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠AFE＝ 　60　°.
60　
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5. 如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，连接PB，PD，点E在BC上，且PE＝PB.
（1） 求证：PE＝PD；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴ BC＝CD，∠ACB＝∠ACD. 在△PBC和△PDC中， ∴ △PBC≌△PDC. ∴ PB＝PD. ∵ PE＝PB，
∴ PE＝PD
第5题
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（2） 试判断PE与PD的位置关系，并证明你的结论.
解：（2） PE⊥PD　∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BCD＝90°.由（1）知，△PBC≌△PDC，且PE＝PB，∴ ∠PBC＝∠PDC，∠PBC＝∠PEB. ∴ ∠PDC＝∠PEB. ∵ ∠PEB＋∠PEC＝180°，
∴ ∠PDC＋∠PEC＝180°.∴ ∠EPD＝360°－（∠PDC＋∠PEC）－∠BCD＝360°－180°－90°＝90°.∴ PE⊥PD
第5题
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6. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的点，且EF∥AD，连接AF，DE. 若∠FAC＝15°，则∠AED 的度数为（　C　）
A. 80° B. 90° C. 105° D. 115°
C
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7. （2025·崇川期中）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，连接OD并延长至点E，连接AE，CE. 若△ACE为等边三角形，AB＝2，则DE的长为（　C　）
A. B. C. － D. 2
C
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8. （2024·重庆B卷）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M，连接EM. 若BE＝DF＝1，则DM的长为 （　D　）
A. 2 B. C. D.
D
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9. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　.
　
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10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边AD，AB上的点，连接BE，CF. 若DE＝BF，则BE＋CF的最小值是 　4 　.
4 　
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11. （2025·长沙）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） 在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∵ BE＝DF，∴ AB－BE＝CD－DF. ∴ AE＝CF. 又∵ AB∥CD，∴ 四边形AECF是平行四边形
第11题
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（2） 连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长.
解：（2） 过点E作EH⊥CD于点H. ∴ ∠EHC＝∠EHF＝90°.
∵ 四边形ABCD是正方形，BC＝12，∴ AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°.∴ ∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°.∴ 四边形EBCH是矩形.∴ EH＝BC＝12，CH＝BE＝5.∴ DH＝CD－CH＝12－5＝7.∵ BE＝DF＝5，∴ HF＝DH－DF＝7－5＝2.
∴ 在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF＝ ＝ ＝2
第11题
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12. （新考法·探究题）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE＞CE），连接BE，DE.
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（1） 求证：BE＝DE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠BAE＝∠DAE. 在△BAE和△DAE中，
∴ △BAE≌△DAE. ∴ BE＝DE
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（2） 过点E作EF⊥AC，交BC于点F，延长BC至点G，使得CG＝BF，连接DG.
① 依题意补全图形；
解：（2） ① 补全图形如图所示
第12题答案
② 用等式表示BE与DG之间的数量关系，并给予证明.
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② DG＝ BE　如图，连接EG. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ 易得∠ECF＝45°.∵ EF⊥AC，∴ ∠FEC＝90°.
∴ ∠EFC＝∠ECF＝45°.∴ EF＝EC，∠EFB＝∠ECG. 在△BFE和△GCE中，
∴ △BFE≌△GCE. ∴ BE＝GE，∠BEF＝∠GEC. 由（1），知△BAE≌△DAE，∴ BE＝DE，∠AEB＝∠AED. ∴ DE＝GE. ∵ ∠AEB＋∠BEF＝90°，∴ ∠AED＋∠GEC＝90°.
∴ ∠DEG＝90°.∴ 在Rt△DEG中，由勾股定理，得DE2＋GE2＝DG2.∴ 2DE2＝DG2.∴ DG＝ DE＝ BE
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12(共16张PPT)
第二十一章　四 边 形
阶段训练（21.2）
一、 选择题
1. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定成立的是 （　B　）
A. AD＝AB B. AD＝BC
C. ∠DAC＝∠ACD D. AO＝AB
B
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2. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到△A1B1C1的位置，连接BB1，这时四边形ABB1A1就是平行四边形.小明这样做的依据是 （　C　）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C
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3. 如图，在 ABCD中，点E在BC上，且ED平分∠AEC. 若∠DAE＝30°，AE＝8，则 ABCD的面积为（　D　）
A. 8 B. 16 C. 16 D. 32
D
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4. （2025·河南）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　B　）
A. 0.5 B. 1 C. D.
B
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5. （2025·如皋期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点，过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF. 若BF＝2，AB＝CF＝6，则DF的长为（　C　）
A. 2 B. 10 C. 2 D.
C
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二、 填空题
6. （2024·无锡）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 　9　.
