资源简介

(共10张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第4课时　多边形的外角和
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 若一个正多边形的每个外角均为72°，则这个正多边形的内角和等于（　A　）
A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080°
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. 如图，线段AB，BC，CD是一个正多边形的三条边，延长AB，DC交于点M，若∠M＝90°，则这个正多边形是（　D　）
A. 正五边形 B. 正六边形
C. 正七边形 D. 正八边形
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. 已知多边形的内角和比它的外角和大720°，则多边形的边数为 　8　.
4. （新情境·现实生活）如图①所示为冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案的示意图，若∠1＋∠3＋∠5＝150°，则∠2＋∠4＋∠6＝ 　330°　.
8　
330°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. 如图，小东在足球场的中间位置，从点A出发，每走6m向左转60°.
（1） 直接写出答案：小东能否走回点A？若能回到点A，则需走多少米？走过的路径是一个什么图形（路径为点A→B→C→…）？
解：（1） 能　36m　正六边形
第5题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2） 求这个图形的内角和.
解：（2） 由题意，得这个图形的内角和为（6－2）×180°＝720°
第5题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. （2025·凉山）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引的对角线条数是（　B　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（　D　）
A. 2∶1 B. 1∶1 C. 5∶2 D. 5∶4
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. （转化思想）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠J＝ 　360°　.
360°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9. 如图，阅读小明和小红的对话，解决下面的问题.
（1） 小明求的是 　十二　边形的内角和，这个“多加的锐角”的度数是 　30°　；
（2） 若这个多边形是正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？
解：∵ 正十二边形的外角都相等，而多边形的外角和为360°，∴ 这个正多边形的一个外角为 ＝30°
十二　
30°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
3　直角三角形
第2课时　直角三角形全等的判定
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，有如下几个条件：① AC＝A'C'，∠A＝∠A'；② AC＝A'C'，AB＝A'B'；③ AC＝A'C'，BC＝B'C'；④ AB＝A'B'，∠A＝∠A'.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件的个数为（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 如图，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D. 若CB＝CD，且∠BAC＝30°，则∠BAD的度数是（　C　）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D. 若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则可以添加的条件是 　AC＝BD　（写出一种即可）.（答案不唯一）
AC＝BD　
（答案不唯一）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. （新考法·操作实践题）在课堂上，老师给每人发一张如图①所示的卡片，然后让同学们尝试画一个Rt△ABC，使Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.小刘和小赵先画出了∠MBN＝90°，后续画图的主要过程分别如图②所示，小刘做法的依据是 　SAS　，小赵做法的依据是 　HL　.
SAS　
HL　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. （教材变式）如图，在△ABE和△BCD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD. 求证：AB⊥BC.
第5题
解：∵ AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，∴ ∠AEB＝∠D＝90°.在Rt△ABE和Rt△BCD中，∵ ∴ Rt△ABE≌Rt△BCD. ∴ ∠A＝∠DBC. ∴ ∠ABC＝∠ABE＋∠DBC＝∠ABE＋∠A＝90°.∴ AB⊥BC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. （教材变式）如图，小明和小芳分别同时以相同的速度从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，两人分别同时到达点C，D，若CB⊥AB，DA⊥AB.
（1） CB与DA相等吗？为什么？
解：（1） CB＝DA　由题意，得AC＝BD. ∵ CB⊥AB，DA⊥AB，∴ ∠ABC＝∠BAD＝90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵ ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD.
∴ CB＝DA
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 若∠DAC＝60°，求∠DBA的度数.
解：（2） 由题意可得∠CAB＝90°－60°＝30°，
又∵ Rt△ABC≌Rt△BAD，∴ ∠DBA＝∠CAB＝30°
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点O，OB＝OC，则图中全等的直角三角形共有（　B　）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D，交BC于点E. 若∠B＝28°，则∠AEC的度数为（　B　）
A. 28° B. 59° C. 60° D. 62°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 　5或10　时，△ABC和△PQA全等.
第9题
5
或10　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 如图所示为直角α，线段m，n，作等腰三角形ABC，使得AB＝AC＝n，BC边上的高为m（尺规作图，写出作法，保留作图痕迹）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：如图，等腰三角形ABC即为所求　作法如下：① 设直角α的顶点为O，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交直角α的两边于点E，F；② 作直线p，在直线p上任取一点D，以点D为圆心、OE长为半径作弧，交直线p于点G，以点G为圆心，EF长为半径作弧，两弧交于点H，作射线DH；③ 以点D为圆心，m为半径作弧，交射线DH于点A；④ 以点A为圆心，n为半径作弧，交直线p于点B，C；⑤ 连接AB，AC. 等腰三角形ABC即为所求
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （新考法·探究题）如图①，点E，F在线段AC上，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE＝CF，AB＝CD，连接BD交AC于点G.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（1） 求证：FG＝EG.
解：（1） ∵ DE⊥AC，BF⊥AC，∴ ∠DEG＝∠BFG＝90°.∵ AE＝CF，∴ AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE. ∴ BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，
∵ ∴ △BFG≌△DEG. ∴ FG＝EG
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 如图②，若点E在点F的右边，其余条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.
解：（2） （1）中的结论仍成立　理由：∵ AE＝CF，∴ AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE. ∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴ ∠DEG＝∠DEC＝∠AFB＝∠BFG＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵ ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE. ∴ BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，∵
∴ △BFG≌△DEG. ∴ FG＝EG.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（3） 如图③，若点E，F分别在线段CA的延长线与反向延长线上，其余条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.
解：（3） （1）中的结论仍成立　理由：∵ AE＝CF，∴ AE＋AC＝CF＋AC，即CE＝AF. ∵ DE⊥AC，BF⊥AC，
∴ ∠DEG＝∠BFG＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∵ ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE. ∴ BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，∵ ∴ △BFG≌△DEG. ∴ FG＝EG.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11(共32张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
第一章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一　三角形内角和定理
1. 如图，下列说法不正确的是（　C　）
A. ∠B＋∠ACB＜180°
B. ∠B＋∠ACB＝180°－∠A
C. ∠B＞∠ACD
D. ∠HEC＞∠B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2. 如图，在△ABC中，点D在BC上.根据图中标示的度数，则p＋q＋r的值为 　160　.
160　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
3. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ 　540°　.
540°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
4. 已知某正多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°.求：
（1） 该正多边形每个内角的度数；
解：（1） 设该正多边形的每个外角的度数为x°，根据题意，得180－x＝3x＋20，解得x＝40.∵ 180°－x°＝140°，∴ 该正多边形每个内角的度数为140°
（2） 该正多边形的内角和.
解：（2） ∵ 该正多边形的每个外角的度数为40°，∴ 该正多边形的边数为360°÷40°＝9.∴ 该正多边形的内角和是（9－2）×180°＝1260°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
考点二　等腰三角形与等边三角形
5. 如图，在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB∥CD，∠BAD＝25°，则∠CAB的度数为（　D　）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 75°
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
6. 如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交BC的延长线于点E，则∠BDE的度数为（　D　）
A. 100° B. 105° C. 110° D. 120°
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
7. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，则BE的长为 　 　.
第7题
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，交BC于点D，∠CAD＝30°.
（1） 求证：BD＝2CD.
解：（1） ∵ AD⊥AB，∴ ∠BAD＝90°.∴ ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°＋30°＝120°.∵ AB＝AC，
∴ ∠B＝∠C＝ ×（180°－∠BAC）＝30°＝∠CAD.
∴ AD＝CD. 在Rt△BAD中，∵ ∠B＝30°，∴ BD＝2AD.
∴ BD＝2CD
第8题
（2） 取BD的中点E，连接AE. 求证：△ADE是等边三角形.
解：（2） ∵ E是BD的中点，∴ BD＝2DE. 由（1），知BD＝2AD，
∴ AD＝DE. ∴ △ADE是等腰三角形.
又∵ ∠ADE＝∠CAD＋∠C＝60°，∴ △ADE是等边三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
考点三　直角三角形
9. 已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径作弧，再以点B为圆心，BM长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　B　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
10. 有下列命题：① 有一边对应相等的两个直角三角形全等；② 一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③ 有两边相等的两个直角三角形全等；④ 若两个直角三角形的斜边的长都为5cm，一条直角边的长都为3cm，则这两个直角三角形一定全等.其中，真命题是 　②④　（填序号）.
B
②④　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
11. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点A，C，D在同一直线上，AE与BC交于点F，如果AB＝10cm，那么AF＝ 　5 　cm.
5 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
12. 如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF. 求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.
第12题
解：连接BD. ∵ AB＝AD，∴ ∠ABD＝∠ADB. ∵ ∠ABC＝∠ADC＝90°，∴ ∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB，即∠CBD＝∠CDB. ∴ BC＝DC. ∵ BE⊥EF，DF⊥EF，∴ ∠E＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，∵ ∴ Rt△BCE≌Rt△DCF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
考点四　线段垂直平分线与角平分线
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是AC的中点，连接BD，按以下步骤作图：① 分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；② 作直线PQ交AB于点E，交BC于点F. BF的长为 （　B　）
A. 4 B. C. 6 D.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝6，BC＝8，则△DBC的面积是 　24　.
24　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
15. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD.
（1） 求证：∠CAD＝∠ACD；
解：（1） ∵ l是AB的垂直平分线，点D在l上，∴ DA＝DB. ∵ DB＝DC，∴ DA＝DC. ∴ ∠CAD＝∠ACD
第15题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
（2） 连接BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC.
