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(共6张PPT)
第十九章　二次根式
小专题（二）　二次根式化简求值的常见方法
类型一　利用二次根式的性质求值
1. 已知x，y为实数，且y＝ ＋ ＋4，则 的值为 　4 　.　
2. 若 ＋9y2＋6y＋1＝0，则xy＋ ＝ 　－ 　.
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 －｜a－c｜＋ －｜－b｜的结果为 　－2a　.　
4 　
－ 　
－2a　
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类型二　先化简，再求值
4. 先化简，再求值：
（1） ÷ ，其中x＝ ＋1；
解：原式＝ .当x＝ ＋1时，原式＝1＋
（2） （a－b）2＋2a（a＋b）＋（a＋2b）（a－2b），其中a＝ ，b＝ .
解：原式＝4a2－3b2.当a＝ ，b＝ 时，原式＝－1
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类型三　利用整体思想求值
5. 若a＝ －1，b＝ ＋1，则代数式a3b－ab3的值是（　D　）
A. 4 B. 3 C. －3 D. －4
6. 若x＝ －4，则代数式x2＋8x－16的值为 　－25　.
7. 已知x＝1－ ，求代数式（6＋2 ）x2＋（1＋ ）x＋ 的值.
解：∵ 6＋2 ＝（1＋ ）2，∴ 原式＝（1＋ ）2x2＋（1＋ ）x＋ ＝[（1＋ ）x]2＋（1＋ ）x＋ .当x＝1－ 时，原式＝[（1＋ ）（1－ ）]2＋（1＋ ）（1－ ）＋ ＝16－4＋ ＝12＋
D
－25　
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8. 已知x＝ ，y＝ ，求 ＋ －4的值.
解：∵ x＝ ＝5＋2 ，y＝ ＝5－2 ，∴ x＋y＝10，xy＝1.∴ 原式＝ －4＝ －4＝ －4＝94
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9. 已知x＋ ＝ ，求 的值.
解：∵ x＋ ＝ ，∴ x≠0.∴ ＝x2＋ ＋1＝ －1＝（ ）2－1＝6.∴ 原式＝
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9(共11张PPT)
第十九章　二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加减
01
基础过关
03
思维拓展
目
录
02
能力进阶
1. 若 ＋ ＝ ，则p的值为（　C　）
A. 8 B. 12 C. 24 D. 36
2. 若△ABC的两边长分别为2 ，5 ，则第三边的长不可能为（　A　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. （教材变式）给出下列各式：① 3 ＋2 ＝5 ；② 2＋ ＝2 ；③ ＝ － ＝3；④ 3 －2 ＝ .其中，计算错误的有（　B　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
C
A
B
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4. 计算：
（1） （2024·崇川三模） －3 ＝ 　 　； （2） 3 ＋5 ＝ 　7 　.
5. 如果最简二次根式 和 可以合并，那么它们的和是 　2 　.
6. 已知n为正整数，若计算 － 的结果为4 ，则n＝ 　98　.
　
7 　
2 　
98　
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（1） － ；
（2） － ；
（3） ＋ ；
解：－3
解：8
解：2
（4） ＋2 －（ ＋ ）.
解： －
7. （教材变式）计算：
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8. （教材变式）如图，从一个大正方形中裁去面积为12cm2和27cm2的两个小正方形，则大正方形的边长是（　D　）
A. 2 cm B. 3 cm
C. 4 cm D. 5 cm
9. 已知x ＋2 ＋ ＝10，则x的值为（　C　）
A. 4 B. ±2 C. 2 D. ±4
D
C
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10. （分类讨论思想）若一个等腰三角形的两边长分别为8 ，6 ，则该等腰三角形的周长为 　7 或8 　.
11. （教材变式）现将一张长方形纸片的长增加 cm，宽增加6 cm，就成为一张面积为162cm2的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为 　36　cm2.
12. 观察等式： ＋ ＝ ，2＋ ＝ ， ＋ ＝ ，….按上述规律，若 ＋ ＝ ，则a2－b＝ 　1　.
7 或8 　
36　
1　
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（1） 5 －2 ＋ ＋2 ；
（2） 3 ＋2 － .
