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(共14张PPT)
第六章 平行四边形
小专题（十二）　平行四边形的性质及判定的综合应用
类型一　平行四边形的性质与判定
1. 如图，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点G，连接BF并延长，交AD的延长线于点H，则图中平行四边形的个数为（　A　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
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2. 如图，l1∥l2，BE∥DF，AB∥CD. 有下列四个结论：① BE＝DF；② S四边形ABDC＝S四边形BDFE；③ AB＝CD；④ S△ABE＝S△CDF. 其中，正确的有（　D　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
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3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，E为AD上一点，连接BE，CE. 若AE＝DE＝BC＝ ，则BE2＋CE2＝ 　25　.
25　
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4. 数学课上，老师提出一个命题：如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，那么四边形AEFD也是平行四边形.
下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝BC，AB＝CD.
又∵ 四边形BEFC也是平行四边形，
∴ BC＝EF，BE＝CF.
∴ AD＝EF，AB＋BE＝DC＋CF，即AE＝DF.
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
讨论后大家发现这个证明过程存在问题.
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（1） 请说明该同学证明过程中的问题；
解：（1） ∵ 没有指明A，B，E三点共线，D，C，F三点共线，∴ 由AB＋BE＝DC＋CF，不能得到AE＝DF
第4题
（2） 请写出正确的证明过程.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∵ 四边形BEFC也是平行四边形，∴ BC＝EF，BC∥EF. ∴ AD＝EF，AD∥EF.
∴ 四边形AEFD是平行四边形
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5. 如图，以 ABCD的边AB，CD为边，作等边三角形ABE和等边三角形CDF，连接DE，BF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
第5题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝CB，∠BAD＝∠DCB. ∵ △ABE和△CDF是等边三角形，∴ BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°.∴ ∠BAD－∠BAE＝∠DCB－∠DCF，即∠DAE＝∠BCF. 在△ADE和△CBF中，∵
∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF. ∴ 四边形BFDE是平行四边形
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类型二　求线段的长
6. （2024·广州）如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　5　.
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7. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过A，C两点作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M，N，且分别交CD，AB于点G，H.
（1） 求证：四边形AHCG是平行四边形；
解：（1） ∵ AG⊥BD，CH⊥BD，∴ ∠AMB＝90°，∠HNB＝90°.∴ AG∥CH. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，即AH∥CG. ∴ 四边形AHCG是平行四边形
第7题
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（2） 若DG＝3，AH＝2，AC＝5，BD＝8，求AB的长及△AOB的周长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，四边形AHCG是平行四边形，∴ AB＝CD，CG＝AH＝2.∵ DG＝3，∴ AB＝CD＝DG＋CG＝3＋2＝5.∵ 易得O为AC，BD的中点，∴ AO＝ AC＝ ×5＝2.5，BO＝ BD＝ ×8＝4.
∴ △AOB的周长为AO＋BO＋AB＝2.5＋4＋5＝11.5
第7题
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类型三　证明线段之间的关系
8. 如图，在 ABCD中，对角线AC的平行线MN交DA的延长线于点M，交DC的延长线于点N，交AB，BC于点P，Q.
（1） 请指出图中除 ABCD以外的平行四边形，并说明理由.
解：（1） AMQC和 APNC　理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ MD∥BC，AB∥ND. ∵ MN∥AC，AM∥QC，∴ 四边形AMQC是平行四边形.∵ AP∥CN，PN∥AC，∴ 四边形APNC是平行四边形.
第8题
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（2） MP和QN相等吗？请说明理由.
解：（2） MP＝QN　理由：∵ 四边形AMQC是平行四边形，∴ MQ＝AC. ∵ 四边形APNC是平行四边形，∴ PN＝AC. ∴ MQ＝PN. ∴ MQ－PQ＝PN－PQ，即MP＝QN.
第8题
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类型四　探究四边形中的动点问题
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（－3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位长度的速度运动.以CP，CO为邻边构造 PCOD. E为线段OP延长线上一动点，且OA＝PE.
（1） 当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
解：（1） 连接CD交AE于点F. ∵ 四边形PCOD是平行四边形，∴ CF＝DF，OF＝PF. ∵ AO＝PE，∴ AO＋OF＝PE＋PF，即AF＝EF. 又∵ CF＝DF，∴ 四边形ADEC为平行四边形
第9题
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（2） 当动点P运动的时间为 秒时，求此时四边形ADEC的周长.