解：（2） ∵ BD⊥CD，∴ ∠CDB＝90°.∴ ∠BCD＋∠CBD＝90°.∴ ∠CAD＋∠ACD＋∠BAD＋∠ABD＝90°.∵ DA＝DB，∴ ∠ABD＝∠BAD. ∵ ∠CAD＝∠ACD，∴ ∠CAD＋∠BAD＝ ×90°＝45°.∴ ∠EAB＝45°.∵ l是AB的垂直平分线，∴ EA＝EB. ∴ ∠EBA＝45°.∴ ∠AEB＝90°.∴ BE⊥AC
第15题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
16. 用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD的度数为（　C　）
A. 120° B. 135° C. 144° D. 150°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
17. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM. 有下列结论：① AC＝BD；② ∠AMB＝40°；③ OM平分∠BOC；④ MO平分∠BMC. 其中，正确的个数是 （　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
18. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，P为△ABC内一点，过点P的直线EF分别交AB，AC于点E，F. 若点E，F分别在PB，PC的垂直平分线上，则∠BPC的度数为 　120°　.
120°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
19. 如图，将含30°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D. 若BD正好平分∠ABC，D，B两点在直尺上的读数分别为1cm，7cm，则直尺的宽为 　 　cm.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
20. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，D是AC的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接EC. 当△BCE是以BC为底的等腰三角形时，边AC的长为 　2 　；当△BCE是以CE为底的等腰三角形时，边AC的长为 　 　.
2 　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
21. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，P是BA的延长线上一点，O是线段AD上一点，OP＝OC.
（1） 求∠APO＋∠DCO的度数；
解：（1） 连接OB. ∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD，∠BAD＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°，∠BDA＝90°.∴ OB＝OC，∠ABC＝90°－∠BAD＝30°.∵ OP＝OC，∴ OB＝OC＝OP. ∴ ∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO. ∴ ∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°
第21题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
（2） 求证：点P在OC的垂直平分线上.
解：（2） ∵ ∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴ ∠APC＋∠DCP＝150°.∵ ∠APO＋∠DCO＝30°，
∴ ∠OPC＋∠OCP＝120°.∴ ∠POC＝180°－（∠OPC＋∠OCP）＝60°.∵ OP＝OC，∴ △OPC是等边三角形.
∴ OP＝PC. ∴ 点P在OC的垂直平分线上
第21题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
22. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为中线，延长DC至点E，使DE＝AD，连接AE，过点B作AC的垂线，垂足为G，交AE于点F.
（1） 若∠BAC＝52°，求∠FBC的度数；
解：（1） ∵ △ABC是等腰三角形，∠BAC＝52°，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝ （180°－∠BAC）＝ ×（180°－52°）＝64°.∵ BG⊥AC，∴ ∠BGC＝90°.∴ ∠FBC＝90°－∠ACB＝90°－64°＝26°
第22题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
（2） 求证：BF＝AC.
解：（2） ∵ AB＝AC，AD为中线，∴ ∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC. ∵ ∠GBC＋∠GCB＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°，∴ ∠GBC＝∠DAC＝∠DAB. 又∵ DE＝DA，∴ △ADE是等腰直角三角形.∴ ∠DAE＝∠DEA＝45°.∴ ∠AFB＝∠CBG＋∠DEA＝∠CBG＋45°.
∵ ∠BAF＝∠DAB＋∠DAE＝∠DAB＋45°，∴ ∠BAF＝∠BFA. ∴ BF＝AB. ∴ BF＝AC
第22题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
23. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
（1） 如图①，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
解：（1） ∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠C＝45°.
∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.∴ ∠BAD＝∠CAD＝45°.∴ ∠ABC＝∠BAD＝∠CAD＝∠C. ∴ AD＝BD＝DC. ∵ AB＝2，∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＋AD2＝AB2＝4，即2BD2＝4，解得BD＝ （负值舍去）.∴ AD＝BD＝ .∵ ∠BMN＝90°，∠AMN＝30°，∴ ∠BMD＝180°－∠BMN－∠AMN＝60°.∴ ∠MBD＝30°.∴ BM＝2DM. 在Rt△BDM中，由勾股定理，得BM2－DM2＝BD2，即（2DM）2－DM2＝（ ）2，解得DM＝ （负值舍去）.∴ AM＝AD－DM＝ －
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
（2） 如图②，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
解：（2） ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°.又∵ ∠EDF＝90°，∴ ∠ADB＝∠EDF. ∴ ∠ADB－∠ADE＝∠EDF－∠ADE，即∠BDE＝∠ADF. 由（1），得∠B＝∠FAD，BD＝AD. 在△BDE和△ADF中，
∵ ∴ △BDE≌△ADF. ∴ BE＝AF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
（3） 如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝ AM.
　　
解：（3） 如图③，过点M作ME∥BC，交AB的延长线于点E，∴ ∠AME＝∠ADB＝90°，∠E＝∠ABC＝∠MAN＝∠MAE＝45°.∴ AM＝EM. ∴ 在Rt△AME中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝ AM. ∵ ∠AME＝∠BMN＝90°，∴ ∠AME－∠AMB＝∠BMN－∠AMB，即∠BME＝∠NMA. 在△BME和△NMA中，∵
∴ △BME≌△NMA. ∴ BE＝NA. ∴ AB
＋AN＝AB＋BE＝AE＝ AM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
阶段训练（2～3）
一、 选择题
1. 如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为 （　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，将一把含30°角的三角尺按如图所示的方式放置，若AC∥DE，则∠ABD的度数是（　D　）
A. 40° B. 30°
C. 25° D. 15°
3. 在数轴上点A，B，C表示的数分别为－4，－2和3，O为原点，若以OA，OC，BC的长为边长构造三角形，则构造的三角形为（　A　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
D
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设（　B　）
A. ∠B是锐角 B. ∠B不是锐角
C. ∠C是直角 D. ∠C不是直角
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，连接AD，BE，交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ. 有下列结论：① AD＝BE；② PQ∥AE；③ AP＝BQ；④ DE＝DP；⑤ ∠AOB＝60°.其中，恒成立的有（　D　）
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④⑤
D. ①②③⑤
第5题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
二、 填空题
6. （2025·南充）如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧；再以点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E. 设OC＝1，则OE的长是 　 　.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC长的最小值是 　 　.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 如图，在3×3的方格纸中，每个小正方形的边长均表示1，点A，B，C都在格点上.若BD是△ABC的高，则BD的长为 　 　.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE. 有下列结论：① BD＝CE；② BD⊥CE；③ ∠ACE＋∠DBC＝45°；④ ∠ACE＝∠DBC. 其中，正确的有 　①②③　（填序号）.
①②③　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
三、 解答题
10. 如图，AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN＝CM. 求证：∠B＝∠C.
第10题
解：∵ AM⊥BC于点M，DN∥AM，∴ ∠AMB＝∠DNC＝90°.∵ BN＝CM，∴ BN＋MN＝CM＋MN，即BM＝CN. 在Rt△ABM和Rt△DCN中，∵ ∴ Rt△ABM≌Rt△DCN. ∴ ∠B＝∠C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，BC＝10，CD＝6.
（1） 连接BD，判断△ABD的形状；
解：（1） ∵ AB＝AD，∠A＝60°，∴ △ABD是等边三角形
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） 求∠ADC的度数.
解：（2） ∵ △ABD是等边三角形，∴ ∠ADB＝60°，BD＝AB＝8.在△BDC中，∵ CD2＋BD2＝62＋82＝100，BC2＝102＝100，∴ CD2＋BD2＝BC2.∴ △BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴ ∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝90°＋60°＝150°
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E.
（1） 求证：△BEC是等腰三角形；
解：（1） ∵ BD⊥AC，∴ ∠CDB＝90°.
∴ ∠DBC＋∠C＝90°.∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠A＋∠C＝90°.∴ ∠DBC＝∠A. ∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE＝∠DBE. ∵ ∠CBE＝∠CBD＋∠DBE，∠CEB＝∠A＋∠ABE，∴ ∠CBE＝∠CEB.
∴ CB＝CE. ∴ △BEC是等腰三角形
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） 若∠CEB＝75°，BC＝4，求DE的长.
解：（2） ∵ ∠CEB＝∠CBE＝75°，∴ ∠C＝180°－2×75°＝30°.∵ ∠CDB＝90°，BC＝4，∴ BD＝ BC＝2.∴ CD＝ ＝2 .∵ CE＝BC＝4，∴ DE＝CE－CD＝4－2
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 如图，在等边三角形ABC中，点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，连接ED，EC，且ED＝EC. 若△ABC的边长为1，AE＝3，求CD的长.
第13题
解：过点E作EF⊥CD于点F. ∵ △ABC是等边三角形，边长为1，AE＝3，∴ BE＝AE－AB＝2，∠ABC＝60°.∴ ∠FBE＝60°.∵ EF⊥CD，
∴ ∠EFB＝90°.∴ ∠BEF＝90°－60°＝30°.∴ BF＝ BE＝1.∴ CF＝BF＋BC＝2.∵ ED＝EC，EF⊥CD，∴ DF＝CF＝2.∴ CD＝DF＋CF＝4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H.
（1） 求证：△APF是等腰三角形；
解：（1） ∵ EF∥AD，∴ ∠BAD＝∠PFA，∠CAD＝∠P. ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝∠CAD. ∴ ∠PFA＝∠P.
∴ AF＝AP. ∴ △APF是等腰三角形
第14题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） 猜想AB与PC的大小关系，并证明你的猜想.