7. 如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，AB＝AE. 若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB的度数为 　35°　.
9　
35°　
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8. 如图，将 AOBC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边AO与x轴重合，边BC与y轴正半轴相交于点D. 若OA＝6，OB＝5，且OD∶BD＝3∶4，则点C的坐标为 　（－2，3）　.
（－2，3）　
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9. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，连接OE. 若AD＝4，CD＝6，则EO的长为 　1　.
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10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD＋BC的最小值是 　2 　.
2 　
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三、 解答题
11. 如图，在 ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE于点F，G为DF的中点，连接CG，分别延长AE，DC交于点H. 求证：CG⊥DF.
第11题
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠B＝∠HCE. ∵ E为边BC的中点，∴ BE＝CE. 在△ABE和△HCE中，
∴ △ABE≌△HCE. ∴ AB＝HC. 又∵ AB＝CD，∴ CD＝HC，即C为DH的中点.∵ G为DF的中点，∴ CG是△DFH的中位线.∴ CG∥FH. ∵ DF⊥AE，
∴ CG⊥DF
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12. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，∠AEB＋∠D＝180°，过点E作EF⊥AE，交边AB于点F.
（1） 求证：四边形AECD是平行四边形；
解：（1） ∵ ∠ACB＝∠CAD，∴ AD∥BC. ∴ ∠AEB＝∠EAD. ∵ ∠AEB＋∠D＝180°，∴ ∠EAD＋∠D＝180°.∴ AE∥CD. ∴ 四边形AECD是平行四边形
第12题
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（2） 若AE平分∠BAC，AF＝5，AE＝2 ，求边AD的长.
解：（2） 过点E作EH⊥AB于点H，则∠AHE＝∠ACB＝90°.∵ AE平分∠BAC，∴ EC＝EH. ∵ 四边形AECD是平行四边形，∴ AD＝EC，即AD＝EC＝EH. 在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，∴ 由勾股定理，可得EF2＋AE2＝AF2.∵ AF＝5，AE＝2 ，∴ EF＝ .
∵ S△AEF＝ AF·EH＝ AE·EF，∴ AD＝EH＝ ＝2
第12题
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13. 如图，AD，BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，过点C作CF∥AB，交BE的延长线于点F，连接AF.
（1） 求证：四边形ABCF是平行四边形；
解：（1） ∵ CF∥AB，∴ ∠ABE＝∠CFE，∠BAE＝∠FCE. ∵ BE是△ABC的边AC上的中线，∴ AE＝CE. 在△ABE和△CFE中，
∴ △ABE≌△CFE. ∴ BE＝FE. 又∵ AE＝CE，∴ 四边形ABCF是平行四边形
第13题
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（2） 连接DE，若DE＝EC＝3，∠AFC＝45°，求BF的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCF是平行四边形，∴ ∠ABC＝∠AFC＝45°，BE＝EF＝ BF. ∵ AE＝CE，AD是△ABC的边BC上的中线，∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE＝ AB，DE∥AB. ∴ ∠EDC＝∠ABC＝45°.∵ DE＝EC＝AE＝3，∴ ∠EDC＝∠ECD＝45°，AC＝AB＝6.∴ ∠BAC＝180°－45°－45°＝90°.∴ BE＝ ＝ ＝3 .∴ BF＝2BE＝6
第13题
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13(共18张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.2　平行四边形
21.2.3　三角形的中位线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·如皋期中）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为9m，由此估测A，B两处之间的距离约为（　C　）
A. 12m B. 15m C. 18m D. 21m
C
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2. （2025·广东）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF的度数为（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
C
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3. （2025·启东期末）如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个Rt△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E，F分别为AB，AC的中点）.若EF＝35cm，则点B距离地面的高度BC为 　70　cm.
70　
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4. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝140°，E，F分别是AB，AD的中点，且∠AFE＝50°，连接BD.
（1） 求∠BDC的度数；
解：（1） ∵ E，F分别是AB，AD的中点，∴ EF是△ABD的中位线.∴ EF∥BD. ∴ ∠ADB＝∠AFE＝50°.∴ ∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝140°－50°＝90°
第4题
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11
（2） 若CD＝3，BC比BD长1，求EF的长.
解：（2） 由（1），得∠BDC＝90°，∴ 在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC2＝BD2＋CD2.设BD＝x，则BC＝x＋1.