解：（2） ∵ A（－3，0），B（0，6），∴ OA＝3，OB＝6.当动点P运动的时间为 秒时，OP＝ ，BC＝3，则OC＝OB－BC＝6－3＝3，OE＝OP＋PE＝OP＋OA＝ ＋3＝ .∴ 在Rt△AOC和Rt△OCE中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝3 ，CE＝ ＝ ＝ .∵ 四边形ADEC为平行四边形，∴ 四边形ADEC的周长为2（AC＋CE）＝2× ＝6 ＋3
第9题
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9(共17张PPT)
第六章 平行四边形
2　平行四边形的判定
第3课时　平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE. 若 ABCD的面积为6，则△ADE的面积为（　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
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2. 如图，将△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　B　）
A. △ABC≌△DEF
B. ∠ABE＝90°
C. AD∥BE
D. 四边形BCFE是平行四边形
B
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3. （易错题）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于 　7或17　cm.
4. （新考法·开放题）下面是嘉淇同学的不完整的推理过程：
如图，∵ ∠A＋∠D＝180°，∴ AB∥CD. ∵ ※，∴ 四边形ABCD为平行四边形
为了使嘉淇同学的推理成立，则“※”处应补充的条件可以是 　AB＝CD　.（答案不唯一）
7或
17　
AB＝CD　
（答
案不唯一）
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5. 在平面直角坐标系中，已知A（－2，3），B（2，－1），C（4，4）.若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　（8，0）或（－4，－2）或（0，8）　.
（8，0）或
（－4，－2）或（0，8）　
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（1） 求证：四边形ABCF是平行四边形；
解：（1） ∵ AF∥BC，∴ ∠FAE＝∠BCE. 在△AEF和△CEB中，∵ ∴ △AEF≌△CEB. ∴ EF＝BE. 又∵ AE＝EC，∴ 四边形ABCF是平行四边形
第6题
6. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AE＝EC，点F在BD上，AF∥BC.
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（2） 若BC＝CD，∠ABD＝90°，AB＝3，EF＝1，求AD的长.
解：（2） 由（1）可知，四边形ABCF是平行四边形，∴ BF＝2EF＝2，AB∥CF. ∴ ∠CFB＝∠ABD＝90°.∴ CF⊥BD.
∵ BC＝CD，∴ DF＝BF＝2.∴ BD＝2BF＝4.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝5
第6题
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7. 如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接BF，AC.
（1） 求证：四边形ABFC是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥DC. ∴ ∠ABE＝∠FCE. ∵ E为BC的中点，∴ BE＝CE. 在△ABE和△FCE中，∵
∴ △ABE≌△FCE. ∴ AE＝FE. ∴ 四边形ABFC是平行四边形
第7题
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（2） 在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△ABC面积相等的三角形.
解：（2） △ACF，△BCF，△ABF，△ACD
第7题
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8. （新考法·操作实践题）现有一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两名同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　C　）
A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对
C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对
C
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9. 如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长为（　B　）
A. 2 B. 1 C. D.
B
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10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为 　6　cm.
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11. 如图，将 ABCD的边AD延长至点E，使DE＝ AD，连接CE，F是边BC的中点，连接FD.
（1） 求证：四边形CEDF是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∵ F是边BC的中点，∴ FC＝ BC. 又∵DE＝ AD，∴ DE＝FC. ∵ DE∥FC，∴ 四边形CEDF是平行四边形　
第11题
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（2） 若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长.
解：（2） 过点D作DN⊥BC于点N. ∵ DN⊥BC，∴ ∠DNC＝∠DNF＝90°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠BCD＝∠A＝60°.∴ CF＝ BC＝2，∠CDN＝30°.∴ 在Rt△DCN中，CN＝ CD＝ .∴ 由勾股定理，得DN＝ ＝ ＝ .∴ FN＝CF－CN＝2－ ＝ .∴ 在Rt△DNF中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝ .又由（1），得四边形CEDF是平行四边形，∴ CE＝DF＝
第11题
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12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE⊥AC，垂足为E. 连接BE.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；
解：（1） ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°.
∵ ∠ABC＝∠ADC，∴ ∠ADC＋∠DCB＝180°.∴ AD∥BC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
第12题
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（2） 若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积为4 ，求AE的长.
解：（2） 过点B作BF⊥AC于点F，则∠BFA＝90°.设AE＝x.∵ △ABE是等边三角形，∴ ∠BAE＝60°，AB＝AE＝x.∴ ∠ABF＝30°.∴ 在Rt△ABF中，AF＝ AB＝ .∴ 由勾股定理，得BF＝ ＝ ＝ x.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD＝x.
∴ ∠BAF＝∠DCE＝60°.∵ DE⊥AC，∴ ∠CED＝90°.
