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4.2.2 离散型随机变量的分布列
第四章
1.理解离散型随机变量分布列的概念.
2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质.
3.理解两点分布的特点.
投掷一颗骰子，所得点数为 X .
(1)X 可取哪些数字？
(2)X 取不同的值时，其概率分别是多少？
(3)你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗？
X 1 2 3 4 5 6
P
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
离散型随机变量 的概率分布可以用图①或图②来直观表示，其中，图①中，
上的矩形宽为1、高为，因此每个矩形的面积也恰为；图②中， 上的线段长为 .
①
②
分布列的性质：
(1)pk≥0，k=1，2，…，n.
(2)pk=p1+p2+…+pn=1.
例1 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解：(1)一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有=10(种)情况.
设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)==，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
例2 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0，1，2.
P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
归纳总结
(1)随机变量的取值.
(2)每一个取值所对应的概率.
(3)用所有概率之和是否为1来检验.
求离散型随机变量的分布列关键有三点:
例2 设随机变量 X 的分布列为 P ( X ＝ i )＝ ( i ＝1，2，3，4)，求：
(1) P ( X ＝1或 X ＝2)；(2) P .
解：(1)∵ pi ＝ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴ a ＝10，
则 P( X ＝1或 X ＝2)＝ P( X ＝1)＋ P( X ＝2)＝ ＋ ＝ .
(2)由 a ＝10，可得 P＝ P( X ＝1)＋P( X ＝2)＋P( X ＝3)
＝＋＋ ＝ .
(1)利用分布列表中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列表，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
归纳总结
例3 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.
解：由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为
2X＋1的分布列
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
|X－1|的分布列
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
例4 一批产品中次品率为 5%，随机抽取1件，定义 ，求 X 的分布列.
X 0 1
P 0.95 0.05
两点分布
解：由题意可知P(X＝0)＝0.95，P(X＝1)＝0.05，则X的分布列为
1.两点分布：如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p 1-p
则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0-1分布).
2.伯努利试验：一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.
两点分布也常称为伯努利分布，p常被称为成功概率.
练一练：(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=
D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
BCD
1. 下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( )
D
2.某射手射击一次命中环数X的分布列为
则P(X>7)等于( )
A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51
3.若离散型随机变量 X 的分布列如下，则a= ____.
C
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
X 0 1
P 2a 3a

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