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4.1.3 独立性和条件概率的关系
第四章
1.了解独立性与条件概率的关系.
2.会求相互独立事件同时发生的概率.
3.会结合互斥事件与独立事件求概率.
俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”.其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功.该挑战能否成功？
思考：假设P(A)>0且P(B)>0 ，在A与B独立的前提下， P(A|B)与P(A)存在怎样的关系？此时由P(A|B)与P(B)，能不能求出P(AB) ？
当P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)时，
由条件概率的计算公式有P(A|B)===P(A).
即P(A|B)=P(A).
这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等，
也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率.
类似地，可以看出，如果P(A|B)=P(A)，那么一定有P(AB)=P(A)P(B).
相互独立
当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)，且有P(A∩B)(或P(AB))=P(A)P(B).“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”.
性质：
(1)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立.
(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
A与B互不影响
例1 (多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面朝上”，B=“第二次为反面朝上”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，
B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”
√
√
A事件为出现1，3，5点，P(A)=，在事件B发生的条件下事件A发生的概率P(A|B)== P(A)，事件A，B相互独立；
互斥事件
AC
归纳总结
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法：当P(AB)=P(A)P(B)时，事件A，B独立.
(3)条件概率法：当P(B)>0时，可用P(A|B)=P(A)判断.
两个事件是否独立的判断
例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；
(3)车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
解：(1)记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，
则由题意得A与B，A与与B，都是相互独立事件，
且P(A)=0.5，P(B)=0.6.
记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C=AB，
∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D=B，
∴P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
(3)(方法一)记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件.
∴P(E)=P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.
(方法二)事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.
∴P(E)=1-P()=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；
(3)车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
例3 张老师乘火车从济南到北京去开会，若当天从济南到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.8，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解：(1)用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)=0.8，P(B)=0.8，P(C)=0.9，
所以P()=0.2，P()=0.2，P()=0.1.
由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为：
P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)·P(B)P()
=0.2×0.8×0.9+0.8×0.2×0.9+0.8×0.8×0.1=0.352.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2=1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.2×0.1=0.996.
解决此类问题要明确有关事件是互斥事件还是相互独立事件，以便准确运用概率公式求解.对于较复杂的事件求概率时，可借助于对立事件求解.
归纳总结
根据本节课所学内容，回答下列问题：
1.事件独立性与条件概率有怎样的关系？
2.事件独立性的充要条件是什么？
1.若P(A|B)=，P(A)=，P(B)=，则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
C
C
AC
4.如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作.已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，则系统M正常工作的概率等于( )
A.0.752 B.0.988
C.0.168 D.0.832
A

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