∴ （x＋1）2＝x2＋32，解得x＝4，即BD＝4.∵ EF是△ABD的中位线，∴ EF＝ BD＝ ×4＝2
第4题
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5. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE 上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点，连接DG，GF，DE.
（1） 求证：四边形DEFG为平行四边形；
解：（1） ∵ D，E分别为AB，AC的中点，G，F分别为BH，CH的中点，∴ DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线.∴ DE∥BC，DE＝ BC，GF∥BC，GF＝ BC.
∴ DE∥GF，DE＝GF. ∴ 四边形DEFG为平行四边形
第5题
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（2） 若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长.
解：（2） ∵ 四边形DEFG为平行四边形，∴ DG＝EF＝2.∵ DG ⊥BH，∴ ∠DGB＝90°.∴ BG＝ ＝ ＝ ，即线段BG的长为
第5题
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6. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AB于点F. 若AE＝7，OE＝5，则BF的长为（　C　）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
第6题
C
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7. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　A　）
A. 12 B. 14 C. 24 D. 21
A
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8. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F. 若AB＝8，BC＝6，则EF的长是 　1　.
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9. 如图，在 ABCD中，∠C＝135°，AD＝3，AB＝ ，E，F分别是边BC，CD上的动点，连接AF，EF，M，N分别是AF，EF的中点，连接MN，则MN长的最大值与最小值的差为 　 　.　
　
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10. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接GE，EH，HF，FG.
（1） 求证：四边形EGFH是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. ∴ ∠GAE＝∠HCF. ∵ G，H分别是AB，CD的中点，
∴ AG＝ AB，CH＝ CD. ∴ AG＝CH. 又∵ AE＝CF，
∴ △AGE≌△CHF. ∴ GE＝HF，∠AEG＝∠CFH. ∴ ∠GEF＝∠HFE. ∴ GE∥HF. 又∵ GE＝HF，∴ 四边形EGFH是平行四边形
第10题
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（2） 若BD＝10，AE＋CF＝EF，求EG的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ BD＝10，AE＝CF，∴ OB＝OD＝5，OE＝OF.
∵ AE＋CF＝EF，∴ 2AE＝EF＝2OE. ∴ AE＝OE. 又∵ G是AB的中点，∴ EG是△ABO的中位线.∴ EG＝ OB＝2.5.∴ EG的长为2.5
第10题
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11. 【问题初探】
（1） 如图①，在四边形ABCD中，M和N分别是边DC和边AB的中点，P是对角线BD的中点，AD＝BC. 求证：∠PMN＝∠PNM.
解：（1） ∵ P，N分别是BD，AB的中点，∴ PN是△ABD的中位线.∴ PN＝ AD. ∵ P，M分别是BD，CD的中点，∴ PM是△BCD的中位线.∴ PM＝ BC. ∵ AD＝BC，∴ PM＝PN. ∴ ∠PMN＝∠PNM
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（2） 如图②，在四边形ABCD中，P和Q分别为边AB和边CD的中点，且∠A＋∠ABC＝90°，BC＝8，AD＝10，求PQ的长.
【问题再探】
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解：（2） 如图②，连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG. ∵ P，G分别是AB，BD的中点，∴ PG是△ABD的中位线.∴ PG＝ AD＝ ×10＝5.同理，可得QG是△BCD的中位线，∴ QG＝ BC＝ ×8＝4.∵ PG是△ABD的中位线，∴ PG∥AD. ∴ ∠BPG＝∠A. ∵ QG是△BCD的中位线，∴ QG∥BC. ∴ ∠DGQ＝∠DBC. ∴ ∠PGQ＝∠PGD＋∠DGQ＝∠BPG＋∠ABD＋∠DBC＝∠BPG＋∠ABC＝∠A＋∠ABC＝90°.∴ 根据勾股定理，得PQ＝ ＝
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11(共17张PPT)
第二十一章　四 边 形
21.1　四边形及多边形
21.1.1　四边形及其内角和
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）小明做了一个长方形框架，发现其容易变形，下列选项中，最好的一个加固方案是（　B　）
B
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2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠B＝90°，∠C＝∠D＝x°，则x的值是（　B　）
A. 60 B. 65 C. 75 D. 130
3. 在四边形ABCD中，∠A－∠C＝∠D－∠B，下列说法正确的是（　B　）
A. AB∥CD B. AD∥CB
C. AB∥CD且AD∥CB D. AB，CD与BC，AD都不平行
B
B
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4. 如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD的邻补角，则下列等式一定成立的是（　A　）
A. ∠1＋∠2＋∠3＝∠ADC＋180°
B. ∠1＋∠2＋∠ADC＝∠3＋180°
C. ∠1＋∠3＋∠ADC＝∠2＋180°
D. ∠2＋∠3＋∠ADC＝∠1＋180°
A
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5. （1） 图①中x的值为 　100　； （2） 图②中y的值为 　65　.