∴ ∠CDE＝30°.∴ 在Rt△CDE中，CE＝ CD＝ .∴ 由勾股定理，得DE＝ ＝ ＝ x.∴ S四边形BCDE＝S△CDE＋S△BCE＝ CE·DE＋ CE·BF＝ × × x＋ × × x＝4 ，易知x＝4（负值舍去）.∴ AE的长为4
第12题
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12(共19张PPT)
第六章 平行四边形
1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的边、角的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）如图，在 ABCD中，若∠A＋∠C＝80°，则∠B的度数为（　C　）
A. 110° B. 120°
C. 140° D. 150°
C
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2. 如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为（　C　）
A. 12 B. 30 C. 60 D. 65
C
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3. （新考法·操作实践题）如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线AB与 BCDE的边BC在同一条直线上，且量角器的中心与点B重合，当∠ABE＝45°时，∠CDE的度数为 　135°　.
135°　
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4. 如图， ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（－5，0），（－2，3），则顶点B的坐标是 　（－7，3）　.
（－7，3）　
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则 ABCD的周长为 　12　.
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6. （教材变式）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连接AE，CF. 求证：
（1） ∠B＝∠D；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B＝∠D
第6题
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（2） AE＝CF.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD. 在△ABE和△CDF中，∵ ∴ △ABE≌△CDF.
∴ AE＝CF
第6题
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7. （2025·宜宾）如图，E是 ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD，BC＝AD＝5.∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中，
∵ ∴ △ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD＝5.∴ BF＝BC＋FC＝5＋5＝10
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8. 如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（　A　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
A
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9. （新考法·操作实践题）如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处.若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠A的度数为 　110°　.
110°　
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10. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AD于点F，交BC于点E. 若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中涂色部分的面积是 　3　.
3　
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11. 如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠ADF＝∠CBE. 求证：
（1） AE＝CF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥CB，AD＝CB. ∴ ∠DAF＝∠BCE. 在△ADF和△CBE中，
∵ ∴ △ADF≌△CBE. ∴ AF＝CE. ∴ AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF
第11题
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（2） BE∥DF.
解：（2） 由（1），得△ADF≌△CBE，∴ ∠AFD＝∠CEB. ∴ BE∥DF
第11题
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12. 【问题】 如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD于点E，F，求EF的长.
答案：EF＝2.
第12题
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① 当点E与点F重合时，请你画出符合题意的图形，并求AB的长；
② 当点E与点C重合时，请你画出符合题意的图形，并求EF的长.
解：（1） ① 如图①.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝DC，BC＝AD＝5，AB∥DC. ∴ ∠BAE＝∠DEA. ∵ AE平分∠DAB，∴ ∠DAE＝∠BAE. ∴ ∠DEA＝∠DAE. ∴ DE＝AD＝5.同理，可得CF＝BC＝5.∵ 点E与点F重合，∴ AB＝DC＝DE＋CF＝10　② 如图②.由①，得DE＝AD＝5，CF＝BC＝5.∵ 点E与点C重合，∴ DE＝DC＝5.∴ CF＝DC. ∴ 点F与点D重合.∴ EF＝DC＝5
第12题
【探究】 （1） 把“【问题】”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变.
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（2） 把“【问题】”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，请你画出符合题意的图形，并写出AD与AB之间的数量关系.
解：（2） 由（1）得，AB＝DC，AD＝DE. 分三种情况：① 如图③.当DE＝EF＝FC时，∵ AD＝DE，∴ AD＝DE＝EF＝FC. ∴ AD＝ DC＝ AB；② 如图④.当DF＝FE＝EC时，∵ AD＝DE，DE＝DF＋FE＝ DC，∴ AD＝
第12题
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AB；③ 如图⑤.当FD＝DC＝CE时，∵ AD＝DE，DE＝DC＋CE＝2DC，∴ AD＝2AB. 综上所述，AD＝ AB或AD＝ AB或AD＝2AB
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12(共19张PPT)
第六章 平行四边形
2　平行四边形的判定
第2课时　根据对角线的关系判定平行四边形
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （数形结合思想）如图，每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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2. （易错题）设计师在设计装饰地面的图案时，拟以长为22cm，16cm，18cm的三条线段中的两条为对角线，另一条为边，画出不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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3. （新考法·操作实践题）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.如图①②③所示为其作图过程.在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形，其依据是
　对角线互相平分的四边形是平行四边形　.
对角线互相平分的四边形是平行四边形　
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4. （新考法·过程性学习）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
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证明：∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠3.∵ ∠CAN＝∠ABC＋∠3，∴ ∠CAN＝2∠3.∵ AE平分∠CAN，∴ ∠1＝∠2.∵ ∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴ ∠CAN＝2∠2.∴ ①.∵ M是AC的中点，∴ MA＝MC. 又∵ ∠4＝∠5，∴ △MAD≌△MCB（②）.∴ MD＝MB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.若以上解答过程正确，则①，②分别为 　∠2＝∠3，ASA　.
∠2＝∠3，ASA　
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5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长，与AD的延长线相交于点F，连接BD，CF. 四边形BDFC是平行四边形吗？请说明理由.
