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浙江省杭州市2026年七年级下册第1次月考数学模拟卷
满分120分 时间120min
知识范围：第1-2章
一、选择题（共30分）
1．下列式子中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个图形中，能通过基本图形平移得到的有（ ）个图形
A． B． C． D．
3．如图中，的同位角是（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点，表示两脚的后脚跟，，分别在长方形踏板的边缘线上．若与均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
5．已知是方程的一个解，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，下列给出的条件中，不能直接判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．小丽在用“加减消元法”解时，利用消去x，则a、b的值可能是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，直线被第三条直线所截，射线平分，若，则为（　　）
A． B． C． D．
9．两块平面镜和如图摆放，其夹角，从上的点A处向平面镜射出一束光线，其反射光线恰与平行，则入射光线与反射光线形成的（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共18分）
11．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______．
12．如图的剪刀构造可以看成是两条相交的直线，交于点O，若，则的度数是_______．
13．解二元一次方程组的最优方法是_______的方法．（选填“代入”或“加减”）
14．如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为________
15．若方程组的解是，则方程组的解为________．
16．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为___________．
三、解答题（共72分）
17．（6分）解方程组：
(1)； (2)．
18．（6分）已知：如图，．求证：平分．
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
证明：，（已知）
___________，（　　）
（　　）
（　　）
（已知），
______________________．（　　）
平分（　　）
19．（8分）已知关于，的方程组和的解相同，试求的值．
20．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点E、F分别是点B、C的对应点．
(1)请画出平移后的三角形；
(2)连接和；求四边形的面积．
21．（10分）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．（10分）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______；
(2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数．
23．（12分）根据以下素材，探索解决任务．
确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量
素材1 小明与小聪为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币、1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码．
素材2 小明：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡．
素材3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡． 提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡．
问题解决
任务1 确定硬币的质量 每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？
任务2 确定纸币的质量 每张10元纸币的质量是多少克？
任务3 问题解决的策略 天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，求天平右边有几种放法使天平正好平衡？直接写出天平右边硬币总数最少时面值总和是多少元？
24．（12分）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角．
(1)是的5倍补角，，则 ；
(2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、．
①若，是的3倍补角，求；
②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A D B D A A C
1．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程组的定义即可求解．
【详解】解：A．，是二元一次方程，故该选项符合题意；
B．，只有1个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】第一个图是四边形组成的图案，可以由四边形平移得到，第二个图是由正方形组成的图案，可以由正方形平移得到，第三个图案是由三角形组成的图案，可以用三角形轴对称得到，第四个图案可以由正六边形平移得到．
【详解】解：四个图形中，能通过基本图形平移得到的有，共个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移，解题的关键是理解平移的性质，属于常考题型．
3．C
【分析】本题考查了同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据同位角的定义求解．
【详解】解：由同位角的定义可知，的同位角是．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查垂线段的应用，解题的关键是理解垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．据此解答即可．
【详解】解：要想知道他此次跳远成绩，只需测量线段的长度．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键．
将代入方程即可求得的值．
【详解】解：根据题意，得：
将代入方程得，
，
解得：，
即．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉平行线的判定是解题的关键；根据平行线的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴；本选项不符合题意；
B、∵，∴；本选项符合题意；
C、∵，∴；本选项不符合题意；
D、∵，∴；本选项不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组, 正确掌握相关性质内容是解题的关键．依题意，把各选项中a，b的值代入进行计算，判断解题即可作答．
【详解】解：当时，则 无法消去x，则A选项不符合题意；
当时，则无法消去x，则B选项不符合题意；
当时，则无法消去x，则C选项不符合题意；
当时，则则D选项符合题意；
故选：D
8．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，即可求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
故选：A．
9．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同位角相等成为解题的关键．
由平行线的性质可得，再结合物理知识可得，最后再根据平角的性质即可解答．
【详解】解:∵，
∴，
∴（由物理知识），
∴．
故选A．
10．C
【分析】把两个方程相加，可以得出x+y=a+2，从而可得a+2=0，即可判断①；当a=1时，原方程组的解满足x+y=3，而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，即可判断②；先解方程组，然后再计算x+2y的值，即可判断③；将方程组中的字母a消去，即可判断④．
【详解】解：，
①+②得：2x+2y=4+2a,
∴x+y=2+a,
当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，即x+y=0，
∴2+a=0，
∴a=-2，
故第1个结论正确；
∵原方程组的解满足：x+y=2+a,
∴当a=1时，x+y=3，
而当a=1时，方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，
故第2个结论不正确；
，
解得，
∴x+2y=2a+1+2-2a=3，
∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
故第3个结论正确；
，
由①得：a=4-x-3y③，
把③代入②得：
x-y=3（4-x-3y），
解得：，
故第4个结论正确；
所以，上列结论中正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
11．/
【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
【详解】解：因为，
所以．
故答案为：．
12．/75度
【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可得解，熟练掌握对顶角相等是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
故答案为：．
13．代入
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据“代入法”，“加减法”的意义进行判断即可．
【详解】解：解二元一次方程组的最优方法是代入法，
故答案为：代入．
14．2
【分析】本题考查了平移的性质，首先可知四边形面积 =梯形面积=15，然后根据平移的性质得到，进而根据梯形面积求解即可．
【详解】解：∵把沿点A到点E方向平移至处
∴四边形面积 =梯形面积
∵，
∴
∴，解得：
故答案为：2.