解：（2） AB＝PC　∵ CH∥AB，∴ ∠DCH＝∠B，∠H＝∠BAD. ∵ EF∥AD，∴ ∠BFE＝∠BAD. ∴ ∠H＝∠BFE. 在△BEF和△CDH中，∵
∴ △BEF≌△CDH. ∴ BF＝CH. ∵ ∠BAD＝∠CAD，
∴ ∠CAD＝∠H. ∴ AC＝CH. ∴ AC＝BF. ∴ AF＋BF＝AP＋AC，即AB＝PC
第14题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
4　线段的垂直平分线
第2课时　线段垂直平分线性质的应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 在数学活动课上，三名同学围绕作图问题“如图①所示为直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”分别作出了如图②③④所示的三个图形，其中，作法正确的是（　D　）
　　　　
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A. ③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
2. 如图，直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线.若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，则当顶点A的位置移动时，点O始终在（　A　）
A. 直线MN上
B. 直线MN的左侧
C. 直线MN的右侧
D. 直线MN的左侧或右侧
第2题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （教材变式）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与AB，BC分别交于点D，E，AC的垂直平分线GF与AC，BC分别交于点F，G，已知BC＝7，GE＝2，则△AGE的周长为 　11　.
11　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC，AD，AE. 若△OBC的周长为16，AO的长为5，则△ADE的周长为 　6　.
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （教材变式）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线.
（1） 尺规作图：作△ABD的高DE；
解：（1） △ABD的高DE如图所示
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 在（1）的条件下，连接CE，求证：AD垂直平分CE.
解：（2） 如图，由（1）得DE是△ABD的高，∴ DE⊥AB. ∴ ∠AED＝90°.在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴ ∠ACD＝∠AED，∠CAD＝∠BAD. 在△ACD和△AED中，∵
∴ △ACD≌△AED. ∴ AC＝AE，DC＝DE. ∴ 点A在CE的垂直平分线上，点D在CE的垂直平分线上.∴ AD垂直平分CE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 如图，在△ABC中，DE，DF分别垂直平分BC，AB，连接AD，CD. 若∠ABC＝50°，求∠ACD的度数.
第6题
解：连接DB. ∵ ∠ABC＝50°，∴ ∠BCA＋∠BAC＝180°－50°＝130°.∵ DE，DF分别垂直平分BC，AB，∴ DC＝DB，DA＝DB.
∴ ∠DCB＝∠DBC，∠DAB＝∠DBA，DC＝DA. ∴ ∠DCB＋∠DAB＝∠DBC＋∠DBA＝∠ABC＝50°.∴ ∠DCA＋∠DAC＝（∠BCA－∠DCB）＋（∠BAC－∠DAB）＝（∠BCA＋∠BAC）－（∠DCB＋∠DAB）＝130°－50°＝80°.∵ DC＝DA，∴ ∠ACD＝∠CAD＝40°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，△ABC是等边三角形，直线MN∥BC，点P在直线MN上运动，当点P与△ABC的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线MN上会让警报器发出警报的点有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连接PA，PB，PC. 若∠PAD＝45°，则∠ABC的度数为（　D　）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 45°
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，D为AB与BC的垂直平分线的交点.若∠BAC＝34°，则∠BDC的度数为 　68°　.
68°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 如图所示为△ABC，请用尺规作图，将△ABC的面积两等分（不写作法，保留作图痕迹）.
解：作法不唯一，如图，线段AO将△ABC的面积两等分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线DP，EP交于点P，连接PA，PB，PC.
（1） 求证：点P在AC的垂直平分线上；
解：（1） ∵ AB，BC的垂直平分线DP，EP交于点P，∴ PA＝PB，PB＝PC. ∴ PA＝PC. ∴ 点P在AC的垂直平分线上
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若∠BAC＝85°，求∠BPC的度数；
解：（2） 由（1）知，PA＝PB＝PC，∴ ∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP. ∵ ∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＝85°，∴ ∠ABP＋∠ACP＝85°.∴ ∠PBC＋∠PCB＝180°－∠ABP－∠ACP－∠BAC＝10°.∴ ∠BPC＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝170°
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 求证：∠ABP＋∠ACB为定值.
解：（3） 由（1）知，PA＝PB＝PC，∴ ∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，∠PBC＝∠PCB. ∵ ∠PAB＋∠PBA＋∠PBC＋∠PCB＋∠PAC＋∠PCA＝180°，∴ ∠PBA＋∠PCB＋∠PCA＝ ×180°＝90°，即∠ABP＋∠ACB＝90°，为定值
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 如图，在△ABC中，DE，MN分别是边AB，AC的垂直平分线，分别交BC于点E，N，且直线DE，MN相交于点F.
（1） 若∠B＝20°，求∠BAE的度数；
解：（1） ∵ DE是边AB的垂直平分线，∴ EA＝BE.
∴ ∠BAE＝∠B＝20°　
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若∠EAN＝40°，求∠F的度数；
解：（2） ∵ DE，MN分别是边AB，AC的垂直平分线，∴ ∠ADF＝∠AMF＝90°，AE＝BE，AN＝CN. ∴ ∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C. ∵ ∠EAN＝40°，∠B＋∠BAE＋∠EAN＋∠CAN＋∠C＝180°，
∴ ∠BAE＋∠CAN＝ （180°－∠EAN）＝70°.
∴ ∠BAC＝∠BAE＋∠EAN＋∠CAN＝110°.∴ ∠F＝360°－∠ADF－∠AMF－∠BAC＝70°
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 若AB＝8，AC＝9，求△AEN周长的取值范围.
解：（3） 由（2），知AE＝BE，AN＝CN，∴ BC＝BE＋EN＋CN＝AE＋EN＋AN，即BC的长与△AEN的周长相等.∵ AB＝8，AC＝9，∴ 1＜BC＜17.∴ 1＜△AEN的周长＜17
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共20张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第2课时　三角形的外角
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）（2025·南充）如图，把含有60°角的直角三角尺的斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　D　）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 如图，在△ABC中，下列判断一定正确的是（　C　）
A. ∠ADB＞∠AEC
B. ∠ADB＞∠1＋∠2＋∠3
C. ∠ADB＞∠1＋∠2
D. 以上都对
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，它们的直角顶点A，D分别在另一把三角尺的斜边上，且EF∥BC，则∠1的度数为（　C　）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A＝80°，∠BCA＝50°，则∠BFC的度数为（　B　）
A. 110° B. 115° C. 120° D. 125°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 如图，BD⊥CF于点E，∠A＝38°，∠B＝30°，则∠C的度数为 　22°　.
22°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. （新考向·跨学科）如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点.若∠1＝150°，∠2＝25°，则∠3的度数为 　55°　.
55°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，BE相交于点F. 求证：
（1） ∠AFB＞∠C；
解：（1） ∵ ∠AFB是△AEF的一个外角，∴ ∠AFB＞∠AEF. ∵ ∠AEF是△BCE的一个外角，∴ ∠AEF＞∠C. ∴ ∠AFB＞∠C
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） ∠AFB＝∠1＋∠2＋∠C.
解：（2） 由题意，得∠AFB＝∠AEB＋∠1，∠AEB＝∠C＋∠2，∴ ∠AFB＝∠1＋∠2＋∠C
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. （新考法·探究题）已知：直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，且∠C＝45°.设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β.
（1） 如图①，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α＋45°；
解：（1） ∵ ∠CDQ是△CBD的一个外角，∴ ∠CDQ＝∠α＋∠C. ∵ PQ∥MN，
∴ ∠CDQ＝∠β.∴ ∠β＝∠α＋∠C. ∵ ∠C＝45°，∴ ∠β＝∠α＋45°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 如图②，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由.
解：（2） ∠α＝∠β＋45°　理由：
∵ ∠CFN是△ACF的一个外角，∴ ∠CFN＝∠β＋∠C. ∵ PQ∥MN，∴ ∠CFN＝∠α.
∴ ∠α＝∠β＋∠C. ∵ ∠C＝45°，∴ ∠α＝∠β＋45°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. （新情境·现实生活）如图所示为起重机在工作时的示意图，起吊物体前，机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了5°，则∠DCE的变化情况为（　C　）
A. 增大10° B. 减小10°
C. 增大25° D. 减小25°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. （教材变式）某机器零件的横截面如图所示，按要求，线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格.一工人测得∠A＝25°，∠D＝29°，∠AED＝145°，则该零件 　不合格　（填“合格”或“不合格”）.
不合格　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E. 记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°.求∠1与∠BOC的度数.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：∵ CE为∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴ ∠DCE＝ ∠ACD，∠DBE＝ ∠ABC. ∵ ∠DCE是△BCE的外角，∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠2＝∠DCE－∠DBE＝ （∠ACD－∠ABC）＝ ∠1.∴ ∠1＝2∠2＝2×25°＝50°.∵ OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴ ∠ACO＝ ∠ACB，∠ACE＝ ∠ACD. ∴ ∠OCE＝∠ACO＋∠ACE＝ （∠ACB＋∠ACD）＝ ×180°＝90°.∵ ∠BOC是△COE的外角，∴ ∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋25°＝115°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. “三等分一个任意角”是数学史上一个著名的问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形ABCD是长方形，F是DA的延长线上一点，连接CF，交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F. 请写出∠BCE和∠ACB之间的数量关系，并说明理由.
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：∠ACB＝3∠BCE　理由：∵ ∠GAF＝∠F，∴ ∠AGC＝∠F＋∠GAF＝2∠F. 又∵ ∠ACG＝∠AGC，∴ ∠ACG＝2∠F. ∵ 四边形ABCD是长方形，∴ AD∥BC. ∴ ∠BCE＝∠F. ∴ ∠ACB＝∠ACG＋∠BCE＝3∠F.