第5题
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解：四边形BDFC是平行四边形　理由：∵ ∠A＝∠ABC＝90°，∴ ∠A＋∠ABC＝180°.∴ BC∥AF. ∴ ∠BCE＝∠FDE. ∵ E是CD的中点，∴ CE＝DE. 在△BCE和△FDE中，∵ ∴ △BCE≌△FDE. ∴ BE＝FE. ∴ 四边形BDFC是平行四边形.
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6. （教材变式）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝CO，BO＝DO. ∵ BE＝DF，∴ BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO. ∴ 四边形AECF是平行四边形
第6题
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（2） 若△ABE的面积为2，求△CFO的面积.
解：（2） ∵ BE＝EF，∴ S△ABE＝S△AEF＝2.∵ 四边形AECF是平行四边形，∴ 易得S△AEF＝S△CEF＝2.∵ EO＝FO，∴ S△CFO＝ S△CEF＝1
第6题
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7. 在如图所示的正方形网格中，以A，B，C，D，E，F中的4个为顶点（A，B，C，D，E，F均在格点上），能画出平行四边形的个数为 （　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
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8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝DE＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　D　）
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
D
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9. 如图，点A，E，F，C在同一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD. 当点E，F不重合时，BD与EF的关系是 　互相平分　.
互相平分　
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10. 如图，O是线段AB的中点，C，D分别是线段OA，OB上的点，且OC＝OD，把线段CD绕点O按顺时针方向旋转α°（0＜α＜180），得到线段C'D'，顺次连接AC'，C'B，BD'，D'A，得到四边形AC'BD'，则四边形AC'BD'的形状是 　平行四边形　，理由是 　对角线互相平分的四边形是平行四边形　.
平行四边形　
对角线互相平分的四边形是平行四边形　
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11. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC延长线上一点，BE＝CD，连接AE交CD于点F，连接AC，BF，DE.
（1） 若∠DAE＝65°，求∠BAD的度数；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AB＝CD. ∴ ∠DAE＝∠AEB＝65°.∵ BE＝CD，∴ AB＝BE.
∴ ∠BAE＝∠AEB＝65°.∴ ∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝130°
第11题
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（2） 若BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形.
解：（2） ∵ AB＝BE，BF⊥AE，∴ AF＝EF. 在△ADF和△ECF中，∵ ∴ △ADF≌△ECF. ∴ DF＝CF. 又∵ AF＝EF，∴ 四边形ACED是平行四边形
第11题
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12. 如下表，在 ABCD中，O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
（1） 以上方案能得到四边形BEDF是平行四边形的是 　甲方案、乙方案　；
甲方案、乙方案　
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（2） 请将（1）中方案的证明过程写下来（如果有多种，请分别进行证明）.
解：甲方案：连接BD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，O为AC的中点，
∴ BD过点O，BO＝DO，AO＝CO. ∵ E，F分别为AO，CO的中点，∴ EO＝FO. ∴ 四边形BEDF是平行四边形　乙方案：连接BD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，O为AC的中点，∴ BD过点O，AO＝CO，BO＝DO.
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ ∠BEO＝∠DFO＝90°.在△BOE和△DOF中，
∵ ∴ △BOE≌△DOF. ∴ EO＝FO. ∴ 四边形BEDF是平行四边形
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12(共25张PPT)
第六章 平行四边形
第六章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一　平行四边形的性质与判定
1. 如图，甲、乙两人给出了条件，关于两人是否可以证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是（　B　）
A. 甲可以，乙不可以
B. 甲不可以，乙可以
C. 两人都可以
D. 两人都不可以
B
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2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为 　8　.
8　
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3. 如图①，在 ABCD中，∠BAD的平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E.
（1） 若AB＝6，求BE的长.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠DAF＝∠E. ∵ AE是∠BAD的平分线，∴ ∠DAF＝∠BAE. ∴ ∠BAE＝∠E.
∴ BE＝AB＝6
（2） 如图②，连接BF，过点D作DG⊥AE，交AE于点H，交AB于点G. 求证：四边形BFDG是平行四边形.
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解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴ ∠DAF＝∠E. ∵ F是CD的中点，∴ DF＝CF. 在△ADF和△ECF中，∵ ∴ △ADF≌△ECF.
∴ AF＝EF. 由（1）可知，BE＝AB，
∴ BF⊥AE. ∵ DG⊥AE，∴ DG∥BF.
又∵ DF∥BG，∴ 四边形BFDG是平行四边形
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4. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1） 若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝ AC＝6，OD＝ BD＝7.在△AOD中，OD－OA＜AD＜OD＋OA，即7－6＜AD＜7＋6，∴ 1＜AD＜13
第4题
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（2） 若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数.
解：（2） ∵ AC＝BC，∠ACB＝40°，∴ ∠CAB＝∠ABC＝ （180°－∠ACB）＝70°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ADC＝∠ABC＝70°
第4题
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（3） 点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G，H均在线段BD上，且BG＝DH. 求证：四边形EGFH是平行四边形.