解：13 －2
解： －
13. （教材变式）计算：
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14. 化简： a ＋16a －4a2 ，并任取一个a的值使其结果为正整数.
解：原式＝ 　答案不唯一，如当a＝9时，原式＝63
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15. （新考法·探究题）在学完“二次根式的乘法与除法”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知x＋y＝－6，xy＝4，求 ＋ 的值.
小刚是这样解的： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .把x＋y＝－6，xy＝4代入，得 ＝ ＝－3.
显然，小刚的解题过程是错误的，请你写出正确的解题过程.
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解：∵ x＋y＝－6，xy＝4，∴ x＜0，y＜0.∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ ＝－ ＝3
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15(共13张PPT)
第十九章　二次根式
19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 已知式子 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（　C　）
2. 若 是二次根式，则需满足的条件是（　D　）
A. a，b均为非负数 B. a≥0且b＞0
C. ＞0 D. ≥0
C
D
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3. 若 ＋ 在实数范围内有意义，则x的算术平方根在如图所示的数轴上的对应点可能是（　D　）
A. A B. B C. C D. D
D
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4. （教材变式）要画一个面积为56cm2的长方形，使它的长与宽的比为7∶4，则这个长方形的长为 　7 　cm，宽为 　4 　cm.
7 　
4 　
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（1） （2025·南通） ；
（2） ；
解：x≥3
解：x≥－
（3） （2025·绥化） ；
解：x＞－1
5. （教材变式）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
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（4） ；
（5） ；
（6） .
解：x≥4
解：x＜5
解：x≥－ 且x≠0
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6. 已知边长为a的正方形的面积是两个面积分别为4和9的正方形的面积之和，求a的值.
解：由题意，得a＝ ＝
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7. 当x≥3时，式子 一定有意义，则实数m的取值范围是（　C　）
A. m＝9 B. m≤3 C. m≤9 D. m≥9
8. 若 ＋ ＋2在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　C　）
A. x≥ B. x≤ C. x＝ D. x≠
9. 使式子 ＋ 有意义的所有整数x的和是（　A　）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
C
C
A
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10. 已知式子 有意义，则x的值为 　－1　.
11. 使式子 有意义的最小整数a的值为 　3　.
12. （教材变式）已知一个直角三角形的面积为12S，两条直角边的长之比为3∶4，则这个直角三角形的两条直角边的长分别为 　3 　， 　4 　（用含S的式子表示）.
－1　
3　
3 　
4 　
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解：由题意，得 解得a＝5.∴ 原式＝ － ＋ ＋ ＝5－4＋11＋0＝12
13. 求 － ＋ ＋ 的值.
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14. 已知y＝ ，其中x，y为实数，求 的值.
解：由题意，得 解得x＝－3.∴ y＝ .∴ ＝ ＝4
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15. 请判断是否存在整数a，使它同时满足下列条件：① 式子 和 在实数范围内均有意义；② 的值仍为整数；③ 若b＝ ，则 也是整数.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
解：存在　由条件①，可得 解得13≤a≤20.∴ 整数a的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.其中，符合条件②的整数a只有16，且a＝16同时符合条件③.∴ a的值为16
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15(共8张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第3课时　最简二次根式
01
基础过关
目
录
02
能力进阶
1. （2025·如皋期末）下列根式中，是最简二次根式的为（　A　）
A. B. C. D.
A
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2. （教材变式）化简：
（1） ＝ 　2 　； （2） ＝ 　2 　； （3） ＝ 　6 　；
（4） ＝ 　 　； （5） ＝ 　 　； （6） ＝ 　 　.
2 　
2 　
6 　
　
　
　
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3. 使结果中的二次根式为最简二次根式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） － .
解：10
解：
解：
解：－
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4. （易错题）若xy＞0，则 可化简为（　D　）
A. x B. －xy C. －x D. －x
5. 计算或化简：
（1） ＝ 　 　； （2） ＝ 　 　；
（3） －5 ＝ 　－3 　； （4） ＝ 　a 　.
D
　
　
－3 　
a 　
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6. 若长方形的面积为18，一边长为2 ，则其邻边长为 　 　.
　
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（1） ÷ × ；
解：原式＝ × ＝15
（2） －3 × ÷ .