15．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是比较两个方程组的结构相似之处，得出．
通过观察两个方程组的之间的关系，得出即可求解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴方程组中，，
解得：，
∴方程组的解是．
故答案为：．
16．/度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先由平行线的性质和折叠的性质得到，再由平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）用代入消元法解方程组即可；
（2）用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
把①代入②中得：，
解得：，
将代入①中得：，
故原方程组得解为：．
（2）解：
将，得：
由得：，
解得：，
将代入①中得：，
解得：，
故原方程组得解为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入法是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据同角的余角相等，平行线的判定和性质，等量代换，进行作答即可．熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．
【详解】证明：，（已知），
∴，（同角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
∴，
∴（等量代换），
平分（角平分线的定义）．
19．25
【分析】方程组的解满足方程组中每一个方程，则两个方程组中的四个方程是同解方程，则将其中两个不含字母、的方程组成一个新的方程组；利用加减消元法对方程组进行求解，即可得到、的值；根据两个方程组同解，则可将、的值代入含有参数的方程组中，即可得到关于、的方程组，据此通过加减消元法的知识即可求出、的值，然后求出的值．本题主要考查方程组同解的问题，解决本题的关键是明确方程组的解的定义．
【详解】解：∵关于，的方程组和的解相同，
∴，
解得，
则是方程组的解，
故可得，
解得，
∴．
20．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查图形的平移，网格求三角形面积，理解网格的特点，掌握平移的性质，网格求面积的计算是解题的关键．
（1）由题意得，三角形向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，结合平移的性质画图即可．
（2）连接和即可，利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）解：如图， 线段，即为所求．
四边形的面积为：．
21．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（）先证明，则，所以，再由平行线的判定即可求证；
（）根据平行线的性质得出，由角度和差得出，最后再由对顶角相等即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）直接根据平行线的性质求解即可；
（2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
∴，，
∴
故答案为：，．
（2）解：由题意可得：，
如图：过E点作，
，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
23．任务1：1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克．
任务2：每张10元纸币的质量是克．
任务3：天平右边有种放法使天平正好平衡，天平右边硬币总数最少时面值总和是元．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是本题的关键．
任务1：设1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克．根据素材2列二元一次方程组，求解即可．
任务2：设每张10元纸币的质量是克，根据素材3列一元一次方程，求解即可．
任务3：设袋子中有1元和硬币枚，5角硬币枚，根据题意可得：，根据和均为正整数，可得为的倍数，，即，分别列举使天平正好平衡种放法即可，即可得出当，时，天平右边硬币总数最少，此时面值总和是元．
【详解】解：任务1：设1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克．
根据素材2，得，
解得，
∴1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克．
任务2：设每张10元纸币的质量是克．
根据素材3，可得：，
解得：，
∴每张10元纸币的质量是克．
任务3：设袋子中有1元和硬币枚，5角硬币枚，
根据题意可得：，
即，
∵和均为正整数，
∴为的倍数，，即
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴天平右边有种放法使天平正好平衡，
∴当，时，天平右边硬币总数最少，
此时面值总和是元，
故天平右边有种放法使天平正好平衡，天平右边硬币总数最少时面值总和是元．
24．(1)
(2)①；②或
【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题．
（1）根据k倍补角的定义求解即可；
（2）①过点E作，所以，进而求出的度数；
②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解．
【详解】（1）解：∵是的5倍补角，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，即；
②∵，，
∴，
由①得，
∴，
∴，
分以下两种情况讨论：
如图2，若点F在右侧，
则；
如图3，若点F在左侧，连接并延长，
∵ 是 的外角，
∴，
同理可得，
∴
；
综上所述，或．

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