解：（3） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ AE＝CF，BG＝DH，∴ OA＋AE＝OC＋CF，OB－BG＝OD－DH，即OE＝OF，OG＝OH.
∴ 四边形EGFH是平行四边形
第4题
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考点二　三角形的中位线
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边BC的中点，连接AD，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF，若EF＝3，AB＝13，则AC的长为（　D　）
A. 10 B. 8 C. 6.5 D. 5
D
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6. 如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，连接CD. 若∠B＝68°，则∠EDC的度数为 　22°　.
22°　
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7. 如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点.请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论.
第7题
解：EF与GH互相平分　连接EG，GF，FH，EH. ∵ E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点，∴ EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线.∴ EG＝ AB，EG∥AB，FH＝ AB，FH∥AB. ∴ EG＝FH，EG∥FH. ∴ 四边形EGFH为平行四边形.∴ EF与GH互相平分
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8. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为（　B　）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 70°
B
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9. 如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AE＝CF，连接AF，BE相交于点M，连接CE，DF相交于点N，则图中除 ABCD之外的平行四边形有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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10. （2025·安徽）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　C　）
A. 四边形EFGH的周长
B. ∠EFG的度数
C. 四边形EFGH的面积
D. 线段FH的长
C
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11. 如图所示为用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，则这个图案中的等腰梯形的内角度数分别是 　60°，60°，120°，120°　.
60°，60°，120°，120°　
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12. 如图，E是 ABCD的边AB上的点，Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P. 若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则涂色部分的面积为 　17　cm2.
17　
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13. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，分别延长AB，DE，交于点F，连接AC，CF. 有下列结论：① △ABC≌△EAD；② △ABE是等边三角形；③ BF＝AD；④ S△BEF＝S△ABC；⑤ S△CEF＝S△ABE. 其中，正确的有 　①②⑤　（填序号）.
①②⑤　
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14. 如图，在四边形ABCD中，G，H是对角线AC的三等分点，延长DG，DH，分别与AB，BC交于点E，F. 若E，F分别是AB，BC的中点，求证：四边形ABCD是平行四边形.
第14题答案
解：如图，连接BD交AC于点O，连接BG，BH，∵ E是AB中点，G，H是对角线AC的三等分点，∴ AG＝GH＝HC. ∴ EG是△ABH的中位线.
∴ EG∥BH，即GD∥BH. 同理可证BG∥DH，∴ 四边形BHDG是平行四边形.
∴ BO＝OD，GO＝OH. 又∵ AG＝HC，∴ AG＋GO＝HC＋OH，即AO＝OC. 又∵ BO＝OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形
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15. 如图，△ABC为等边三角形，D，F分别是BC，AB上的点，且CD＝BF.
（1） 求证：△ACD≌△CBF.
解：（1） ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠ACD＝∠B＝60°，AC＝CB. 在△ACD和△CBF中，∵
∴ △ACD≌△CBF
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（2） 以AD为边作等边三角形ADE，当点D在线段BC上的何处时（不包括点B，C），四边形CDEF是平行四边形？请说明理由.
解：（2） 当点D在线段BC上的任意位置时（不包括点B，C），四边形CDEF都是平行四边形　理由：
∵ △ACD≌△CBF，∴ ∠DAC＝∠FCB，AD＝CF. ∵ △ADE是等边三角形，∴ ∠ADE＝60°，AD＝DE. ∴ DE＝CF.
∵ ∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝60°，∴ ∠BDE＝∠DAC. ∴ ∠BDE＝∠FCB.
∴ DE∥CF. ∴ 四边形CDEF是平行四边形.∴ 当点D在线段BC上的任意位置时（不包括点B，C），四边形CDEF都是平行四边形.
第15题
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16. 如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，过对角线BD的中点O的直线GH分别交AD，BC于点E，F，交BA的延长线于点G，交DC的延长线于点H，连接GD，BH.
（1） 求证：四边形BGDH是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.
∴ ∠BGO＝∠DHO，∠OBG＝∠ODH. ∵ O是 ABCD的对角线BD的中点，∴ OB＝OD. 在△BOG和△DOH中，
∵ ∴ △BOG≌△DOH. ∴ BG＝DH.
∵ BG∥DH，∴ 四边形BGDH是平行四边形
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（2） 求DE＋CF的长度；
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC. ∴ ∠AEG＝∠BFG. ∵ ∠BFG＝∠CFH，∴ ∠AEG＝∠CFH. ∵ BG＝DH，∴ BG－AB＝DH－CD，即AG＝CH. 在△AEG和△CFH中，
∵ ∴ △AEG≌△CFH. ∴ AE＝CF. ∴ DE＋CF＝DE＋AE＝AD＝BC＝4
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（3） 求四边形ABFE的面积.
