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4.1.2.1 乘法公式
第四章
1.能利用条件概率公式得到乘法公式.
2.能利用乘法公式解决概率问题.
条件概率的计算公式：
P(B|A)===，P(A)>0.
思考：(1)对于两个事件A，B，如果已知P(A)与P(BA)，如何计算P(B|A)呢？
(2)对于两个事件A，B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(BA)呢？
(1)P(B|A)=.
(2)P(AB)= P(A)P(B|A).
公式P(BA)=P(A)P(B|A)，其中P(A)>0，称为概率的乘法公式.
乘法公式
例1 已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3.试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.
解：设Ai表示第i次掉落手机屏幕没有碎掉，i=1，2，
则由已知可得P(A1)=0.5，P(A2|A1)=0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)=0.5×0.3=0.15.
即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
例2 一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回)， 求两次取到的均为黑球的概率.
解：设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i=1，2)，
则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”.
由题设知P(A1)=，P(A2|A1)=，
于是根据乘法公式，有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=.
变式1： 一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回)， 求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率.
解：用A表示第一次取得黑球，则P(A)=，
用B表示第二次取得白球，则P(B|A)=.
故P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
变式2： 一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回)， 求两次均取得白球的概率.
解：用Bi表示第i次取得白球，i=1，2，则B1B2表示两次取到的均是白球.
由题意得P(B1)=，P(B2|B1)=.
∴P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=×=.
归纳总结
当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
例3 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为. 试求透镜落下三次而未打破的概率.
解：以Ai(i=1，2，3)表示事件“透镜第i次落下打破”，
B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B=，
故有P(B)=P()=P()P(|)P(|)==.
设Ai表示事件，i=1，2，3，且P(A1)>0，P(A1A2)>0，
则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).
其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，
P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率.
乘法公式的推广
1.乘法公式.
2.乘法公式的推广.
针对以下内容谈谈你的收获
1.(多选)设P(A|B)=P(B|A)=，P(A)=，则( )
A.P(AB)= B.P(AB)=
C.P(B)= D.P(B)=
2.以A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P(A)=0.35，P(B)=0.30，P(A|B)=0.15，则两个区同时发生停水事件的概率为( )
A.0.6 B.0.65 C.0.45 D.0.045
AC
D
3.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为( )
A. B. C. D.
4.10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为　　　　.
C

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