解：原式＝ × ＝
＝
7. （教材变式）计算：
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7(共6张PPT)
第十九章　二次根式
小专题（一）　二次根式的运算常见题型
类型一　利用运算法则进行计算
1. 计算：
（1） － × ；
（2） ＋3 － ；
解：
解：
（3） × ；
（4） ÷ ；
解：9
解：2
1
2
（5） × － ÷ ＋ ；
（6） － ＋2 × ÷5 .
解：4
解： －
1
2
类型二　利用乘法公式计算
2. 计算：
（1） （2＋ ）（2－ ）＋（ － ）2；
解：6－2
（2） ＋（3＋ ）（3－ ）；
解： ＋4
1
2
（3） ｜－ ｜＋ － ；
解：－
（4） （2 ＋3 ）2－（2 －3 ）2；
解：24
1
2
（5） （4＋ ）2025×（4－ ）2026；
解：4－
（6） （1＋ ＋ ）×（1＋ － ）.
解：2
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2(共13张PPT)
第十九章　二次根式
19.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的性质
01
基础过关
03
思维拓展
目
录
02
能力进阶
1. （2024·海门一模改编）用一个x的值说明 ＝x是错误的，则x的值可以是（　C　）
A. 2 B. 0 C. －1 D. 1
2. 若 ＝a－ ，则a的取值范围是（　A　）
A. a≥ B. 0≤a≤ C. a≤ D. 一切实数
C
A
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3. 若 ＋b2＋4b＋4＝0，则ab的值为（　D　）
A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
4. （教材变式）化简：
（1） ＝ 　6　； （2） ＝ 　9　.
5. （教材变式）利用a＝（ ）2（a≥0）可以把一个非负数写成一个非负数的平方的形式，则 ＝ 　 　.
6. 化简： ＋（ ）2＝ 　2x　.
D
6　
9　
　
2x　
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7. （教材变式）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） （－2 ）2；
解：
解：
解：20
（4） .
解：6
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8. 计算：
（1） ；
（2） ；
解：0.8
解：
（3） －（－ ）2；
（4） .
解：0
解： －2
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9. 下列各式一定成立的是（　B　）
A. ＝a＋b B. ＝a2＋1
C. ＝a－1 D. ＝ab
10. （2024·乐山）已知1＜x＜2，则化简 ＋｜x－2｜的结果为（　B　）
A. －1 B. 1 C. 2x－3 D. 3－2x
B
B
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11. 已知2，5，m是某三角形的三边长，则化简 ＋ 的结果为（　D　）
A. 2m－10 B. 10－2m C. 10 D. 4
12. 计算：
（1） ＝ 　 　； （2） ＝ 　 　； （3） ＝ 　 　.
D
　
　
　
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13. （教材变式）若Rt△ABC的面积为6，较长直角边的长是较短直角边的长的6倍，则较长直角边的长为 　6 　.
14. （教材变式）已知 是整数，则满足条件的正整数n的最小值为 　3　.
15. （数形结合思想）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ＋ － 的结果是 　0　.
6 　
3　
0　
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16. 在实数范围内分解因式：
（1） x2－10；
（2） x2－2 x＋6；
解：（x＋ ）（x－ ）
解：（x－ ）2
（3） x4－4.
解：（x2＋2）（x＋ ）（x－ ）
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17. （教材变式）已知m＝ －5，求代数式m2＋10m－1的值.
解：∵ m＝ －5，∴ m＋5＝ .∴ m2＋10m－1＝（m＋5）2－26＝（ ）2－26＝1999
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18. 已知 ＋ ＝ ＋ ，求（z－y）2的值.
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解：由题意，得 ∴ x＋y＝2026.∴ ＋ ＝0.又∵ ≥0， ≥0，∴ 解得 ∴ （z－y）2＝（2026－2022）2＝16
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18(共10张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
01
基础过关
目
录
02
能力进阶
03
思维拓展
1. （2025·启东一模）计算 × 的结果是（　A　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2. 下列计算过程正确的是（　B　）
A. ＝3＋4 B. ＝3×4
C. ＝ D. ＝30
3. 若 · 的值是一个整数，则正整数a的最小值是（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
A
B
D
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4. （教材变式）计算或化简：
（1） × ＝ 　 　； （2） × ＝ 　3　；
（3） ＝ 　72　； （4） ＝ 　3a 　（a≥0）.