解：（3） 过点A作AM⊥BC于点M. ∵ 在Rt△ABM中，∠ABM＝∠ABC＝60°，AB＝3，∴ ∠BAM＝30°.
∴ BM＝ AB＝ .∴ 在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝ ＝ ＝ .∴ S ABCD＝BC·AM＝4× ＝6 .∵ 由（1）（2），得△BOG≌△DOH，△AEG≌△CFH，∴ S△BOG＝S△DOH，S△AEG＝S△CFH.
∴ S△BOG－S△AEG＝S△DOH－S△CFH，即S四边形ABOE＝S四边形CDOF. ∴ S四边形ABFE＝S四边形ABOE＋S△BOF＝S四边形CDOF＋S△BOF＝S△BCD＝ S ABCD＝ ×6 ＝3
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16(共19张PPT)
第六章 平行四边形
1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形的对角线的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列图形中，一定是轴对称图形的为（　D　）
A. 直角梯形 B. 平行四边形
C. 直角三角形 D. 等腰梯形
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2. 如图，O是 ABCD两条对角线AC，BD的交点，BD＝20，AO＝8，AD＝15，则△OBC的周长为（　B　）
A. 29 B. 33 C. 34 D. 43
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3. （教材变式）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　C　）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
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4. （教材变式）如图，在等腰梯形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，∠ADE＝30°，则∠A＝ 　60°　，∠C＝ 　120°　.
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5. 如图，在 ABCD中，AC＝16，BD＝12，AD＝10，则 ABCD的面积为 　96　.
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6. 如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC，BD相交于点O，则OA的长度x的取值范围是 　1＜x＜5　.
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7. 如图，在平面直角坐标系中， ABCD的对角线的交点恰好与坐标原点重合，且点A，B的坐标分别为（2，3），（－3，3）.求：
（1） 点C，D的坐标；
解：（1） ∵ ABCD对角线的交点恰好与坐标原点重合，∴ 点A和点C、点B和点D关于原点成中心对称.∵ A（2，3），B（－3，3），∴ C（－2，－3），D（3，－3）
第7题
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（2） ABCD的周长.
解：（2） 过点A作AE⊥CD于点E. ∵ A（2，3），B（－3，3），∴ AB∥x轴.∴ AB＝2－（－3）＝5.∵ A（2，3），D（3，－3），∴ AE＝3－（－3）＝6，DE＝3－2＝1.在Rt△AED中，由勾股定理，得AD＝ ＝ .∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝5，BC＝AD＝ .∴ ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝5＋ ＋5＋ ＝10＋2
第7题
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8. 如图①，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交BC，AD于点E，F.
（1） 求证：OF＝OE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝CO，AD∥BC. ∴ ∠FAO＝∠ECO. 在△AOF和△COE中，∵ ∴ △AOF≌△COE. ∴ OF＝OE
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（2） 小明从图①中找到了一种将平行四边形面积平分的方法.如图②所示为一张纸片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，小明发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助小明设计三种不同的分割方案.
解：（2） 如答案图①②③所示
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9. （新考法·操作实践题）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的对应点记为B'，则DB'的长为（　A　）
A. B. C. 2 D.
A
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10. （新考法·动点问题探究）如图，点A（0，8），B（0，－2），E（0，5），F（－5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD长的最小值是 　2 　.
2 　
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11. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠B＝∠C.
（1） 求证：四边形ABCD是等腰梯形；
解：（1） 如图①，延长BA，CD交于点P. ∵ ∠B＝∠C，∴ PB＝PC.
∵ AB＝CD，∴ PB－AB＝PC－CD，即PA＝PD. ∴ ∠PAD＝∠PDA.
∵ ∠B＋∠C＋∠P＝∠PAD＋∠PDA＋∠P＝180°，∴ ∠B＋∠C＝∠PAD＋∠PDA，即2∠B＝2∠PAD. ∴ ∠B＝∠PAD. ∴ AD∥BC. ∵ ∠B＋∠C≠180°，∴ AB与CD不平行.∴ 四边形ABCD是梯形.∵ AB＝CD，∴ 梯形ABCD是等腰梯形
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（2） 当BD⊥DC时，求∠B的度数.
解：（2） 如图②，连接BD. ∵ AB＝AD，∴ ∠ABD＝∠ADB. ∵ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC. ∴ ∠ABD＝∠DBC. ∴ ∠ABC＝2∠DBC.
∵ BD⊥CD，∴ ∠BDC＝90°.∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝2∠DBC. ∴ ∠C＝60°.∴ ∠ABC＝60°
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12. 如图①， ABCD的周长为6，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O.
（1） 求 ABCD其余各边的长.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝1，AD＝BC.