∴ ∠ACB＝3∠BCE.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. （新考法·过程性学习）如图①，易得∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD. 运用这个结论，可以解决许多问题.
（1） 如图①，∠1＝20°，∠2＝30°，∠BEC＝100°，则∠BDC＝ 　150°　；
150°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 如图①，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于点E，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系，并说明理由；
（3） 如图②，∠1＝ ∠ABD，∠2＝ ∠ACD，则∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系为 　2∠BDC＋∠BAC＝3∠BEC　.
解：（2） ∠BDC＋∠BAC＝2∠BEC　理由：由题意，得∠BDC＝∠BEC＋∠1＋∠2①，∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＋∠ACE②.∵ BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴ ∠ABE＝∠1，∠ACE＝∠2.①－②，得∠BDC－∠BEC＝∠BEC－∠BAC，即∠BDC＋∠BAC＝2∠BEC.
2∠BDC＋∠BAC＝3∠BEC　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
3　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）下列说法正确的是（　A　）
A. 命题一定有逆命题
B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题
D. 假命题的逆命题一定是假命题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （新考向·数学文化）《周礼》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘….”即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣（其中，1矩＝90°）.如图①所示为我国古代的一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图.若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C的度数为（　B　）
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝15，BC＝20.P是线段AB上的任意一点，连接PC，PC的长不可能是（　A　）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 16
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，则图中与∠C相等的角有 　3　个.
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，将△ABC放在方格纸中（方格纸中每个小正方形的边长均表示1），点A，B，C恰好在方格纸中的格点上，那么∠ABC的度数是 　45°　.
45°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，DF⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，∠AFD＝152°，求∠EDF的度数.
第6题
解：∵ ∠AFD＝152°，∴ ∠CFD＝180°－∠AFD＝28°.∵ ∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∴ 90°－∠B＝90°－∠C，即∠BDE＝∠CFD＝28°.∴ ∠EDF＝180°－∠BDE－∠CDF＝180°－28°－90°＝62°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （教材变式）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后沿北偏西30°方向航行10km至C港.
（1） 求A，C两港之间的距离（结果精确到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）；
解：（1） 由题意，得∠PBC＝30°，∠BAM＝60°，AB＝BC＝10km，∴ 易得∠ABC＝90°.∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝10 ≈14.1（km）.∴ A，C两港之间的距离约为14.1km
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） C港在A港的什么方向？
解：（2） ∵ BA＝BC，∠ABC＝90°，∴ ∠BAC＝45°.∴ ∠CAM＝∠BAM－∠BAC＝15°.∴ C港在A港的北偏东15°方向
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （新考向·数学文化）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝24，则EF的长是（　A　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 5
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点F，交AC于点E，AG平分∠DAC交BC于点G. 给出下列结论：① ∠BAD＝∠C；② ∠AEF＝∠AFE；③ ∠EBC＝∠C；④ AG⊥EF. 其中，正确的有（　C　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 如图，现有一个△ABC，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，将该三角形沿边BC翻折得到△A'BC，再将△A'BC沿边A'C翻折得到△A'B'C，则A，B'两点之间的距离为 　8 　.
8 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （分类讨论思想）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15cm，AC＝9cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为ts（t＞0）.
（1） 求BC边的长；
解：（1） 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝12（cm）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 当△ABP为直角三角形时，求t的值.
解：（2） ① 当点P运动到点C处时，∠APB＝90°，∴ t＝12÷1＝12.② 当∠BAP＝90°时，设CP＝xcm，则BP＝（12＋x）cm.在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2＝BP2－AB2＝[（12＋x）
2－152]cm2；在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2＝AC2＋PC2＝（92＋x2）cm2.∴ （12＋x）2－152＝92＋x2，解得x＝ .∴ BP＝12＋ ＝ （cm）.∴ t＝ ÷1＝ .综上所述，t的值为12或
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蚂蚁在木块的顶点A处，食物在这块长方体木块上的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，沿着长方体木块的表面向上爬.
（1） 如果D是棱CE的中点，蚂蚁沿“AD→DB”的路线爬行，那么它从点A爬到点B所爬的路程为多少？
解：（1） ∵ D是CE的中点，∴ CD＝DE＝ CE＝3cm.易知∠AED＝∠BCD＝90°，BC＝2cm，∴ AD＝ ＝5cm，BD＝ ＝ cm.∴ 蚂蚁从点A爬到点B所爬的路程为（5＋ ）cm
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 你认为（1）中的“AD→DB”是最短路线吗？如果不是，请计算出蚂蚁从点A爬到点B所爬的最短路线的长.
解：（2） 不是　分三种情况讨论：① 如图①，将下面与右面展开到一个平面内，则AB＝ ＝2 （cm）.② 如图②，将前面与右面展开到一个平面内，则AB＝ ＝6 （cm）.③ 如图③，将前面与上面展开到一个平面内，则AB＝ ＝4 （cm）.∵ 6 ＜5＋ ＜4 ＜2 ，∴ 蚂蚁从点A爬到点B所爬的最短路线的长为6 cm
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共20张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质与等边三角形的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD平分∠BAC. 若AD＝12，则BC的长为（　A　）
A. 10 B. 12 C. 5 D. 6
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （易错题）如图，直线a∥b，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若∠CBD＝20°，则∠1的度数为（　C　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD＝AE，且∠AED＝65°，则∠EAC的度数是（　C　）
A. 25° B. 20° C. 10° D. 5°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （新情境·现实生活）图①是一款便携式折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图.已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则凳腿与地面形成的夹角∠ODC的度数为 　50°　.
5. （易错题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为28°，这个三角形的底角的度数为 　59°或31°　.
50°　
59°或31°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形.有下列结论：① AD⊥BC；② EF＝FD；③ BE＝BD. 其中，正确的是 　①②③　（填序号）.
①②③　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE. 求证：
（1） △AEF≌△CEB；
解：（1） ∵ AD⊥BC，CE⊥AB，∴ ∠ADC＝∠AEF＝∠CEB＝90°.∴ ∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°.∴ ∠CFD＝∠B. ∵ ∠CFD＝∠AFE，∴ ∠AFE＝∠B. 在△AEF和△CEB中，∵ ∴ △AEF≌△CEB
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） AF＝2CD.
解：（2） ∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ CB＝2CD. 由（1），知△AEF≌△CEB，∴ AF＝CB. ∴ AF＝2CD
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （教材变式）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE.
（1） 若AB＝10，求BE的长；
解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，BD是中线，AB＝10，∴ AC＝BC＝AB＝10，AD＝CD＝ AC＝5.∵ CE＝CD，∴ CE＝5.∴ BE＝BC＋CE＝15
第8题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 求∠E的度数.
解：（2） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB＝60°.
∵ CE＝CD，∴ ∠CDE＝∠E. ∵ ∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴ 2∠E＝60°.∴ ∠E＝30°
第8题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE，若AD＝AE，则∠CDE的度数为（　D　）
A. 20° B. 25° C. 10° D. 15°
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. （新考法·操作实践题）如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H. 小花放入一张等边三角形纸片BDE，点E在BC边上，F为AH与DE的交点，小都又放一张等边三角形纸片EFG，点G在BC边上.小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片ABC的底边BC的长应为 　11　.
11　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，N是线段AB的中点，过点N作MN⊥AB，交BC的延长线于点M.
（1） 若∠A＝30°，求∠NMB的度数.
解：（1） ∵ AB＝AC，∠A＝30°，∴ ∠B＝∠ACB＝ （180°－∠A）＝75°.∵ MN⊥AB，∴ ∠MNB＝90°.∴ ∠NMB＝90°－∠B＝15°
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若∠A＝80°，求∠NMB的度数.
解：（2） ∵ AB＝AC，∠A＝80°，∴ ∠B＝∠ACB＝ （180°－∠A）＝50°.∵ MN⊥AB，∴ ∠MNB＝90°.∴ ∠NMB＝90°－∠B＝40°
第11题
（3） ∠A与∠NMB有什么关系？请说明理由.
解：（3） ∠NMB＝ ∠A　理由：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB＝ （180°－∠A）＝90°－ ∠A.
∵ MN⊥AB，∴ ∠MNB＝90°.∴ ∠NMB＝90°－∠B＝90°－ ＝ ∠A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （新考法·探究题）（1） 如图①，C为线段AB上一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，AN与BM相等吗？请说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（1） AN＝BM　理由：∵ △ACM和△BCN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴ ∠MCN＋∠ACM＝∠MCN＋∠BCN，即∠ACN＝∠MCB. 在△ACN和△MCB中，∵ ∴ △ACN≌△MCB. ∴ AN＝BM.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 如图②，C为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形BCN在AB的异侧，AN与BM相等吗？请说明理由.