5. 使等式 ＝－m 成立的条件是 　－3≤m≤0　.
　
3　
72　
3a 　
－3≤m≤0　
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（1） × ；
（2） 4 ×3 ；
解：11
解：72
（3） ×2 （a＞0）；
（4） × × .
解：6 a
解：
6. （教材变式）计算：
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7. 下列计算正确的是（　B　）
A. ×2 ＝16 B. 5 ×5 ＝25
C. 4 ×2 ＝6 D. 4 ×3 ＝12
8. 若 ＝k ， ＝15 ， ＝6 ，则下列关于k，m，n的大小关系中，正确的是（　D　）
A. k＜m＝n B. m＝n＜k
C. m＜n＜k D. m＜k＜n
9. 已知a＝ ，b＝ ，则 可用含a，b的式子表示为（　D　）
A. a＋2b B. a2b C. 4a D. ab2
B
D
D
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10. （易错题）把式子（a－1） 中根号外的（a－1）移到根号内，结果是（　C　）
A. B.
C. － D. －
C
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11. 能使 ＝ · 成立的所有整数a的和是 　5　.
12. （教材变式）若一个长方体的长为3 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 　18 　.　
13. 计算或化简：
（1） － × ＝ 　－2 　； （2） －2 ×3 ＝ 　－60 　；
（3） ＝ 　4bc 　（a＞0，b＞0，c＞0）；
（4） ＝ 　－3a 　（a＜0）.
5　
18 　
－2 　
－60 　
4bc 　
－3a 　
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14. （教材变式）计算：
（1） 2 ×（－3 ）；
（2） 2 × × ；
解：－42
解：84
（3） ；
（4） × × .
解：36
解：2
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15. 已知一个长方形花坛与一个圆形花坛的面积相等，长方形花坛的长为 dm，宽为 dm，求圆形花坛的半径.
解：设圆形花坛的半径为rdm（r＞0）.由题意，得πr2＝ × ，∴ r＝ .∴ 圆形花坛的半径为 dm
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15(共11张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第2课时　二次根式的除法
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 能使等式 ＝ 成立的x的取值范围是（　C　）
A. x≠2 B. x≥0 C. x＞2 D. x≥2
2. 化简 ÷ 正确的是（　D　）
A. 2 B. C. D. 5
3. 下列各式计算正确的是（　B　）
A. ÷ ＝4 B. ÷ ＝
C. ÷ ＝5 D. ÷ ＝7
C
D
B
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4. （教材变式）计算：
（1） ＝ 　 　； （2） ＝ 　4　；
（3） ÷ ＝ 　 　； （4） ÷ ＝ 　 　.
5. （1） 方程 x＝ 的解为 　x＝ 　；
（2） 不等式2 x－ ＞0的解集为 　x＞ 　.
　
4　
　
　
x＝ 　
x＞ 　
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6. （教材变式）计算：
（1） ÷（－ ）；
（2） ；
（3） － ÷ ；
解：－4
解：3
解：－5
（4） ÷ .
解：2a2
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7. （教材变式）
（1） 平行四边形的面积为S，底边长为a，底边上的高为h，已知S＝6 ，h＝ ，求a的值；
解：a＝6 ÷ ＝
（2） 一个三角形的面积S＝3 ，底边a的长为 ，求底边a上的高h.
解：h＝ ＝6
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8. 若a＝ ，b＝ ，则 的值为（　A　）
A. 2 B. 4 C. D.
9. 下列各式中，计算正确的是（　C　）
A. ＝16 B. ÷ ＝1
C. ＝ D. ＝9
A
C
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10. 计算 ÷4 × 的结果是（　C　）
A. 1 B. C. D.
11. （教材变式）化简：
（1） ＝ 　 　； （2） ＝ 　 　； （3） ＝ 　 　.
C
　
　
　
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12. （教材变式）现有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，那么这个长方体的宽为 　2 　cm.
13. （教材变式）计算：
（1） ；
（2） ÷ ；
（3） ；
（4） .
解：
解：
解：
解：
2 　
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14. 某零件设计图纸上有一个直角三角形，它的面积为10 cm2，其中一条直角边的长为5 cm，求另一条直角边的长.
