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4.2.3.1 n次独立重复试验与二项分布
第四章
1.理解n次独立重复试验的概念.
2.掌握二项分布.
3.能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题.
试验 出现的结果 共同点
1、掷一枚硬币
2、检验一件产品 3、飞碟射击 4、医学检验 正面朝上；反面朝上
合格；不合格
中靶；脱靶
阴性；阳性
只包含两个结果
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
1、每次试验是在相同的条件下进行；
3、每次试验都只有两种结果: 发生或者不发生；
2、各次试验都是相互独立的，实验结果互不影响；
4、每次试验，某事件A发生的概率都是相同的.
“重复”意味着各次试验的概率相同
练一练：下面4个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
(4)口袋装有质地、大小相同的6个红球，4个白球，每次从中任取一球，不放回，连续取10次.
随机试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
（1）
（2）
（3）
(4)
是
是
是
0.5
0.8
0.05
10
3
20
抛掷一枚质地均匀的硬币
该运动员射击一次
从产品中抽取样品
不是
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
(4)口袋装有质地、大小相同的6个红球，4个白球，每次从中任取一球，不放回，连续取10次.
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X 的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，
用树状图表示试验的可能结果：
试验结果
X的值
3次独立重复试验的结果两两互斥，每个结果都是由3个相互独立事件的积.
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，
则X的概率分布列为:
P(X=0)
P(X=1)
P(X=2)
P(X=3)= P(A1A2A3)
= 3×0.8×0.22
= 3×0.82×0.2
= 0.83
于是，中靶次数X的分布列可简写为:
P(X=k) =×0.8k×0.23-k , (k=0, 1, 2, 3).
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X 的概率分布列是怎样的？
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，
且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是
{0，1，2，…，k，…，n}，
且
事件 发生的概率
事件 A 发生的次数
事件 A 发生的概率
实验总次数n
X 0 1 ... k ... n
P ... ...
第二行中的概率值恰好是二项式展开式
中对应项的值，因此称X 服从参数为n，p的二项分布，记作
X~B(n，p)
因此X的分布列如下表所示.
二项分布与两点分布的区别与联系
两点分布 二项分布
区别 只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生 在每次试验中只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生，但在n次独立重复试验中共有(n+1)个结果
联系 两点分布是特殊的二项分布，即X~B(n，p)中，当n=1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式 例1 (多选)下列随机变量X服从二项分布的是( )
A.投掷一枚质地均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
ACD
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；
二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
归纳总结
例2 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他
在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求这名学生在途
中遇到红灯的次数ξ的分布列.
解：由ξ~B，则
P(ξ=k)=，k=0，1，2，3，4，5.
即P(ξ=0)=××=，P(ξ=1)=××=，
P(ξ=2)=××=，P(ξ=3)=××=，
P(ξ=4)=××=，P(ξ=5)=×=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
1. 若100件产品中有5件次品，从中有放回地抽取10件，其中次品数X~B(n，p)，则有( )
A.n=5，p=0.05 B.n=10，p=0.05
C.n=5，p=0.95 D.n=10，p=0.95
2.某试验每次成功的概率为p(0A.p3(1-p)7 B.p7(1-p)3
C.p4(1-p)6 D.p6(1-p)4
B
A
3.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A.(1-p)n B.1-pn
C.pn D.1-(1-p)n
D

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