解：（2） AN＝BM　理由：∵ △ACM和△BCN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴ 180°－∠ACM＝180°－∠BCN，即∠MCB＝∠ACN. 在△ACN和△MCB中，∵ ∴ △ACN≌△MCB. ∴ AN＝BM.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 如图③，C为线段AB外一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，AN与BM相等吗？请说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（3） AN＝BM　理由：∵ △ACM和△BCN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴ ∠MCN＋∠ACM＝∠MCN＋∠BCN，即∠ACN＝∠MCB. 在△ACN和△MCB中，∵ ∴ △ACN≌△MCB. ∴ AN＝BM.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共20张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第1课时　三角形的内角
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一张三角形纸片如图所示，∠B＋∠C＝α，若沿着虚线剪掉纸片的涂色部分，记∠1＋∠2＝β，则下列选项正确的是（　A　）
A. α＝β
B. α＞β
C. α＜β
D. 无法比较α和β的大小
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. （教材变式）已知△ABC是直角三角形，则△ABC三个内角的度数比可以是（　B　）
A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶3
C. 2∶3∶4 D. 1∶2∶2
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. （教材变式）如图，D为△ABC的边BC上的一点，连接AD，过点B作BE∥AD. 若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　B　）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 如图，一把直尺的边缘AB经过一把三角尺DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，∠D＝60°，若∠ABC＝15°，则∠1的度数为 　45°　.
45°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. 如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°，那么△ABD是 　直角　（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形.
直角　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P. 求证：EP⊥FP.
第6题
解：∵ AB∥CD，∴ ∠BEF＋∠EFD＝180°.又∵ EP，FP分别是∠BEF，∠EFD的平分线，∴ ∠PEF＝ ∠BEF，∠EFP＝ ∠EFD. ∴ ∠PEF＋∠EFP＝ （∠BEF＋∠EFD）＝90°.∴ ∠P＝180°－（∠PEF＋∠EFP）＝180°－90°＝90°.∴ EP⊥FP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 如图，在△ABC中，∠ACB－∠ABC＝5°，∠ABC＝2∠A，CE⊥AB，垂足为E，BD是∠ABC的平分线，交CE于点F. 求：
（1） ∠A，∠ABC，∠ACB的度数；
解：（1） ∵ ∠ABC＝2∠A，∠ACB－∠ABC＝5°，∴ ∠A＝ ∠ABC，∠ACB＝∠ABC＋5°.∵ ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴ ∠ABC＋∠ABC＋∠ABC＋5°＝180°.∴ ∠ABC＝70°.∴ ∠A＝ ∠ABC＝35°，∠ACB＝70°＋5°＝75°
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） ∠BFC的度数.
解：（2） ∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠EBF＝ ∠ABC＝35°.
∵ CE⊥AB，∴ ∠CEB＝90°.∴ ∠BFE＝180°－90°－35°＝55°.∴ ∠BFC＝180°－∠BFE＝125°
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. （教材变式）（2025·内江）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
（1） 求证：△ABC≌△DEF；
解：（1） ∵ AB∥DE，∴ ∠B＝∠E. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴ △ABC≌△DEF
第8题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） 若BF＝4，FC＝3，求BE的长.
解：（2） 由（1）可知△ABC≌△DEF，∴ BC＝EF. ∴ BC－CF＝EF－CF，即BF＝EC. ∵ BF＝4，
∴ EC＝4.∴ BE＝BF＋FC＋EC＝4＋3＋4＝11
第8题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. （转化思想）如图，∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D＋∠E等于（　C　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
10. 在一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为（　C　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 如图，在△ABC中，DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ 　55°　.
55°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. （教材变式）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线段BD，CE. 若BD＝6cm，CE＝8cm，则DE的长为 　14　cm.
14　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D.
（1） 求证：AB＝FE；
解：（1） ∵ CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，
∴ ∠ACB＝∠FCE. 在△ABC和△FEC中，
∵ ∴ △ABC≌△FEC. ∴ AB＝FE
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） 若ED⊥AC，AB∥CE，求∠B的度数.
解：（2） ∵ ED⊥AC，∴ ∠CDE＝90°.∴ ∠E＋∠BCE＋∠BCD＝90°.∵ AB∥CE，CB为∠ACE的平分线，∠B＝∠E，∴ ∠B＝∠BCE＝∠BCD＝∠E. ∴ ∠B＋∠B＋∠B＝90°.∴ ∠B＝30°
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. （新考法·阅读理解）阅读下面的材料并解答问题.
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么我们称这样的三角形为“梦想三角形”.例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1） 如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 　36°或18°　.
36°或18°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） 如图，∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合）.
第14题
① 若∠ACB＝80°，判定△AOC是否是“梦想三角形”，并说明理由；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解：① △AOC是“梦想三角形”　理由：∵ ∠ACB＝80°，∴ ∠ACO＝100°.∵ ∠MON＝60°，∴ ∠OAC＝180°－100°－60°＝20°.∴ ∠AOB＝3∠OAC. ∴ △AOC是“梦想三角形”.　
② 当△ABC为“梦想三角形”时，求∠OAC的度数.
② ∵ AB⊥OM，∴ ∠OAB＝90°.∵ ∠MON＝60°，∴ ∠ABC＝90°－60°＝30°.∵ △ABC是“梦想三角形”，∴ 分三种情况：当∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°；当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，∠OAC＝52.5°.综上所述，当△ABC为“梦想三角形”时，∠OAC的度数为30°或52.5°或80°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14(共8张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
小专题（二）　分类讨论思想在等腰三角形中的应用
类型一　利用分类讨论思想求角的度数
1. 已知等腰三角形的一个角比另一个角的2倍多20°，则这个等腰三角形的底角为（　C　）
A. 40° B. 76°
C. 40°或76° D. 40°或100°
2. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　50°或130°　.
C
50°或130°　
1
2
3
4
5
6
7
　
3. 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝40°，D是直线AB上的点，且满足∠ACD＋∠BAC＝55°.画出点D的位置并求出∠BCD的度数.
解：点D的位置如图①②所示　∵ AB＝AC，∠BAC＝40°，∴ ∠ACB＝∠ABC＝ （180°－∠BAC）＝70°.∵ ∠ACD＋∠BAC＝55°，∴ ∠ACD＝55°－40°＝15°.分三种情况：① 当点D在线段AB上时，如图①.
∴ ∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝55°.② 当点D在线段AB的反向延长线上时，如图②.∴ ∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝85°.③ 当点D在线段AB的延长线上时，∠ACD＞∠ACB＝70°，这与∠ACD＝15°矛盾，∴ 这种情况不存在.综上所述，∠BCD的度数为55°或85°
1
2
3
4
5
6
7
类型二　利用分类讨论思想确定等腰三角形的顶点
4. 如图，方格纸的交点称为格点.已知A，B是两格点，连接AB. 若P也是格点，连接AP，BP，△ABP为等腰三角形，则满足条件的格点P的个数是（　D　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第4题
D
1
2
3
4
5
6
7
类型三　利用分类讨论思想求线段的长度
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D作DE∥AC，交BC于点E，连接AE，在AC上取合适的点F，连接EF，可得到四个符合条件的三角形，则满足条件的AF的长是 　5或10或 　.
5或10或 　
1
2
3
4
5
6
7
类型四　利用分类讨论思想解决动点问题
6. 如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动.点P，Q同时出发，设移动的时间为ts.当t＝ 　 或12　时，△POQ是等腰三角形.
或12　
1
2
3
4
5
6
7
7. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，3），D是OA的中点，点P在边BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.
第7题
1
2
3
4
5
6
7
解：∵ 点A，C的坐标分别为（10，0），（0，3），∴ OA＝10，OC＝3.
∵ D是OA的中点，∴ OD＝ OA＝5.① 当OP＝OD＝5时，在Rt△CPO中，由勾股定理，得CP＝ ＝ ＝4.∴ 点P的坐标为（4，3）.② 当OD＝PD＝5时，过点P作PM⊥OA于点M，∴ ∠PMD＝90°.易得PM＝OC＝3，∴ 在Rt△PDM中，由勾股定理，得MD＝ ＝4.∴ OM＝OD－MD＝5－4＝1或OM＝OD＋MD＝5＋4＝9.∴ 点P的坐标为（1，3）或（9，3）.综上所述，点P的坐标为（4，3）或（1，3）或（9，3）
1
2
3
4
5
6
7(共8张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
小专题（一）　“三线合一”巧解题
类型一　求角的度数
1. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上的一点.若AE＝AC，则∠E的度数为（　D　）
A. 45° B. 60° C. 65° D. 75°
　　
2. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和高线.若AB＝AC，∠ACE＝34°，则∠BAD的度数为 　28°　.
D
28°　
1
2
3
4
5
6
7
类型二　求线段的长度
3. （2024·自贡）如图，等边三角形ABC钢架的立柱（立柱为木头）CD⊥AB于点D，AB长12m.现将立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（　B　）
A. （24－12 ）m B. （24－8 ）m
C. （24－6 ）m D. （24－4 ）m
　　　　
B
1
2
3
4
5
6
7
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长度为 　 　.
　
1
2
3
4
5
6
7
第5题
解：∵ D是BC的中点，CD＝6，∴ BC＝2CD＝12.∵ △ABC的周长是32，AB＝AC，∴ AB＝AC＝ （32－BC）＝10.∵ AB＝AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC. ∴ 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝ ＝8
5. 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD. 若△ABC的周长是32，CD＝6，求AD的长.
1
2
3
4
5
6
7
类型三　判断三角形的形状
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，连接BE，交AD于点F，则图中等腰三角形的个数是（　C　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第6题
C
1
2
3
4
5
6
7
7. 如图①，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，连接DE.
（1） 若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵ DE∥BC，∴ ∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.
∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴ △ADE是等边三角形
1
2
3
4
5
6
7
（2） 如图②，若D，E分别为AB，AC的中点，连接CD，BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有的等腰三角形（△ADE和△ABC除外）.