解：设另一条直角边的长为xcm（x＞0）.由题意，得5 x× ＝10 ，解得x＝4 .∴ 另一条直角边的长为4 cm
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15. 已知x，y为实数，且y＝ ＋ ＋1，求x ÷ ＋ 的值.
解：由题意，得 解得x＝3.∴ y＝1.∴ 原式＝x ＋ ＝x ＋ ＝3 ＋2
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15(共15张PPT)
第十九章　二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第2课时　二次根式的混合运算
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·南通模拟）下列运算正确的是（　C　）
A. ＋2＝2 B. 4 －4＝
C. × ＝ D. ÷ ＝4
2. 计算 ÷3－ × 的结果应在（　B　）
A. －1到0之间 B. 0到1之间
C. 1到2之间 D. 2到3之间
C
B
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3. （教材变式）已知 ≈1.414，则计算 － ＋ 的结果的近似值为（　B　）
A. 7.070 B. 5.656 C. 4.242 D. 2.828
4. （教材变式）计算：
（1） （ ＋ ）＝ 　 ＋ 　；（2） （ －2）（ ＋1）
＝ 　－ 　；
（3） （ ＋ ）÷ ＝ 　2 ＋ 　；
（4） （2025·天津）（ ＋1）（ －1）＝ 　60　.
5. 若3－ 的整数部分为a，小数部分为b，则（2＋ a）·b的值为 　2　.
B
＋ 　
1－ 　
2 ＋ 　
60　
2　
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6. 如图，正方形M的边长为m，面积为8，正方形N的边长为n，面积为32，则计算（m－n）÷ 的结果为 　－2　.
－2　
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7. （教材变式）计算：
（1） × ＋ ÷ ；
解：11
（2） ÷ ；
解：2
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（3） （2025·海安期中） ÷ － × ＋ ；
解：6 －3
（4） （2 － ）2.
解：17－4
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8. 已知x＋y＝ ＋ ，xy＝ ，则x－y的值为（　C　）
A. －4 B. 4 C. ±4 D. ±2
9. 下列计算正确的是（　D　）
A. ÷（ － ）＝ －
B. ＝ × ＝（－3）×（－5）＝15
C. ×（ ＋ ）＝
D. ＝ ＝5
C
D
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10. （2024·启东期末）已知a＝4＋2 ，b＝4－2 ，则a2b－ab2的值为 　－16 　.
－
16 　
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（1） ÷ ；
解：－
（2） （ ＋ ）×（ － ）－（ ＋3 ）2.
解：－6 －17
11. 计算：
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12. （教材变式）已知a＝ ＋ ，b＝ － ，求下面的代数式的值：
（1） a2－ab＋b2；
解：原式＝（a＋b）2－3ab.∵ a＝ ＋ ，b＝ － ，∴ a＋b＝2 ，ab＝2.∴ 原式＝（2 ）2－3×2＝14
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（2） a2－b2.
解：由题意及（1），得a＋b＝2 ，a－b＝2 .∴ 原式＝（a＋b）（a－b）＝2 ×2 ＝4
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13. 已知a＝ ＋1，求a3－a2－3a＋2026的值.
解：∵ a＝ ＋1，∴ （a－1）2＝（ ）2，即a2＝2a＋1.∴ 原式＝a（2a＋1）－（2a＋1）－3a＋2026＝2a2－4a＋2025＝2（2a＋1）－4a＋2025＝2027
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14. 观察下列各式的计算过程，并寻找规律：
＝ ＝－1＋ ；
＝ ＝－ ＋ ；
＝ ＝－ ＋ ；
…
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利用发现的规律计算：（ ＋ ＋ ＋…＋ ）×（ ＋1）.
解：原式＝（－1＋ － ＋ － ＋ －…－ ＋ ）×（ ＋1）＝（ －1）×（ ＋1）＝2025
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14(共18张PPT)
第十九章　二次根式
第十九章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一　二次根式有意义的条件
1. （2025·广州）要使代数式 有意义，则x的取值范围是 　x≥－1且x≠3　.
