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4.2.1 随机变量及其与事件的联系
第四章
1.理解离散型随机变量的概念.
2.理解随机变量与随机事件的关系以及随机变量之间的关系.
随机试验是指满足下列三 个条件的试验：
试验可以在相同 的情形下重复进行；
试验的所有可能结果是明确可知的 ， 并 且不只一个；
每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个 ，但是在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
问：什么是随机试验？
（1）某人射击一次
结果可以用数字0、1、2、… 、10，这11个数表示.
（2）抛掷一枚骰子 ， 出现的点数
出现的结果可以用数字1 、2 、3 、4 、5 、6来表示.
（3）工厂生产的一批产品里有次品和正品，随机抽取一件产品， 抽出的结果是否也可以用数字来表示呢？
0
1
抽到次品
抽到正品
试验的结果 命中0环 命中1环 命中2环 …
命中10环
数字 0 1 2 …
10
试验的结果 向上点数为1 向上点数为2 向上点数为3 向上点数为4 向上点数为5
向上点数为6
数字 1 2 3 4 5
6
试验的结果 抽到次品 抽到正品
数字 0 1
抽产品
随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量 X 都有唯一确定的实数值与之对应，就称 X 为一个随机变量.
表示：一般用大写英文字母 X ， Y ， Z ，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示.
随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围 .
练一练：写出下列各随机变量可能的取值 ， 并说明它们各自所表示的随机试验的结果：
(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张， 被取出的卡片的号数X ；
(2)抛掷两个骰子，所得点数之和Y；
(3)某城市1天之中发生的火警次数X；
(4)某品牌的电灯泡的寿命X；
(5)某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度X .
思考
前3个随机变量与最后两个有什么区别？
[0.5 ，30]
[0 ，+∞)
(X = 0 、1 、2 、3 、 ···)
(Y=2 、3 、 · · · 、12)
(X =1 、2 、3 、 · · · 、10)
1.如果随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.（如掷骰子的结果 ， 城市每天火警的次数等等）
2.若随机变量可以取某个区间内的一切值 ， 那么这样的随机变量称为连续型随机变量。（如灯泡的寿命 ， 树木的高度等等）
例1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：
（1）从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的
卡片的号码；
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球
的个数；
（3）某林场树木最高达30 m，此林场中树木的高度.
（3）不是离散型随机变量，高度的范围是（0，30]内的一切数值.
离散型随机变量，可以一一列出
（2）离散型随机变量，结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出
问题：先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω.
（1） X=1与样本空间Ω中的样本点之间有什么关系？
根据题意有：A={FZ，ZF}
因为X=1与事件A的样本点一样，所以X=1与事件A等价.
（2）记事件A为“恰有一枚硬币正面朝上”， 写出A所包含的样本点，
它与事件A之间有什么关系？
X=1的充要条件是实验结果为FZ或ZF.
（3） X=1与X=2能同时成立吗？
∵X=2表示“两枚硬币都正面朝上”，即试验结果为FF，
∴X=1与X=2不能同时成立，即X=1与X=2互斥.
（4）0X只能取0，1，2中的某一个，所以0即事件A也可用0一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X≤b，X>b等都表示事件，而且:
随机变量与随机事件的联系
(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此
P(X≤a)+P(X>a)=1.
(1)当a≠b时，事件X=a与X=b互斥;
例2 某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪500元，每工作1 h再获取35元.从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元.
(1)当X＝80时，求Y的值；
(2)若P(Y>2 950)＝0.27，求P(X≤70)的值.
解：(1)由题意知Y＝500＋35X，
当X＝80时，Y＝500＋35×80＝500＋2 800＝3 300(元).
(2)当Y>2 950时，500＋35X>2 950，∴35X>2 450，∴X>70，
即P(Y>2 950)＝P(X>70)＝0.27，
∴P(X≤70)＝1－P(X>70)＝1－0.27＝0.73.
归纳总结
如果X是一个随机变量，a，b∈R且a≠0，那么Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b).
1.抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的取值范围为( )
A.0≤X≤5，X∈N B.－5≤X≤0，X∈Z
C.1≤X≤6，X∈N D.－5≤X≤5，X∈Z
2.某人练习射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 ，则“ ”表示的试验结果是( )
A.第10次击中目标 B.第10次未击中目标
C.前9次未击中目标 D.第9次击中目标
D
C
3.下列 是离散型随机变量的是( )
①某座大桥一天经过的车辆数 ；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的 粒子数 ；
③一天之内的温度 ；
④某射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用 表示该射手在一次射击中的得分.
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④
B
4.已知P(X＝1)＝0.2，P(X＝－1)＝0.3，则P(|X|＝1)＝________.
5.已知X与Y都是随机变量，且Y＝2X－1，P(X＝3)＝0.2，则P(Y＝5)＝________.
0.5
0.2

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