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江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2025-2026学年度高三教学情况调研(一)数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x +x-2≤0}, B={x|x＜0}, 则A∪B=
A. (-∞,0) B. (-∞,1] C. [-2,0) D. [1,2]
2. “a＞1”是′ 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数 则|z|=
A. 0 B. 1 C. D.
4. (x-1) 的二项展开式的第6项系数是
A. C B. C C. D. -C
5.若椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，右焦点是抛物线. 的焦点，则
A. B. C. 2 D.
6.已知P是函数 的图象上的任意一点，过P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则
B.
7. 已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, b+2acosC=0, 则tanB的最大值为
B. C. D. 3
8. 已知函数f(x), g(x)的定义域为R, f′(x)为f(x)的导函数, f(x)=f(1-x), f′(x)=f′(-1-x).若 则
A. 2026 B. 1013 C. 1 D. - 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数f(x)= sinx-cosx, 则
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)在区间[0,]上单调递增
D. f(x)的图象关于点(,0)对称
10.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球.现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X，则
C. D.
11.已知异面直线 l , l , l ⊥l , A∈l , B∈l , AB⊥l , AB⊥l , P∈l , Q∈l ,四点A, B, P, Q不共面, O是线段PQ的中点, AB=2, PQ=4, 则
A. 当AP=2时,
B. 当AP=2时, 直线AB, PQ所成角为60°
C. 点O到直线AB 的距离为
D. 三棱锥A-BPQ的体积的最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等比数列 则
13. 求值:
14.已知圆 A,B是C上的两个动点, 点P(2,0), ∠APB=90°. 若四边形APBQ是矩形，则|PQ|的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列
(1) 若{an}是等差数列, 求{an}的通项公式;
(2) 设 证明：数列{bn}是等比数列.
16.(15分)
某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1 月 5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月 5日 7月5日
昼夜温差x/℃ 10 11 13 12 8 7 6
感冒人数y 23 25 29 26 16 13 9
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率；
(2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据：
①求出y关于x的经验回归方程y= bx+ ;
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想 说明理由.
附：
17. (15分)
把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 ∠CBD=30°. 将△ABC沿BC翻折至△PBC, 使得二面角P-BC-D为直二面角.
(1) 证明: PB⊥平面PCD;
(2)若P，B，C，D在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值.
18.(17分)
已知函数.
(1) 当a=1时, 求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2) 讨论f(x)的零点个数;
(3) 当 时, 证明: f(x)＞2sinx.
19.(17分)
已知双曲线 C：（a＞b＞0）的一条渐近线的倾斜角为60°，F ，F 分别为左、右焦点，A为右顶点，P，Q为C左支(不包括顶点)上的两个动点.
(1)求C的离心率；
(2) 是否存在常数t(t＞0), 使得. 1总成立 若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
(3) 若a为定值, 直线PQ经过F , 求|AP|+|AQ|的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. B 8. D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. BCD 10. BC 11. ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解: (1) 由题意 2分
因为{an}是等差数列，所以公差( 3分
所以 5分
满足 所以{an}的通项公式为 7分
(2) 因为
所以 11分
其中 所以 所以{b }是等比数列. 13分
16.解：(1)记事件A为“选取的2组数据是不相邻的两个月”. 1分
3分
答：选取的2组数据是不相邻的两个月的概率为 4分
6分
1 3 2 -2 -4
4 8 5 -5 -12
9分
y关于x的经验回归方程为 …………………………….10分
②当x=10时, 12分
当x=7时, 14分
所以，该小组所得经验回归方程是理想的. 15分
17. 解: (1) 二面角P-BC-D为直二面角, 即平面PBC⊥平面BCD,又因为CD⊥BC, CD 平面BCD, 平面PBC∩平面BCD=BC,所以CD⊥平面PBC. 2分
又因为PB 平面PBC, 所以PB⊥CD. 3分
由题意PB⊥PC, CD∩PC=C, CD,PC 平面PCD,
所以PB⊥平面PCD. 5分
(2) 取BC中点O, BD中点M, 连结OP, OM,则OM⊥BC, OM∥CD,
因为CD⊥平面PBC, 所以CD⊥OP, 所以OM⊥OP,在△ABC中, PB=PC, O为BC中点, 所以OP⊥BC.
以 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则O(0,0,
7分
设该球的球心坐标为(x，y，z)，则
解得 ……………….9分
所以该球的半径为
10分
(3)法一: 取BC中点O, 在△BCD中, 过O作OH⊥BD, 垂足为H, 连结PH,
平面PBC⊥平面BCD, OP⊥BC, OP 平面PBC,
平面PBC∩平面BCD=BC, 所以OP⊥平面BCD.
又因为OH⊥BD, 所以PH⊥BD,
则∠PHO为平面PBD与平面BCD的所成角. 13分
直角三角形ABC中，
所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为 15分
法二：平面BCD的一个法向量为
设平面PBD的法向量为 则 即
取x=1，得平面PBD的一个法向量为 13分
所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为 15分
18. 解: (1)当a=1时,
f′(x)=2x-3lnx-3, f′(1)=-1.
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=-1(x-1), 即x+y-2=0.
3分
(2) 因为 设
当 时, g′(x)＜0, g(x)单调递减; 当 时, g′(x)＞0, g(x)单调递增;当 时，g(x)的极小值为 5分
①当 即 时， g(x)＞0恒成立，此时f(x)的零点个数为0. 6分
②当 即 时，f(x)的零点个数为1. 7分
③当 即 时，g(x)的极小值
令 所以u(x)单调递减，
所以u(x)＜u(1)=0, 即 lnx＜x, 有
所以
所以f(x)在区间 和 上各有一个零点，即f(x)的零点个数为2.
综上， 时，f(x)的零点个数为(0; 时，f(x)的零点个数为1；
时，f(x)的零点个数为2. 10分
(3) ①当x≥1时,
令了
当 时, h′(x)＞0, h(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(1)=2a-3＞0, 即f′(x)＞0,所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
所以 13分
②当0＜x＜1时, 令1 ，所以u(x)单调递增，所以u(x)＞u(0)=0, 即x＞ sinx. 14分
令
当 时, m′(x)＜0, m(x)单调递减;当 时,m′(x)＞0, m(x)单调递增;
当 时，m(x)的极小值为
若 即a＞3, 则 所以m(x)＞0.
若 即 则m(x)在区间(0,1)上单调递减, 所以m(x)＞m(1)＞0.
所以f(x)-2x＞0, 即f(x)＞2x＞2sinx.
综上可得, f(x)＞2sinx, 17分
19. 解: (1) 由题意 所以 所以C的离心率 ……………………………………………………………………3分
(2) ①当 时， 此时 有 ………………………5分
②当 时, 可得PF , PA 的斜率都存在, 设P(m,n),
则
因为
即 , 其中∠PAF 为锐角, 即 所以 即 …………………..9分
所以存在常数 使得 总成立. 10分
(3)设直线PQ的方程为 代入
得 即
12分
所以
令 则
令
所以f(s)单调递增, 所以f(s)的最小值为f(1)=1,
所以 当且仅当“t=0”时, 取“=”. 14分
由(2)可知
所以 15分
所以|
当且仅当“|AP|=|AQ|且|t=0”时, 取“=”.
所以|AP|+|AQ|的最小值为 17分

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