又∵ ABCD的周长为6，∴ AB＋AD＋CD＋BC＝6，即2AB＋2AD＝6.∴ AB＋AD＝ ×6＝3.∴ AD＝BC＝3－1＝2
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（2） 若AB⊥AC，求OC的长.
解：（2） ∵ AB⊥AC，AB＝1，BC＝2，∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ .∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC＝ AC＝
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（3） 将射线OA绕点O按顺时针方向旋转至OA'处，交AD于点E，连接CE（如图②），当旋转角为多少度时，CA平分∠BCE？请说明理由.
解：（3） 当旋转角为90°时，CA平分∠BCE　理由：∵ ∠AOE＝90°，OA＝OC，∴ EO垂直平分AC. ∴ EA＝EC. ∴ ∠EAC＝∠ECA. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠EAC＝∠ACB. ∴ ∠ACB＝∠ECA，即CA平分∠BCE.
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12(共17张PPT)
第六章 平行四边形
3　三角形的中位线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·广东）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF的度数为（　C　）
A. 20° B. 40°
C. 70° D. 110°
C
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2. 如图，AD为△ABC的中线，E为边AC的中点，连接DE，则下列结论中不一定成立的是（　A　）
A. DC＝DE B. AB＝2DE
C. S△CDE＝ S△ABC D. DE∥AB
A
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3. （教材变式）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数为（　B　）
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 60°
B
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4. （新情境·现实生活）如图，校园内有一块等边三角形的空地ABC，已知M，N分别是边AB，AC的中点，量得MN＝4米，若想把四边形BCNM用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是 　20　米.
20　
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE. 若∠ABC＝60°，∠2＝80°，则∠1的度数为 　40°　.
40°　
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6. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点.若EF⊥AD，AB＝5，AD＝3，则EF的长为 　2　.
2　
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7. 如图，E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝7，CE＝1.5，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，求BF的长.
第7题
解：连接BD交AC于点O，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OC＝OA，OD＝OB. ∵ AC＝7，∴ OC＝ AC＝3.5.∴ OE＝OC－CE＝3.5－1.5＝2.
∵ EF＝DE，OB＝OD，∴ OE是△DBF的中位线.∴ BF＝2OE＝4
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8. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，连接MN.
（1） 求证：BN＝DN；
解：（1） ∵ AN平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2.∵ BN⊥AN，
∴ ∠ANB＝∠AND＝90°.在△ABN和△ADN中，
∵ ∴ △ABN≌△ADN. ∴ BN＝DN
第8题
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（2） 若AB＝10，BC＝15，MN＝3，求△ABC的周长.
解：（2） ∵ △ABN≌△ADN，∴ AB＝AD＝10.∵ BN＝DN，∴ N是BD的中点.又 ∵ M是BC的中点，∴ MN是△BDC的中位线.∴ CD＝2MN＝6.∴ △ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB＋BC＋AD＋CD＝10＋15＋10＋6＝41
第8题
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9. 如图，A，B为定点，作直线l∥AB，P是l上一动点，M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：① 线段MN的长；② △PAB的周长；③ △PMN的面积；④ 直线MN，AB之间的距离；⑤ ∠APB的大小.其中，会随点P的移动而变化的是（　B　）
A. ②③ B. ②⑤ C. ④⑤ D. ①③④
B
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10. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（　A　）
A. 12 B. 14 C. 24 D. 21
A
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11. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　 　.
第11题
　
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12. 如图，D，E是Rt△ABC两直角边AB，AC上的点，连接BE，已知F，G，H分别是DE，BE，BC的中点，若BD＝CE，试猜想FG与GH的关系，并说明理由.
第12题
解：FG＝GH，FG⊥GH　理由：∵ F，G，H分别是DE，BE，BC的中点，∴ FG是△EDB的中位线，GH是△BCE的中位线.∴ FG∥AB，FG＝ BD，
GH∥AC，GH＝ CE. ∴ ∠FGE＝∠ABE，∠EGH＝∠AEB.
∴ ∠FGH＝∠FGE＋∠EGH＝∠ABE＋∠AEB＝180°－∠A＝90°.
∴ FG⊥GH. ∵ BD＝CE，∴ FG＝GH.
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13. （新考法·操作实践题）如图①，DE是△ABC的中位线，琳琳对这个图形进行了剪拼，先连接AD（如图②），再沿AD剪开（如图③），然后将△ABD放于△ADC的下面，使BD和CD重合（如图④）.琳琳对剪拼后的图形很感兴趣，于是编了一道数学题：如图④，在四边形ADFC中，DE是△ADC的中线，∠DCF＝∠DCA＋∠DAC，AD＝FC. 求证：DE＝ DF.
　　
（1） 从图③到图④，采用的图形变化是图形的 　平移　和图形的 　轴对称　；
平移　
轴对称　
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（2） 请你证明琳琳编的这道数学题.