解：（2） △BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形
1
2
3
4
5
6
7(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
4　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（　B　）
A. A点 B. B点 C. C点 D. D点
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 如图，点A，B在直线m上，点P，H在直线n上，m⊥n于点O，连接AP，BP，AH，BH，AP＝BP，若AH＝11，则BH的长为（　A　）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 如图，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC的度数为（　B　）
A. 50° B. 100° C. 120° D. 130°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB的垂直平分线DE交BC于点D，AD＝5，则AC的长为 　4　.
4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且∠A＝50°，连接BE，则∠EBC的度数是 　15°　.
15°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于 AB的长为半径，作两条相交的弧，交点记为C，D，作射线DC，点E在射线DC上.连接AC，BC，AE. 若∠ACB＝100°，∠AED＝30°，则∠EAC＝ 　20°　.
20°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. （教材变式）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，且AD＝AC，DE∥BC，CD平分∠EDF，求证：AF垂直平分CD.
第7题
解：∵ DE∥BC，∴ ∠CDE＝∠DCF. ∵ CD平分∠EDF，∴ ∠CDF＝∠CDE.
∴ ∠CDF＝∠DCF.
∴ DF＝CF. ∴ 点F在线段CD的垂直平分线上.∵ AD＝AC，∴ 点A在线段CD的垂直平分线上.∴ AF垂直平分CD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 某区拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉M，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A，B间距离的一半，A，B，C的位置如图所示.请在图中作出音乐喷泉M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：音乐喷泉M的位置如图所示
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是P1，P2，则点P1，P2之间的距离可能是（　B　）
A. 0 B. 5 C. 6 D. 7
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，作直线MN交AB于点E. 若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　D　）
A. 22 B. 20
C. 18 D. 16
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连接DC，过点C作CE⊥AB于点E. 如果AD＝3，BD＝8，那么△ADC的周长为 　19　.
19　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 如图，线段AB，CD的垂直平分线交于点O，连接OA，OD，AC，BD，若∠BAO＝∠CDO＝76°，∠ACD＝118°，则∠ODB的度数是 　42°　.
42°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.
（1） 求证：AB＝AD；
解：（1） 连接AC. ∵ E是BC的中点，AE⊥BC，∴ AE垂直平分BC. ∴ AB＝AC. 同理，可得AD＝AC. ∴ AB＝AD
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2） 探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间的数量关系，并证明你的结论.
解：（2） ∠EAF＝∠BAE＋∠DAF　由（1），知AB＝AC，∴ △ABC为等腰三角形.∵ AE⊥BC，∴ ∠BAE＝∠CAE. 同理，可得∠DAF＝∠CAF. ∴ ∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠BAE＋∠DAF
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M. 求证：EM＝EC.
第14题
解：连接AD. ∵ DN是AB的垂直平分线，∴ AD＝BD. ∴ ∠DAB＝∠B＝22.5°.∴ ∠ADE＝∠B＋∠DAB＝45°.∵ AE⊥BC，∴ ∠AED＝90°.
∴ ∠DAE＝90°－∠ADE＝45°.∴ ∠DAE＝∠ADE. ∴
AE＝DE.
∵ AE⊥BC，DF⊥AC，∴ ∠AEC＝∠AFM＝90°.又∵ ∠DEM＝90°，
∴ ∠MDE＋∠DME＝∠FAM＋∠AMF＝90°.∵ ∠DME＝∠AMF，
∴ ∠MDE＝∠FAM. 在△DEM和△AEC中，∵
∴ △DEM≌△AEC. ∴ EM＝EC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14(共7张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
小专题（三）　三角形的证明中常见辅助线的作法
类型一　作等腰三角形中的“三线合一”
1. 如图，在△ABC中，D，E为边BC上两点，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
第1题
解：过点A作AF⊥BC，垂足为F. ∵ AB＝AC，AF⊥BC，∴ BF＝CF.
∵ AD＝AE，AF⊥BC，∴ DF＝EF. ∴ BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE
1
2
3
4
类型二　作垂线构造直角三角形
2. 三角尺是我们学习数学的好帮手.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10.求：
（1） BC的长；
解：（1） 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴ ∠ABC＝30°.∴ AB＝2AC＝20.∴ BC＝ ＝ ＝10
第2题
1
2
3
4
（2） CD的长.
解：（2） 过点B作BM⊥FD于点M. ∵ AB∥CF，
∴ ∠BCM＝∠ABC＝30°.∴ BM＝ BC＝5 .∴ CM＝ ＝15.由题意易得∠EDF＝45°，
∴ ∠MBD＝45°.∴ ∠MBD＝∠EDF. ∴ MD＝BM＝5 .∴ CD＝CM－MD＝15－5
第2题
1
2
3
4
类型三　根据线段垂直平分线的性质作辅助线
3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC.
（1） 判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
解：（1） AD⊥BC　理由：连接AE. ∵ EF是AB的垂直平分线，∴ AE＝BE. ∵ BE＝AC，∴ AE＝AC. ∵ D为线段CE的中点，∴ AD⊥BC.
第3题
1
2
3
4
（2） 若AB＝BC，求∠C的度数.
解：（2） ∵ AE＝BE，∴ ∠EAB＝∠B. ∴ ∠AEC＝∠B＋∠EAB＝2∠B. ∵ AE＝AC，∴ ∠AEC＝∠C.
∴ ∠C＝2∠B. ∵ AB＝BC，∴ ∠BAC＝∠C＝2∠B.
∴ ∠B＋2∠B＋2∠B＝180°，解得∠B＝36°.∴ ∠C＝72°
第3题
1
2
3
4
类型四　根据角平分线的性质作辅助线
4. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB，交AB于点F，EG⊥AC，交AC的延长线于点G. 判断BF与CG的数量关系，并证明你的结论.
第4题
解：BF＝CG　连接EB，EC. ∵ AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，∴ EF＝EG. ∵ ED⊥BC于点D，D为BC的中点，
∴ EB＝EC. 在Rt△EFB和Rt△EGC中，∵
∴ Rt△EFB≌Rt△EGC. ∴ BF＝CG
1
2
3
4(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定与反证法
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，下列说法一定正确的是（　B　）
A. 图①是等腰三角形
B. 图②是等腰三角形
C. 图①②均是等腰三角形
D. 图①②均不是等腰三角形
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC. 若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　B　）
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，则图中等腰三角形的个数为（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 用反证法证明：一条线段只有一个中点.先假设线段AB有两个中点M，N，不妨设点M在点N的左边，则AM＜AN. 这与 　AM＝AN＝ AB　矛盾，所以一条线段只有一个中点.
5. （新考法·操作实践题）如图，把一张对边平行的纸条折叠，重合部分是 　等腰　三角形（按边分）.
AM＝AN＝ AB　
等
腰　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （教材变式）如图，小明从A地出发，要到位于A地北偏东60°方向的C地，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达C地.B，C两地相距 　200　m.
200　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，直线a⊥m，直线b⊥m.用反证法证明：a∥b.
第7题答案
解：如图，假设直线a与直线b不平行，则两条直线交于一点，设该点为P.
∵ 直线a经过点P且与直线m垂直，直线b经过点P且与直线m垂直，∴ 经过点P有两条直线与直线m垂直，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.∴ 假设不成立.∴ a∥b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （教材变式）如图，D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC.
（1） 判断△ABC的形状，并说明理由；
解：（1） △ABC是等腰三角形　理由：∵ AF平分∠DAC，∴ ∠DAF＝∠CAF. ∵ AF∥BC，
∴ ∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB. ∴ ∠B＝∠ACB. ∴ △ABC是等腰三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数.
解：（2） 由（1），得∠ACB＝∠B＝40°，
∴ ∠ACE＝180°－∠ACB＝140°.∵ CG平分∠ACE，∴ ∠GCE＝ ∠ACE＝70°.∵ AF∥BC，∴ ∠AGC＝∠GCE＝70°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A. 若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　D　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 如图所示的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 　②⑤　（填序号）.
②⑤　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE为△ABC的高，且BD，CE交于点O，连接DE.
（1） △ODE是等腰三角形吗？请说明理由.
解：（1） △ODE是等腰三角形　理由：∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB. ∵ BD，CE为△ABC的高，∴ ∠CDB＝∠BEC＝90°.∴ 易得∠DBC＝∠ECB. ∴ BO＝CO. ∵ S△ABC＝ AB·CE＝ AC·BD，AB＝AC，∴ CE＝BD. ∴ BD－BO＝CE－CO，即OD＝OE. ∴ △ODE是等腰三角形.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 图中共有几个等腰三角形？分别是哪些三角形？
解：（2） 图中共有4个等腰三角形，分别是△ABC，△BOC，△AED，△ODE
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 若∠A＝45°，还有哪些三角形也是等腰三角形？请直接写出.此时OE与CD相等吗？请说明理由.
解：（3） 若∠A＝45°，则△ABD，△ACE，△BOE，△COD也是等腰三角形　OE＝CD　理由：∵ BD，CE为△ABC的高，∴ ∠BDC＝∠AEC＝90°.∵ ∠A＝45°，
∴ ∠ACE＝45°.∴ ∠DOC＝∠DCO＝45°.∴ OD＝CD. 又由（2）可知，OD＝OE，∴ OE＝CD.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （新考法·探究题）如图，在△ABC中，AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
（1） 当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 　25°　，∠DEC＝ 　115°　.当点D从点B向点C运动时，∠BAD逐渐变 　大　（填“大”或“小”），∠BAD 　＝　∠CDE（填“＞”“＜”或“＝”）.
第12题
25°　
115°　
大　
＝　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 当DC的长为多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由.
