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4.1.2.2 全概率公式和贝叶斯公式
第四章
1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式.
2.会利用全概率公式解决简单的实际问题.
3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.
1.条件概率的计算公式：
P(B|A)=
2.概率的乘法公式：
P(AB)= P(A)P(B|A)
从有a个红球和 个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签具有公平性，所以理论上第2次摸到红球的概率也应该是 .
但因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响，显然第2次摸到红球的概率可能不会是.
事件 R2 可按第 1 次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即
P(R2|R1)
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
利用概率的加法公式和乘法公式，得
用 Ri 表示事件“第 i 次摸到红球”，Bi 表示事件“第 i 次摸到蓝球”，i=1,2.
R2 = R1 R2 U B1 R2.
说明抽签是具有公平性的
按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
R2
上述过程采用的方法是:
全概率公式
一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B=BΩ=B(A+)=BA+B，如图所示，从而
P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)(P(A)>0，P()>0)，
即：P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)称为全概率公式.
设 是试验的样本空间, , ,…, 为样本空间的一组基事件，若
（1） ，其中
（2） ∪… ∪ = ,
则称 , ,…, 为样本空间的一个划分.
·····
设 , ,…, 为样本空间 的一个划分，若)＞0 ，则对任意一个事件有：
全概率公式
（1） ，其中
（2） ∪… ∪ = .
·····
·····
例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率．
第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”， B1=“第1天去B餐厅用餐”，
A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=，
根据题意得 P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8，
由全概率公式，得
P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7，
因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.
设事件
写概率
代公式
例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率．
例2 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
解：B=“任取一个零件为次品”， Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，
则，且互斥，
根据题意得 P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，P(B|A1)=0.06，P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式，得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.
(2)“如果取到得零件是次品，计算它是第i(i =1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
，同理可得，.
思考：例2中P(Ai)，P(Ai|B)得实际意义是什么？
当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第 i 台车床加工的可能性大小，通常称为 后验概率.
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么
就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额.
已知结果求原因
已知原因求结果
P(Ai)是试验之前就 已知 的概率，它是第 i 台车床加工的零件所占的比例，称为 先验概率.
一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有
P(A|B)==，这称为贝叶斯公式.
贝叶斯公式
例3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，现有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率.
解：设B=“中途停车修理”，A1=“经过的是货车”，A2=“经过的是客车”，则B=A1B∪A2B，
由贝叶斯公式，得P(A1|B)===0.8.
归纳总结
利用贝叶斯公式求概率的步骤：
第一步：利用全概率公式计算P(A)，
即P(A)=P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利P(AB)=P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)=求解.
1、全概率公式：
2、贝叶斯公式：
1.已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)的值为( )
A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5
2.有朋自远方来，乘汽车、高铁、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，则他迟到的概率为( )
A.0.65 B.0.075
C.0.145 D.0.175
C
D
3.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症.若男子和女子的人数相等，随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是( )
A.95% B.5%
C.25% D.26.25%
4.已知甲袋中有6只红球和4只白球；乙袋中有8只红球和6只白球，先随机取一袋球，再从袋中随机取一球，该球是红球的概率为　　　；若合并两袋球，从中随机取一球，该球是红球的概率为　　　.
A

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