100　
65　
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6. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，求∠BOD的度数.
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解：在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝150°.∵ BO，DO分别平分∠ABC，∠ADC，∴ ∠ABO＝ ∠ABC，∠ADO＝ ∠ADC.
∴ ∠ABO＋∠ADO＝ （∠ABC＋∠ADC）＝75°.∴ 在四边形ABOD中，∠BOD＝360°－∠A－（∠ABO＋∠ADO）＝135°
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7. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是（　A　）
A. 360° B. 480° C. 540° D. 720°
A
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8. 如图，学校有一块四边形试验田，现分割成A，B两块，则x－y＝ 　3°　.
9. 如图，若∠1＝65°，∠2＝85°，∠3＝60°，∠4＝40°，则∠5＝ 　50°　.
3°　
50°　
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10. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线.
（1） 若∠1＝33°，求∠2的度数；
解：（1） ∵ BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴ ∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF. ∵ ∠A＝∠C＝90°，∴ ∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180°.∴ 2（∠1＋∠2）＝180°.∴ ∠1＋∠2＝90°.∵ ∠1＝33°，∴ ∠2＝90°－∠1＝57°
第10题
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（2） 判断BE与DF的位置关系，并说明理由.
解：（2） BE∥DF　理由：在△FCD中，∵ ∠C＝90°，
∴ ∠DFC＋∠2＝90°.由（1）知，∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＝∠DFC. ∴ BE∥DF.
第10题
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11. （新考法·新定义题）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫作“等对角四边形”.
（1） 如图①，若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠D＝80°，则∠C的度数为 　140°　；
140°　
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（2） 如图②，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，D，E分别是AB，AC边上的点，∠ADE＝50°，试判断四边形DBCE是否是“等对角四边形”，并说明理由.
解：四边形DBCE是“等对角四边形”　理由：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，∴ ∠C＝180°－∠A－∠B＝50°.∵ ∠ADE＝50°，∴ ∠AED＝90°，∠BDE＝130°.∴ ∠DEC＝∠AED＝90°.∴ ∠DEC＝∠B，且易知∠BDE≠∠C.
∴ 四边形DBCE是“等对角四边形”.
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12. 在四边形ABCD中，∠D＝90°，∠ABC＝∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB＝∠CEF.
（1） 如图①，若AE平分∠BAD，求证：EF⊥AE；
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解：（1） ∵ ∠BAE＝180°－∠B－∠AEB，∠EFC＝180°－∠C－∠CEF，∠B＝∠C，∠AEB＝∠CEF，∴ ∠BAE＝∠EFC. ∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE＝∠DAE. ∴ ∠EFC＝∠DAE.
∵ ∠EFC＋∠EFD＝180°，∴ ∠DAE＋∠EFD＝180°.∴ ∠AEF＋∠D＝360°－（∠DAE＋∠EFD）＝180°.∵ ∠D＝90°，∴ ∠AEF＝90°.∴ EF⊥AE
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（2） 如图②，若AE平分∠BAD的邻补角，其余条件不变，试判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由.
解：（2） （1）中的结论仍然成立　理由：如图②.∵ ∠1＝∠ABC－∠AEB，∠F＝∠BCD－∠CEF，∠ABC＝∠BCD，∠AEB＝∠CEF，∴ ∠1＝∠F. ∵ AE平分∠BAD的邻补角，∴ ∠1＝∠2.
∴ ∠F＝∠2.∵ ∠2＋∠EAD＝180°，∴ ∠F＋∠EAD＝180°.∴ ∠AEF＋∠D＝360°－（∠F＋∠EAD）＝180°.∵ ∠D＝90°，∴ ∠AEF＝90°.∴ EF⊥AE.
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第二十一章　四 边 形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱　形
第2课时　菱形的判定
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2024·南通一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的为（　B　）
A. AC＝BD B. ∠ADB＝∠CDB
C. ∠ABC＝∠DCB D. AD＝BC
B
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2. 在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原来的△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据为（　B　）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 四条边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
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3. 如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可判定四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　答案不唯一，如AB＝AD　（写出一个即可）.