解：（2） 当DC＝2时，△ABD≌△DCE　理由：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC＝2.∵ ∠C＝40°，∴ ∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵ ∠ADE＝40°，∴ ∠ADB＋∠EDC＝140°.∴ ∠ADB＝∠DEC. 又∵ ∠B＝∠C，AB＝DC＝2，∴ △ABD≌△DCE.
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由.
解：（3） 可以　∠BDA的度数为110°或80°
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
5　角平分线
第1课时　角平分线的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. ∠AOB在方格中的位置如图所示，P，Q，M，N均为格点，则下列各点中，到∠AOB的两边距离相等的是（　B　）
A. P B. Q C. M D. N
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，依据尺规作图的痕迹，有下列结论：① ∠BAD＝∠CAD；② DC＝DE；③ ∠B＝30°.其中，一定成立的有（　D　）
A. 0 个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，E是BD上一点，EF⊥AB于点F. 若ED＝EF，则∠AEC的度数为（　D　）
A. 60° B. 62° C. 64° D. 66°
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，连接PD. 若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 　2　.
2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （易错题）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF. 若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为 　 　.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （教材变式）如图，两条公路EA和FB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路EA，FB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图，点P1，P2即为货站P的位置
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （教材变式）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N. 求证：PM＝PN.
第7题
解：∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中，∵ ∴ △ABD≌△CBD. ∴ ∠ADB＝∠CDB. ∴ BD平分∠ADC. ∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴ PM＝PN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D. 若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（　C　）
A. 6 B. 10 C. 12 D. 20
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB. 若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则OM＋ON＝ 　10　.
10　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
第10题答案
10. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C. 求证：点C在∠AOB的平分线上.
解：如图，过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F. 在△MOE和△NOD中，∵ ∴ △MOE≌△NOD. ∴ S△MOE＝S△NOD. ∴ S△MOE－S四边形ODCE＝S△NOD－S四边形ODCE. ∴ S△MDC＝S△NEC. ∵ OM＝ON，OD＝OE，∴ MD＝NE. 由三角形面积公式得 DM×CG＝ EN×CF，∴ CG＝CF. 又∵ CG⊥OA，CF⊥OB，∴ 点C在∠AOB的平分线上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°.　
（1） 若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，则P是线段CD的中点吗？请说明理由（点D，P，C在同一条直线上）.
解：（1） P是线段CD的中点　理由：过点P作PE⊥AB于点E. ∵ ∠D＝90°，AD∥BC，∴ PD⊥AD，∠C＝180°－∠D＝90°，即PC⊥BC. ∵ ∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，PD⊥AD，PE⊥AB，PC⊥BC，∴ PD＝PE，PC＝PE. ∴ PC＝PD，即P是线段CD的中点.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（2） 过点P作PF⊥AB于点F. ∵ BP平分∠CBA，
∴ ∠PBF＝∠PBC. ∵ AD∥BC，∠D＝90°，∴ ∠C＝180°－∠D＝90°.∵ PF⊥AB，∴ ∠PFA＝∠PFB＝∠C＝90°.在△PBF和△PBC中，∵
第11题
（2） 若P是线段CD的中点，BP平分∠CBA，∠CPB＝30°，求∠PAD的度数.
∴ △PBF≌△PBC. ∴ ∠FPB＝∠CPB＝30°，PF＝PC. ∵ P是线段CD的中点，∴ PC＝PD. ∴ PD＝PF. 在Rt△PAD和Rt△PAF中，∵ ∴ Rt△PAD≌Rt△PAF.
∴ ∠APD＝∠APF＝ ∠DPF. ∵ ∠DPF＝180°－∠FPB－∠CPB＝120°，∴ ∠APD＝ ×120°＝60°.∴ ∠PAD＝90°－∠APD＝30°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（1） 如图①，求证： ＝ ；
解：（1） 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. ∵ AD是∠BAC的平分线，∴ DE＝DF. ∴ ＝ ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 如图③，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，求BD的长.
解：（3） ∵ △ABD与△ACD同高，∴ ＝ .又由（1），得 ＝ ＝ ，∴ ＝ .又∵ BC＝BD＋DC＝6，∴ BD＝6× ＝
（2） 如图②，若BD＝CD，求证：AB＝AC；
解：（2） ∵ BD＝CD，∴ △ABD与△ACD等底同高，易得S△ABD＝S△ACD. 由（1），得AB＝AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
5　角平分线
第2课时　角平分线的性质的应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下列结论正确的是（　B　）
A. ∠1＞∠2 B. ∠1＝∠2
C. ∠1＜∠2 D. ∠1＝2∠2
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 如图所示为一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　B　）
A. △ABC三条中线的交点处
B. △ABC三条角平分线的交点处
C. △ABC三条高所在直线的交点处
D. △ABC三边的中垂线的交点处
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB，BC，CA的距离相等，即OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为 　125°　.
125°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为 　2　cm.
2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 如图，△ABC的面积是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的周长为 　14　.
14　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. （教材变式）如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
（1） 连接AF并延长，求证：AF是∠DAE的平分线；
解：（1） 过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥BC于点N，FG⊥AE于点G. ∵ BF平分∠CBD，FM⊥AD，FN⊥BC，
∴ FM＝FN. 同理，可得FG＝FN. ∴ FM＝FG. 又∵ FM⊥AD，FG⊥AE，∴ 点F在∠DAE的平分线上，即AF是∠DAE的平分线
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 若∠DAE＝50°，求∠BFC的度数.
解：（2） ∵ BF，CF为△ABC两外角∠CBD，∠BCE的平分线，∠DAE＝50°，∴ ∠BCF＝ （∠DAE＋∠ABC），∠CBF＝ （∠DAE＋∠ACB）.∴ ∠BFC＝180°－∠BCF－∠CBF＝180°－ [∠DAE＋（∠DAE＋∠ABC＋∠ACB）]＝180°－ ×（50°＋180°）＝65°
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 如图，N是△ABC内的一点，且点N到△ABC三边的距离相等，过点N作EF⊥BN，分别交AB，BC于点E，F. 若∠BAN＝20°，∠ENA＝30°，求∠FNC的度数.
第7题
解：过点N作NR⊥AB于点R，NS⊥BC于点S，NT⊥AC于点T. ∵ 点N到△ABC三边的距离相等，∴ NR＝NS＝NT. ∴ AN平分∠BAC，CN平分∠ACB，BN平分∠ABC. ∵ ∠BAN＝20°，∠ENA＝30°，∴ ∠BEF＝∠BAN＋∠ENA＝20°＋30°＝50°.∵ BN平分∠ABC，BN⊥EF，
∴ ∠EBN＝∠FBN，∠ENB＝∠FNB＝90°.∵ ∠EBN＋∠ENB＋∠BEN＝∠FBN＋∠FNB＋∠BFN＝180°，∴ ∠BEF＝∠BFE＝50°.∴ ∠EBF＝180°－2×50°＝80°.∵ AN平分∠BAC，CN平分∠ACB，∴ ∠BAC＝2∠BAN＝40°，∠BCN＝ ∠ACB. ∴ ∠ACB＝180°－40°－80°＝60°.∴ ∠BCN＝ ∠ACB＝30°.∴ ∠FNC＝∠BFE－∠BCN＝50°－30°＝20°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，AO＝2，下列结论中，不一定正确的是（　C　）
A. ∠BOC＝120°
B. ∠BAO＝30°
C. OB＝3
D. 点O到直线BC的距离是1
第8题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D. 有下列结论：① ∠BOC＝90°＋ ∠A；② EF＝BE＋CF；③ 设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝ mn.其中，正确的是 　①②③　（填序号）.
①②③　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC的延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
第10题答案
（1） 求∠ACE的度数；
解：（1） ∵ ∠ACB＝100°，∴ ∠ACD＝180°－∠ACB＝80°.
∵ EH⊥BD，∠CEH＝50°，∴ ∠DCE＝90°－∠CEH＝40°.∴ ∠ACE＝∠ACD－∠DCE＝40°
（2） 求证：AE平分∠CAF；
解：（2） 如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N. ∵ BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，∴ EM＝EH. 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD，又∵ EN⊥AC，EH⊥BD，∴ EN＝EH. ∴ EM＝EN. 又∵ 点E在∠CAF的内部，∴ AE平分∠CAF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（3） 若AC＋CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，求△ABE的面积.
第10题答案
解：（3） 由（2）得，EM＝EH＝EN，设EM＝EH＝EN＝x.∵ S△ACD＝24，∴ S△ACE＋S△DCE＝24.∴ AC·EN＋ CD·EH＝24，即 x（AC＋CD）＝24.∵ AC＋CD＝16，∴ x＝3.∴ EM＝3.∵ AB＝10，∴ △ABE的面积为 AB·EM＝ ×10×3＝15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. 如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（1） 在图①中，分别画出点P到边AC，BC，BA的垂线段PF，PG，PH，这三条线段的长度相等吗？请说明理由.
解：（1） 如图①，PF，PG，PH即为所求　相等　理由：∵ △ABC的角平分线AD，BE相交于点P，PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥BA，∴ PF＝PH，PG＝PH. ∴ PF＝PG＝PH.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 如图②，∠ABC＝90°，∠C＝60°，请判断PE与PD之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） PE＝PD　理由：如图②，过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F，G，则∠PFE＝∠PGD＝90°.∵ ∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴ ∠CAB＝180°－∠C－∠ABC＝
30°.∵ AD是∠CAB的平分线，∴ ∠PDG＝∠C＋∠CAD＝60°＋ ∠CAB＝75°.∵ BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠PEF＝∠CAB＋∠ABE＝30°＋ ∠ABC＝75°.∴ ∠PEF＝∠PDG. 由（1），得PF＝PG. 在△PFE和△PGD中，∵
∴ △PFE≌△PGD. ∴ PE＝PD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11(共8张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
小专题（四）　构造等腰三角形的技巧
类型一　利用“平行线”构造等腰三角形
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边上的一个动点，P为BC边上的一个动点，连接DP，延长DP交AC延长线于点E，当DP＝EP时，求证：BD＝CE.