2. 若无论x取何实数，式子 都有意义，则m的取值范围是 　m≥4　.
x≥－1且x≠3　
m≥4　
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考点二　二次根式的性质
3. 下列各式中，正确的是（　C　）
A. ＝－7 B. ＝±7
C. － ＝－7 D. ＝±7
4. 当a＜0时，化简｜a－ ｜的结果是（　C　）
A. 0 B. 2a C. －2a D. 2a2
C
C
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5. 化简 时，甲、乙两名同学的解答过程如下：甲： ＝ ＝ ＝ － ；乙： ＝ ＝ ＝ － .下列说法正确的是（　B　）
A. 两人都对 B. 甲错，乙对
C. 甲对，乙错 D. 两人都错
B
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6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 － － 的结果是（　B　）
A. 2a B. 2b C. －2b D. 0
B
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7. 化简：（1） ＝ 　0.3　； （2） ＝ 　 －3　.
0.3　
－3　
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考点三　二次根式的运算
8. （2025·海门二模）下列计算正确的是（　C　）
A. 3＋ ＝3 B. 3 － ＝3
C. × ＝2 D. ÷ ＝3
9. 计算：（1） ＝ 　3 　；　　（2） ＝ 　－ 　；　　
（3） ＝ 　4x2y 　.
C
3 　
－ 　
4x2y 　
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（1） 2 ＋6 －3 ；
（2） ÷ ×2 －6 ；
解：－6
解：6
（3） （ －1）2＋ （ ＋2）；
解：11
（4） （2025·海安期中） －4a2· －2a· （a＞0）.
解：0
10. 计算：
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考点四　二次根式的化简求值
11. 已知a＝ ＋1，b＝ －1，则 ＋ 的值为 　6　.　
12. 已知a是 的小数部分，求代数式a2－（ ＋1）a＋2 的值.
解：∵ a是 的小数部分，∴ a＝ －1.∴ a2－（ ＋1）a＋2 ＝（ －1）2－（ ＋1）（ －1）＋2 ＝4－2 －3＋1＋2 ＝2
6　
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13. 下列各式化成最简二次根式正确的是（　C　）
A. ＝ B. ＝5
C. ＝ D. ＝
14. （2024·通州期末）若m为实数，在“（ ＋2）□m”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”“－”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（　C　）
A. ＋2 B. －2 C. 2 D. 2－
C
C
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15. （新考向·数学文化）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积S＝ .现已知△ABC的三边长分别为a＝ ，b＝2，c＝ ，则△ABC的面积为（　B　）
A. B. C. D.
16. 已知最简二次根式 与 可以合并，则a的值为 　2　.
B
2　
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17. 已知a为实数，则代数式 － ＋ 的值为 　0　.
18. 将一张长方形纸片按照如图所示的方式进行折叠.若长方形纸片的宽为2，则该长方形纸片的长为 　2 　.
0　
2 　
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19. （教材变式）观察下列各式： ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，….请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来： 　 ＝（n＋1） 　.
＝（n＋1） 　
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20. 计算：
（1） （ ＋ ）× － ；
（2） ÷3－ × ＋ ；
解：6＋
解： ＋3
（3） （ －1）2＋ －（ ＋3）（ －3）；
解：7＋2
（4） （ ＋1）（ －1）－（ － ）÷ .
解：4－
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21. 已知x＝1－ ，y＝1＋ ，求：
（1） ＋ 的值；
解：（1） ∵ x＝1－ ，y＝1＋ ，∴ x＋y＝2，x－y＝－2 ，xy＝－1.
∴ ＋ ＝ ＝ ＝－2
（2） x2＋y2＋xy＋2x－2y的值.
解：（2） x2＋y2＋xy＋2x－2y＝（x＋y）2－xy＋2（x－y）＝22－（－1）＋2×（－2 ）＝5－4
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22. 写作业时，小明被一道题难住了：若a＝ ，求a2＋6a－27的值.
老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如a＝ .
∵ a＝ ＝ ＝2－ ，
∴ a－2＝－ .
…
请你根据老师的提示解决下面的问题.
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（1） 计算： ＝ 　 　；
（2） 若a＝ ，求a2＋6a－27的值.
解：∵ a＝ ＝ ＝ －3，∴ a＋3＝ .∴ a2＋6a－27＝（a＋3）2－36＝（ ）2－36＝－26
　
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