解：延长CD至点M，使DM＝CD，连接AM. ∵ ∠MDA＝∠DCA＋∠DAC，∠DCF＝∠DCA＋∠DAC，∴ ∠MDA＝∠DCF. 在△ADM和△FCD中，∵ ∴ △ADM≌△FCD. ∴ MA＝DF. ∵ DM＝CD，∴ D为MC的中点.∵ DE是△ADC的中线，∴ E为AC的中点.∴ DE是△AMC的中位线.∴ DE＝ MA. ∴ DE＝ DF
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13(共18张PPT)
第六章 平行四边形
2　平行四边形的判定
第1课时　根据边的关系判定平行四边形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，则还需要添加的条件可以是（　A　）
A. BC＝3
B. CD＝2
C. BD＝5
D. BD＝3
第1题
A
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2. （易错题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，下列添加的条件不一定能使其为平行四边形的是（　C　）
A. AD∥BC B. ∠B＝∠D
C. AD＝BC D. AB＝CD
C
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3. 如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，连接AF，CE. 下列条件中，不能使四边形AFCE是平行四边形的为（　B　）
A. AE＝CF B. AE＝BF
C. DE＝BF D. CE∥AF
B
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4. 如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. 只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是 　AE＝CF　（写出一个即可）.（答案不唯一）
AE＝CF　
（答案不唯一）
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5. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心、AD，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形　
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6. （新情境·现实生活）在我们的住房中，很多楼梯的扶手美轮美奂，呈现多种图形.如图，把构成扶手材料的相关部分看成线段，可以抽象出平面图形.经过测量，∠G＝65°，∠GAB＝∠ADC＝∠DEF＝115°，GH＝AB＝DC＝EF＝0.8米.在抽象出来的平面图形中，平行四边形有 　6　个.
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7. （教材变式）如图，四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.
第7题
解：∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ AD∥EF，AD＝EF. 又∵ 四边形EBCF是平行四边形，∴ BC∥EF，BC＝EF. ∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
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8. 如图，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝∠CBD，AB＝x＋3，BD＝8，BC＝6，CD＝10，AD＝13－x.求证：四边形ABCD是平行四边形.
第8题
解：∵ BD＝8，BC＝6，CD＝10，∴ BD2＋BC2＝CD2.∴ △BCD是直角三角形，且∠CBD＝90°.∵ ∠ADB＝∠CBD，∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB＝90°.
∴ AD2＋BD2＝AB2，即（13－x）2＋82＝（x＋3）2，解得x＝7.∴ AD＝6.
∴ AD＝BC. 又∵ AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形
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9. （新考法·操作实践题）如图，E是 ABCD边AD上一点（不包含点A，D），连接CE，要求用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.甲作法：以点C为圆心、AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 乙作法：以点A为圆心、CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 关于甲、乙两种作法，下列说法一定正确的是（　B　）
A. 甲、乙都正确 B. 只有甲正确
C. 只有乙正确 D. 甲、乙都不正确
B
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10. （易错题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且OB＝2OC. 在平面直角坐标系中确定一点D，使得以D，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　（3，2）或（－3，2）或（5，－2）　.
（3，2）或（－3，2）或（5，－2）　
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11. 如图，在四边形ABCD中，∠CAD＝∠ACB＝90°，点E在BC上，CD＝AE，过点E作EF⊥AB，垂足为F.
（1） 求证：四边形AECD是平行四边形；
解：（1） ∵ ∠CAD＝∠ACB＝90°，∴ AD∥CE. 在Rt△ADC和Rt△CEA中，∵
∴ Rt△ADC≌Rt△CEA. ∴ AD＝CE. 又∵ AD∥CE，∴ 四边形AECD是平行四边形
第11题
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（2） 若EF＝EC，∠BAC＝50°，求∠ACD的度数.
解：（2） ∵ ∠ACB＝90°，∴ EC⊥AC. ∵ EF⊥AB，EF＝EC，∴ ∠FAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝25°.由（1），得Rt△ADC≌Rt△CEA，∴ ∠ACD＝∠CAE＝25°
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12. （新考法·过程性学习）如图①，在 ABCD 中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.
（1） 求证：四边形EBFD是平行四边形.
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（2） 小明在完成（1）的证明后继续进行了探索.连接AF，CE，分别交BE，FD于点G，H，得到四边形EGFH（如图①）.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图（如图②）中补全他的证明思路.
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC. ∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴ ∠EBC＝ ∠ABC，∠ADF＝ ∠ADC. ∴ ∠EBC＝∠ADF. ∵ AD∥BC，∴ ∠AEB＝∠EBC. ∴ ∠AEB＝∠ADF. ∴ EB∥DF. 又∵ ED∥BF，∴ 四边形EBFD是平行四边形
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