第1题
1
2
3
4
解：过点D作DF∥AE交BC于点F，
∴ ∠DFB＝∠ACB，∠FDP＝∠E.
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB. ∴ ∠B＝
∠DFB. ∴ DB＝DF. 在△DPF和△EPC
中，∵ ∴ △DPF≌△EPC. ∴ DF＝CE. ∴ BD＝CE
类型二　利用“截长补短”构造等腰三角形
2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：BC＝AB＋CD（用两种方法证明）.
第2题
解：方法一：如图①，在BC上取点E，使BE＝BA，连接DE. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠EBD. 在△ABD和△EBD中，∵
∴ △ABD≌△EBD. ∴ ∠BED＝∠BAC＝108°.∴ ∠DEC＝72°.∵ AB＝AC，∴ ∠C＝∠ABC＝ ×（180°－108°）＝
1
2
3
4
36°.∴ ∠CDE＝180°－36°－72°＝72°.∴ ∠CDE＝∠CED＝72°.∴ CD＝CE. ∴ BC＝BE＋EC＝AB＋CD　方法二：如图②，延长BA至点F，使BF＝BC，连接DF. ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠C＝ ×（180°－∠BAC）＝36°.∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. 在△FBD和△CBD中，∵ ∴ △FBD≌△CBD. ∴ DF＝DC，∠F＝∠C＝36°.∵ ∠BAC＝108°，
∴ ∠FAD＝72°.∴ ∠FDA＝180°－36°－72°＝72°.∴ ∠FDA＝∠FAD.
∴ FA＝FD. ∴ CD＝DF＝AF. ∴ BC＝BF＝AB＋AF＝AB＋CD
1
2
3
4
类型三　利用“倍角关系”构造等腰三角形
3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，若BD＝2，CD＝8，求AB的长.
1
2
3
4
第3题答案
解：如图，在DC上取一点E，使ED＝
BD＝2，连接AE. ∵ CD＝8，∴ EC＝
CD－ED＝6.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADE＝
∠ADB＝90°.在△ADE和△ADB中，
∵ ∴ △ADE≌△ADB. ∴ AB＝AE，∠1＝∠ABC. ∵ ∠1＝∠C＋∠2，∠ABC＝2∠C，∴ ∠C＋∠2＝2∠C. ∴ ∠2＝∠C. ∴ AE＝EC＝6.∴ AB＝6
1
2
3
4
类型四　利用“三线合一”构造等腰三角形
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP＝2，AC＝9，求证：∠ABP＝2∠C.
第4题
1
2
3
4
解：延长BP，交AC于点E. ∵ AD平
分∠BAC，BP⊥AD，∴ ∠BAP＝∠EAP，
∠APB＝∠APE＝90°.在△ABP和
△AEP中，∵
∴ △ABP≌△AEP. ∴ BP＝PE＝2，AB＝AE＝5，∠ABE＝∠AEB. ∴ BE＝BP＋PE＝4，CE＝AC－AE＝9－5＝4.∴ CE＝BE. ∴ △BCE是等腰三角形.∴ ∠EBC＝∠C. 又∵ ∠ABP＝∠AEB＝∠C＋∠EBC，∴ ∠ABP＝2∠C
1
2
3
4(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的
性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2024·安徽）根据下列条件，不能得到等边三角形的是（　C　）
A. 有两个角是60°的三角形
B. 有一个角是60°的等腰三角形
C. 有两个角相等的等腰三角形
D. 腰长和底边长相等的等腰三角形
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. （新情境·现实生活）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA＝OB＝16cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（　D　）
A. 6cm B. 8cm
C. 12cm D. 16cm
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. （易错题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　B　）
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 如图，OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝ 　5　时，△AOP为等边三角形.
5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. （2025·安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的长为 　6　.
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. （教材变式）如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线，交边AC于点D，EC⊥BC于点C，CE＝BD. 求证：△ADE是等边三角形.
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：∵ △ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线，∴ BD⊥AC，AB＝AC，∠ABD＝30°，∠CAB＝∠ACB＝60°.∵ EC⊥BC，∴ ∠BCE＝90°.∴ ∠ACE＝30°＝∠ABD. 在△ABD和△ACE中，∵ ∴ △ABD≌△ACE. ∴ AD＝AE，∠EAC＝∠DAB＝60°.∴ △ADE是等边三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上（点M在点N的左边），连接PM，PN.
（1） 若∠PNO＝60°，求证：△PON是等边三角形；
解：（1） ∵ ∠AOB＝60°，∠PNO＝60°，∴ ∠OPN＝60°.∴ ∠PON＝∠PNO＝∠OPN. ∴ △PON是等边三角形
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长.
解：（2） 过点P作PH⊥MN于点H，∴ ∠PHO＝90°.
∵ PM＝PN，∴ MH＝ MN＝ ×2＝1.在Rt△POH中，
∵ ∠AOB＝60°，∴ ∠OPH＝30°.∴ OH＝ OP＝ ×12＝6.
∴ OM＝OH－MH＝5
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 如图，AB＝AC，∠A＝60°，AE＝EC＝CD，连接DE并延长，交AB于点F. 若EF＝2，则DF的长为（　D　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 如图，在△ABC中，D是边AC的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC'与AB交于点E，连接AC'.若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点B到AC的距离为 　 　.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN.
（1） 求证：△ABC是等腰三角形；
解：（1） 在四边形ABCD中，AB∥CD，∴ ∠BAC＝∠ACD. ∵ CA平分∠BCD，∴ ∠BCA＝∠ACD. ∴ ∠BCA＝∠BAC. ∴ AB＝BC. ∴ △ABC是等腰三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 若∠CAB＝30°，求证：△AMN是等边三角形.
解：（2） ∵ ∠CAB＝30°，∴ ∠BCA＝∠ACD＝∠CAB＝30°.∵ AM⊥CD于点M，∴ ∠MAC＝60°，AM＝ AC. ∵ AB＝BC，BN⊥AC于点N，∴ AN＝ AC. ∴ AM＝AN. ∵ ∠MAC＝60°，
∴ △AMN是等边三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
（1） 如图①，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，连接AE，EF，AF. 求证：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
① △ABE≌△ACF；
② △AEF是等边三角形.
解：（1） ① ∵ AB＝BC，∠B＝60°，∴ △ABC是等边三角形.∴ AB＝AC. 同理，可得△ADC也是等边三角形，∴ ∠B＝∠ACF＝60°.又∵ BE＝CF，∴ △ABE≌△ACF　② ∵ △ABE≌△ACF，∴ AE＝AF，∠BAE＝∠CAF. ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠BAC＝60°.∴ ∠BAE＋∠CAE＝60°.
∴ ∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴ △AEF是等边三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？若存在，请写出点F满足的条件，并证明你的结论（图②备用）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：（2） 存在，点F在CD的延长线上，且DF＝CE　如图②，在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使DF＝CE，连接AE，EF，AF.
∵ BC＝CD，∴ BC＋CE＝CD＋DF，即BE＝CF. 与（1）① 同理，可证△ABC是等边三角形，△ABE≌△ACF，∴ AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠BAC＝60°.∵ ∠BAE＝∠CAF，∴ ∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE，即∠BAC＝∠EAF＝60°.∴ △AEF是等边三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11(共10张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第3课时　多边形的内角和
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. （教材变式）一个多边形的内角和不可能是（　D　）
A. 1800° B. 540°
C. 720° D. 810°
2. （教材变式）一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为（　B　）
A. 720° B. 900°
C. 1 800° D. 1 440°
D
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. 如图①所示为铁马，常见于我国传统建筑屋檐下，某铁马的平面示意图如图②所示，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接CF，则∠AFC的度数为 　60°　.
60°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4. （2025·自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β的度数为 　150°　.
150°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. （1） 我们把如图①所示的图形称为“8字形”，求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D；
解：（1） ∵ ∠A＋∠B＋∠AOB＝∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2） 利用（1）中的结论，试求图②中∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数.
解：（2） 连接BE. 由（1）中的结论，易得∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB. ∴ ∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F＋∠G＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. （新情境·现实生活）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角.这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球体.如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的度数为（　B　）
A. 10° B. 12° C. 14° D. 16°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7. （2025·湖南）如图①所示为传统建筑中的一种窗格，图②为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ 　45°　.
45°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 　6或7　.
9. 在数学活动课上，强强在进行多边形内角和的计算时，求得的内角和为1125°.他发现错误后，重新检查，发现是多加了一个内角.请你帮强强算一下，多加的这个内角为多少度？他求的是几边形的内角和？
解：设这个多边形为n边形.当（n－2）·180°＝1 125°时，n＝8.25.∵ 多加了一个内角，∴ n＝8.当n＝8时，内角和为（8－2）×180°＝1 080°，多加的内角的度数为1 125°－1 080°＝45°.∴ 多加的这个内角为45°，他求的是八边形的内角和
6或7　
1
2
3
4
5
6
7
8
9

展开更多......

收起↑