答案不唯一，如AB＝AD　
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4. （2025·海门二模）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证：四边形ABCD是菱形.
第4题
解：∵ AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴ AB2＝AO2＋BO2.∴ △OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°.∴ AC⊥BD. 又∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ 四边形ABCD是菱形
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5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，连接BF，CE. 求证：四边形BECF是菱形.
第5题
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解：∵ AB＝AC，AD是边BC上的中线，∴ AD垂直平分BC. ∴ EB＝EC，FB＝FC. ∵ CF∥BE，∴ ∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD. ∵ DB＝DC，
∴ △EBD≌△FCD. ∴ EB＝FC. ∴ EB＝BF＝FC＝EC. ∴ 四边形BECF是菱形
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6. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2 ，DE＝2，则四边形OCED的面积为（　A　）
A. 2 B. 4
C. 4 D. 8
第6题
A
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7. （2024·海安期末）如图，将两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，且对角线AC＝8，BD＝6，则纸条的宽度是（　C　）
A. 9.6 B. 5 C. 4.8 D. 2.4
C
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8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H，要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 　1＋ 　.
1＋ 　
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9. 如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AF，CF，AD.
（1） 求证：四边形ADCF是菱形；
解：（1） ∵ E是AC的中点，∴ AE＝EC. ∵ EF＝DE，∴ 四边形ADCF是平行四边形.在△ABC中，∠CAB＝90°，D是BC的中点，∴ AD＝BD＝DC. ∴ 四边形ADCF是菱形
第9题
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（2） 连接BF，若∠ACB＝60°，AF＝2，求BF的长.
解：（2） 过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G. ∴ ∠BGF＝90°.∵ 四边形ADCF是菱形，∠ACB＝60°，AF＝2，∴ CF＝DC＝AF＝2，∠ACF＝∠ACD＝60°.∴ ∠FCG＝180°－∠ACF－∠ACD＝60°.∴ ∠GFC＝90°－∠FCG＝30°.在Rt△CFG中，∠GFC＝30°，∴ CG＝ CF＝1.∴ FG＝ ＝ .∵ BD＝CD＝2，∴ BG＝BD＋CD＋CG＝5.∴ 在Rt△BFG中，BF＝ ＝2
第9题
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10. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC.
（1） 求证：四边形ABCD是菱形.
解：（1） ∵ AO＝CO，BO＝DO，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB＝∠CBD. ∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD＝∠CBD. ∴ ∠ABD＝∠ADB. ∴ AB＝AD. ∴ 四边形ABCD是菱形
第10题
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（2） E为OB上一点，连接CE. 若OE＝1，CE＝ ，BC＝2 ，求菱形ABCD的面积.
解：（2） 由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD. ∴ ∠BOC＝90°.∴ CO＝ ＝ ＝2.∴ AC＝2CO＝4.在Rt△BOC中，由勾股定理，得BO＝ ＝ ＝4.
∴ BD＝2BO＝8.∴ 菱形ABCD的面积＝ AC·BD＝ ×4×8＝16
第10题
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11. 如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到边AB上的点D'处，折痕交边CD于点E.
（1） 求证：四边形BCED'是菱形；
解：（1） 由折叠，得∠DAE＝∠D'AE，∠DEA＝∠D'EA，∠ADE＝∠AD'E＝60°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD＝2，AD＝BC＝1，AB∥CD.
∴ ∠DEA＝∠D'AE. ∴ ∠D'EA＝∠D'AE. ∴ D'E＝D'A.
∵ ∠AD'E＝60°，∴ △AD'E是等边三角形.∴ 易知AD'＝ED'＝DE＝AD＝1.∴ CE＝D'B＝1.又∵ BC＝1，∴ ED'＝D'B＝BC＝CE. ∴ 四边形BCED'是菱形
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（2） 若P是直线l上的一个动点，求PD'＋PB的最小值.
解：（2） 如图，连接BD，交AE于点P，连接PD'，过点D作DG⊥BA，交BA的延长线于点G. 易得点D与点D'关于直线l对称，∴ PD＝PD'.∴ BD的长即为PD'＋PB的最小值.∵ CD∥AB，∴ ∠DAG＝∠ADC＝60°.∵ AD＝1，∴ 在Rt△ADG中，易得AG＝ ，DG＝ .∴ BG＝AG＋AB＝ .∴ 在Rt△BDG中，由勾股定理，得BD＝ ＝ .∴ PD'＋PB的最小值为
第11题答案
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